2020高中數(shù)學 第一章 空間幾何體 1.2 空間幾何體的三視圖和直觀圖學案（含解析）2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE20-學必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2空間幾何體的三視圖和直觀圖知識導圖學法指導1。用斜二測畫法畫直觀圖,關(guān)鍵是掌握水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法，這是畫空間幾何體的直觀圖的基礎(chǔ)．2．會用斜二測畫法畫出簡單幾何體的直觀圖．3．充分利用直觀圖的作圖規(guī)則，順利實現(xiàn)實物圖與直觀圖之間的轉(zhuǎn)化．高考導航掌握直觀圖的畫法是學好立體幾何的基礎(chǔ)，必須熟練、準確地掌握常見幾何體的直觀圖的畫法．學習過程中要重點把握直觀圖與原圖形之間的關(guān)系.知識點一用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟知識點二立體圖形直觀圖的畫法用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖時,與平面圖形相比只多了一個z軸，其直觀圖中對應(yīng)于z軸的是z′軸，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面．已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，其平行性和長度都不變．1。畫水平放置的平面圖形的直觀圖,關(guān)鍵是確定多邊形頂點的位置，借助于平面直角坐標系確定頂點后,只需把這些頂點順次連接即可．2．用斜二測畫法畫直觀圖要掌握水平長不變，垂線長減半，直角畫45°(或135°)．［小試身手]1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√"，錯誤的打“×”）（1）用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸,且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°。（）（2）用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時,平行的線段在直觀圖中仍平行，且長度不變．（)答案：(1）×(2)×2．水平放置的梯形的直觀圖是()A．梯形B．矩形C．三角形D．任意四邊形解析：斜二測畫法的規(guī)則中平行性保持不變，故選A.答案：A3．利用斜二測畫法可以得到：①水平放置的三角形的直觀圖是三角形；②水平放置的平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③水平放置的正方形的直觀圖是正方形;④水平放置的菱形的直觀圖是菱形．以上結(jié)論正確的是(）A．①②B．①C．③④D．①②③④解析：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知①②正確；對于③④，只有平行于x軸的線段長度不變，所以不正確．答案:A4．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四邊形解析：如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2）＝4eq\r(2）(cm），CD＝C′D′＝2cm，所以O(shè)C＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r（2）2＋22)＝6(cm),所以O(shè)A＝OC,故四邊形OABC是菱形，故選C。答案：C類型一水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法例1畫一個銳角為45°的平行四邊形ABCD的直觀圖(尺寸自定)．【解析】（1)畫軸：?ABCD如圖1所示，以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系xOy，再建立斜坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，如圖2。（2）描點：在x′軸上以點O′為中點,取B′A′＝BA，在y′軸上取O′D′＝eq\f（1，2)OD，過D′作D′C′∥x′軸,且D′C′＝DC，如圖2。（3）連線:連接B′C′，A′D′，如圖2.(4）成圖:四邊形A′B′C′D′即為一個銳角是45°的平行四邊形ABCD的直觀圖.以直線AB為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系xOy，再建立斜坐標系x′O′y′，利用斜二測畫法畫直觀圖．方法歸納在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當?shù)闹苯亲鴺讼凳顷P(guān)鍵,一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上,便于畫點；原圖中的共線點，在直觀圖中仍是共線點；原圖中的平行線，在直觀圖中仍是平行線．跟蹤訓練1畫水平放置的直角梯形的直觀圖，如圖所示．解析：(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標系．畫相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖①②所示．(2)在x′軸上截取O′B′＝OB,在y′軸上截取O′D′＝eq\f（1,2)OD，過點D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點C′使得D′C′＝DC。連接B′C′，如圖②。（3)所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖．如圖③.觀察圖形先以O(shè)B為x軸，OD為y軸建平面直角坐標系，再用斜二測畫直觀圖．類型二立體圖形的直觀圖的畫法例2畫正六棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′的直觀圖（尺寸自定)．【解析】如圖(1)．①畫軸．畫出x軸、y軸、z軸,三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°。②畫底面．以點O為中點,在x軸上取FO＝OC，在y軸上取OM＝ON＝eq\f（\r（3)，4)FO，分別過點M，N作ED∥FO，AB∥FO,ED＝AB＝FO，且M，N分別為DE，AB的中點．連接BC，CD，EF，F(xiàn)A，得到正六棱柱的底面直觀圖ABCDEF.③畫側(cè)棱．在六邊形ABCDEF所在平面的同側(cè)過點A，B,C,D,E，F(xiàn)分別作z軸的平行線,在這些平行線上分別截取AA′，BB′，CC′,DD′，EE′，F(xiàn)F′都等于側(cè)棱長．④成圖．順次連接A′,B′,C′,D′，E′,F′，并加以整理（去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線）就得到正六棱柱的直觀圖，如圖（2)所示.建立坐標系，根據(jù)畫軸、畫底面、畫側(cè)棱的順序畫直觀圖．方法歸納(1）畫柱體、錐體的直觀圖的步驟①畫軸：通常以高所在直線為z′軸建系．②畫底面：根據(jù)平面圖形的直觀圖畫法確定底面．③確定頂點:利用與z′軸平行或在z′軸上的線段確定有關(guān)頂點．④連線成圖．（2）畫臺體的直觀圖的步驟①畫軸：通常以高所在直線為z′軸建系．②畫下底面．③畫高，畫上底面．④連線成圖．跟蹤訓練2用斜二測畫法畫出六棱錐P－ABCDEF的直觀圖，其中底面ABCDEF為正六邊形，點P在底面上的投影是正六邊形的中心O（尺寸自定)．解析：(1）畫出六棱錐P－ABCDEF的底面．①在正六邊形ABCDEF中,取AD所在的直線為x軸，線段AD的中垂線為y軸,兩軸相交于點O(如圖(1)），畫相應(yīng)的x′軸、y′軸、z′軸，三軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°(如圖(2））；②在圖（2）中，以O(shè)′為中點,在x′軸上取A′D′＝AD,在y′軸上取M′N′＝eq\f(1,2)MN,以點N′為中點，畫B′C′∥x′軸，且B′C′＝BC,再以M′為中點,畫E′F′∥x′軸，且E′F′＝EF；③連接A′B′，C′D′，D′E′,F′A′，得到正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′F′.(2）畫正六棱錐P－ABCDEF的頂點．在z′軸的正半軸上取點P′,點P′異于點O′。(3）成圖．連接P′A′，P′B′,P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′軸、y′軸和z′軸，將被遮擋的線改為虛線,便可得到六棱錐P－ABCDEF的直觀圖P′－A′B′C′D′E′F′（如圖（3))．建立坐標系，根據(jù)畫底面、確定頂點、連線的順序畫直觀圖．類型三直觀圖與原平面圖形的面積關(guān)系例3如圖所示，四邊形ABCD是一個梯形,CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD為等腰直角三角形，O為AB的中點，試求水平放置的梯形ABCD的直觀圖的面積．【解析】方法一在梯形ABCD中,AB＝2，高OD＝1，水平放置的梯形ABCD的直觀圖仍為梯形，且上底和下底的長度都不變，作D′E′⊥A′B′于E′，如圖所示，在直觀圖中，O′D′＝eq\f（1，2)OD＝eq\f(1,2),梯形A′B′C′D′的高D′E′＝eq\f（\r（2），4)，于是梯形A′B′C′D′的面積為eq\f(1，2）×(1＋2)×eq\f(\r（2），4）＝eq\f(3\r（2),8）.方法二因為梯形ABCD的面積為eq\f(1＋2×1，2)＝eq\f（3，2)，所以直觀圖的面積為eq\f(\r（2),4）×eq\f(3,2)＝eq\f(3\r（2），8）.研究直觀圖的面積問題時,一定要注意：畫三角形的直觀圖時，不僅是y′軸上的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，同時，y′軸與x′軸的夾角也變?yōu)?5°（或135°），因此直觀圖中三角形的高不是原來高的一半．方法歸納（1）解答此類題目的關(guān)鍵是首先要能夠?qū)⑺椒胖玫钠矫鎴D形的直觀圖還原為原來的實際圖形，其依據(jù)就是逆用斜二測畫法，也就是使平行于x軸的線段的長度不變，而平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼?倍．(2）求直觀圖的面積的關(guān)鍵是依據(jù)斜二測畫法，求出相應(yīng)的直觀圖的底邊和高．在原來實際圖形中的高線，在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成45°角且長度為原來的一半的線段，以此為依據(jù)求出直觀圖中的高線即可．跟蹤訓練3已知水平放置的△ABC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，∠B′A′C′＝90°，則△ABC的面積為________．解析:∵∠B′A′C′＝90°，B′O′＝C′O′＝1，∴A′O′＝1，∴△ABC的高為2，∴△ABC的面積為eq\f(1,2)×2×2＝2.答案:2由斜二測畫直觀圖，還原原圖再計算．［基礎(chǔ)鞏固]（25分鐘,60分）一、選擇題（每小題5分，共25分)1．關(guān)于“斜二測畫法”，下列說法不正確的是（）A．原圖形中平行于x軸的線段，其對應(yīng)線段平行于x′軸,長度不變B．原圖形中平行于y軸的線段，其對應(yīng)線段平行于y′軸，長度變?yōu)樵瓉淼膃q\f（1，2)C．在畫與直角坐標系xOy對應(yīng)的x′O′y′時，∠x′O′y′必須是45°D．在畫直觀圖時，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同解析:在畫與直角坐標系xOy對應(yīng)的x′O′y′時,∠x′O′y′可以是45°，也可以是135°.答案：C2．[2019·山東日照校級檢測］在畫水平放置的平面圖形時，若在原來的圖形中兩條線段平行且相等,則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段(）A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等解析:在原圖形中平行且相等的線段在直觀圖中保持平行且相等．答案：A3．如圖所示的直觀圖的平面圖形是()A．等腰梯形B．直角梯形C．任意四邊形D．平行四邊形解析:由斜二測畫法知,AB⊥AD,BC∥AD，因此具有如圖所示直觀圖的平面圖形是直角梯形．答案：B4．已知一條邊在x軸上的正方形的直觀圖是一個平行四邊形，此平行四邊形中有一邊長為4，則原正方形的面積是（）A．16B．64C．16或64D．以上都不對解析：根據(jù)直觀圖的畫法,平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段變?yōu)樵瓉淼囊话?于是直觀圖中長為4的邊如果平行于x′軸，則正方形的邊長為4,面積為16；長為4的邊如果平行于y′軸，則正方形的邊長為8，面積為64。答案：C5．若用斜二測畫法把一個高為10cm的圓柱的底面畫在x′O′y′平面上，則該圓柱的高應(yīng)畫成(）A．平行于z′軸且長度為10cmB．平行于z′軸且長度為5cmC．與z′軸成45°且長度為10cmD．與z′軸成45°且長度為5cm解析：平行于z軸的線段,在直觀圖中平行性和長度都不變，故選A.答案：A二、填空題（每小題5分，共15分)6．已知正三角形ABC的邊長為2，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為________．解析：如圖，圖①，圖②所示的分別是實際圖形和直觀圖．從圖②可知，A′B′＝AB＝2，O′C′＝eq\f（1,2)OC＝eq\f(\r（3），2)，C′D′＝O′C′sin45°＝eq\f(\r（3),2)×eq\f（\r(2）,2)＝eq\f（\r(6），4）。所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1，2)×2×eq\f（\r（6)，4）＝eq\f（\r（6）,4)。答案:eq\f(\r(6）,4）7。一個水平放置的平面圖形的直觀圖是直角梯形ABCD,如圖所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這個平面圖形的面積為________．解析：由直觀圖，可知原圖形為直角梯形，且上底為1,下底為eq\f(\r(2），2）＋1，高為2，故面積為eq\f（1，2）×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f（\r(2）,2）＋1)）×2＝2＋eq\f(\r(2）,2）。答案:eq\f（4＋\r(2）,2)8．一條邊在x軸上的正方形的面積是4，按斜二測畫法所得的直觀圖是一個平行四邊形,則這個平行四邊形的面積是________．解析：正方形的面積為4，則邊長為2，由斜二測畫法的規(guī)則，知平行四邊形的底為2，高為eq\f（\r（2），2)，故面積為eq\r（2）。答案：eq\r(2）三、解答題(每小題10分，共20分)9．將圖中所給水平放置的直觀圖繪出原形．解析：10．畫棱長為2cm的正方體的直觀圖．解析：(1）作水平放置的正方形的直觀圖ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2cm,AD＝1cm。(2)過點A作z′軸，使∠BAz′＝90°,分別過點A，B，C，D,沿z′軸的正方向取AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2cm.（3)連接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如下圖①,擦去輔助線，把被遮住的線改為虛線，得到的圖形如下圖②就是所求的正方體的直觀圖．[能力提升](20分鐘，40分）11．已知一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣,長方體的長、寬、高分別為20m,5m,10m,四棱錐的高為8m．如果按1500的比例畫出它的直觀圖，那么在直觀圖中,長方體的長、寬、高和四棱錐的高應(yīng)分別為（）A．4cm,1cm，2cm,1。6cmB．4cm,0.5cm,2cm，0.8cmC．4cm,0。5cm，2cm，1。6cmD．4cm,0.5cm，1cm,0.8cm解析：由比例尺可知，長方體的長、寬、高和四棱錐的高應(yīng)分別為4cm，1cm,2cm和1。6cm，再結(jié)合直觀圖的畫法，長方體的長、寬、高和四棱錐的高應(yīng)分別為4cm，0。5cm,2cm，1.6cm.答案：C12。如圖為△ABO水平放置的直觀圖△A′B′O′，由圖判斷△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的順序是______________________．解析：由題圖可知，△ABO中