高二數(shù)學：4-4 數(shù)學歸納法（基礎(chǔ)練）

4.4數(shù)學歸納法基礎(chǔ)練一、單選題1．如果f(n)=1++…+(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于（）A． B．C． D．2．觀察下列式子:1+,1+,1+,…,則可歸納出1++…+小于（） A． B． C． D．3．設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足“當f(k)≥k2成立時總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立．”則下列命題總成立的是（）A．若f(3)≥9成立,則當k≥1時,均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立,則當k≤5時,均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立,則當k≥8時,均有f(k)<k2成立D．若f(4)=25成立,則當k≥4時,均有f(k)≥k2成立4．已知n為正偶數(shù),用數(shù)學歸納法證明1-+…+=2時,若已假設n=k(k≥2,k為偶數(shù))時命題成立,則還需要用歸納假設證（）A．n=k+1時等式成立 B．n=k+2時等式成立C．n=2k+2時等式成立 D．n=2(k+2)時等式成立5．在數(shù)列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通過求a2,a3,a4,猜想an的表達式為（）A． B． C． D．6．已知f(n)=+…+,則（）A．f(n)中共有n項,當n=2時,f(2)=B．f(n)中共有(n+1)項,當n=2時,f(2)=1+C．f(n)中共有(n2-n+2)項,當n=2時,f(2)=1+D．f(n)中共有(n2-n+1)項,當n=2時,f(2)=1+二、填空題7．用數(shù)學歸納法證明命題“1++…+(n∈N+,且n≥2)”時,第一步要證明的結(jié)論是.

8．用數(shù)學歸納法證明關(guān)于n的恒等式,當n=k時,表達式為1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,則當n=k+1時,表達式為.

9．用數(shù)學歸納法證明關(guān)于n的不等式+…+(n∈N+),由n=k遞推到n=k+1時,不等式的左邊的變化為.

三、解答題10．用數(shù)學歸納法證明12+22+32+…+n2=(n∈N+).

參考答案1．【答案】D【解析】∵f(n+1)=1++…+,f(n)=1++…+,∴f(n+1)-f(n)==.故選D2．【答案】C【解析】所猜測的分式的分母為n+1,而分子3,5,7,…,恰好是第(n+1)個正奇數(shù),即2n+1.故選C3．【答案】D【解析】由數(shù)學歸納法原理可得,若f(3)≥9成立,則當k≥3時,均有f(k)≥k2成立,即A不正確.若f(5)≥25成立,則當k≥5時,均有f(k)≥k2成立,即B不正確.若f(7)<49成立,則當k≤6時,均有f(k)<k2成立,即C不正確.若f(4)=25>42成立,則當k≥4時,均有f(k)≥k2成立.故選D4．【答案】B【解析】根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟,若已假設n=k(k≥2,k為偶數(shù))時命題成立,則還需要用歸納假設證下一個偶數(shù),即n=k+2時等式成立.故選B5．【答案】C【解析】∵由a1=,Sn=n(2n-1)an,得S2=2(2×2-1)a2,即a1+a2=6a2，∴a2=.∵S3=3(2×3-1)a3,即+a3=15a3,∴a3=.同理可得a4=.據(jù)此可猜想an=.故選C6．【答案】C【解析】f(n)中共有n2-(n-1)+1=n2-n+2項,當n=2時,f(n)=1+.故選C7．【答案】【解析】因為n≥2,所以第一步要證的是當n=2時結(jié)論成立,即1+12故填8．【答案】1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2【解析】1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2故填1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)29．【答案】增加【解析】假設n=k時,不等式成立,即+…+,則當n=k+1時,不等式左邊=+…+=+…+=+…+=+…+.故填增加10．【答案】證明略【解析】證明：(1)當n=1時,左邊=12=1,右邊==1,等式成立.(2)假設當n=k(k≥1,k∈N+)時等式