閱讀與思考 法國(guó)科學(xué)家柯西優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)

2。2。閱讀與思法國(guó)學(xué)家柯西【學(xué)標(biāo)會(huì)利用二維柯西不等式及三角不等式解決問題，體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般方法——發(fā)現(xiàn)具體問題與經(jīng)典不等式之間的關(guān)系，經(jīng)過適當(dāng)變形，依據(jù)經(jīng)典不等式得到不等關(guān)系?！緦W(xué)點(diǎn)利用二維柯西不等式解決問題?！緦W(xué)點(diǎn)如何變形，套用已知不等式的形式?！緦W(xué)程一、復(fù)習(xí)引入：1．提問：二維形式的柯西不等式、三角不等式？幾何意義？答案()(2)bd)；x21

21

2

2

y

2

2

(x1

2

y1

22．討論：如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式，拓廣到三維、四維？3．如何利用二維柯西不等式求函數(shù)yx2

的最大值？要點(diǎn)：利用變式

|

2

2

c

2

2

。二、講授新課：1．最大（?。┲担孩俪鍪纠?：求函數(shù)yx10的最大值？分析：如何變形？→構(gòu)造柯西不等式的形式→板演→變式：y3x10x→推廣：ybxfxa,b,,e,fR②練習(xí)：已y

，求x

2

2

的最小值。解答要點(diǎn)湊配法）x

y

1(x)(3xy)1313討論：其它方法（數(shù)形結(jié)合法）2．不等式的證明：

2n2n①出示例2：若yR，y

，求證：

。分析：如何變形后利用柯西不等式？（注意對(duì)比→構(gòu)造）要點(diǎn)：

111111(x)()[())][())]xy2x

…討論：其它證法（利用基本不等式）②練習(xí)：已知

bR，求證(a)

。三、應(yīng)用舉例：1例1已知a1，a2，…，an都是實(shí)數(shù)，求證：(a)1n2分析：用n乘要證的式子兩邊，能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。

n

2例2已知a，b，c，d是不全相等的實(shí)數(shù)，證明：2

+b

+c

+d

>ab+bc+cd+da分析：上式兩邊都是由a，，c，d這四個(gè)數(shù)組成的式子，特別是右邊式子的字母排順序啟發(fā)我們，可以用柯西不等式進(jìn)行證明。例、已知

z求

2

2

2

的最小值.分析：由xyzx2形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過構(gòu)造（）作為一個(gè)因式而解決問題。四、鞏固練習(xí)：練習(xí)：1．設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，且，求

149

的最小值。2．已知a+b+c+d=1，求2

+b2

+c2

+d2

的最小值。3．已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且，求32的最大值。選做：4．已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且2

+2b2

+3c2

=6，求a+b+c的最小值。5．已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且，求

11abc

的最小值。6．已知x+y+z=25

，則m=x2

+2y2

+z2

的最小值是____________?！咀鳂I(yè)布】①已知ya,bR

，且

abxy

，則的最小值。要點(diǎn)：

byy)

…?！渌C法②若xz，且x

，求

y

的最小值點(diǎn)：利用三維柯西不