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數(shù)列教學(xué)過(guò)程一、考綱解讀1.高考對(duì)于本節(jié)的考查方式:(1)選擇填空重點(diǎn)考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì);(2)解答題中重點(diǎn)考查通項(xiàng)公式、求和(重視求和的錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法)(3)遞推數(shù)列也是考察的重點(diǎn),只局限于最基本的形式2.數(shù)列在歷年高考高考試題中占有重要的地位,近幾年更是有所加強(qiáng).一般情況下都是一至兩個(gè)考查性質(zhì)的客觀題和一個(gè)考察能力的解答題。文科以等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、基本解法為主,理科注重概念的理解和運(yùn)用。分值在22分左右二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)(1)數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法①了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式).②了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列①理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.②掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.③能在具體的問(wèn)題情境中,識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.④了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.(3)數(shù)列求和,求通項(xiàng).與函數(shù),不等式等知識(shí)的綜合題,考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和應(yīng)用能力.錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法三、知識(shí)講解考點(diǎn)1數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法①了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式).②了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).考點(diǎn)2等差數(shù)列、等比數(shù)列①理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.②掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.③能在具體的問(wèn)題情境中,識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.④了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.考點(diǎn)3綜合問(wèn)題(1)求數(shù)列通項(xiàng)累加法,累乘法,構(gòu)造法,數(shù)學(xué)歸納法(2)數(shù)列求和裂項(xiàng)相消法,錯(cuò)位相減法,數(shù)學(xué)歸納法(3)與函數(shù),不等式等知識(shí)的綜合題,考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和應(yīng)用能力.放縮法四、例題精析例1[2014全國(guó)大綱]等比數(shù)列中,,,則數(shù)列的前8項(xiàng)和等于()(A)6(B)5(C)4(D)3【規(guī)范解答】選(C).(求解對(duì)照)由已知有在等比數(shù)列中,,,則=10所以。選(C).【總結(jié)與反思】本題主要考查等比數(shù)列及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),屬于容易題例2[2014重慶卷]對(duì)任意等比數(shù)列,下列說(shuō)法一定正確的是()A.成等比數(shù)列B.成等比數(shù)列C.成等比數(shù)列D.成等比數(shù)列【規(guī)范解答】由等比數(shù)列的性質(zhì):下標(biāo)成等差,對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比,知選D.【總結(jié)與反思】本題考查等比數(shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì),屬容易題.例3[2014安徽卷]數(shù)列是等差數(shù)列,若,,構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,則_______.【規(guī)范解答】由題意得 設(shè)代入上式得,故公比【總結(jié)與反思】此題等差、等比數(shù)列為背景,考察方程思想、整體思想與換元法的運(yùn)用.例4[2014遼寧卷]設(shè)等差數(shù)列的公差為d,若數(shù)列為遞減數(shù)列,則()A.B.C.D.【規(guī)范解答】解法1選(C)(求解對(duì)照)∵數(shù)列為遞減數(shù)列,∴,.解法2選(C)由數(shù)列為遞減數(shù)列,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),知,得,或,當(dāng)時(shí),,所以,,當(dāng)時(shí),,所以,綜上:.【總結(jié)與反思】(1)本題涉及到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則等基本知識(shí)點(diǎn);(2)解法1、2主要步驟是根據(jù)指數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解與判斷;(3)本題涉及到了函數(shù)思想、分類討論思想等基本數(shù)學(xué)思想.例5[2014全國(guó)大綱]等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,為整數(shù),且。(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和?!疽?guī)范解答】解:(I)由,為整數(shù)知,等差數(shù)列的公差為整數(shù)。又,故.于是解得因此.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為【總結(jié)與反思】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式與性質(zhì),考查考生對(duì)數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用,考查考生的運(yùn)算求解的能力。
例6[2014全國(guó)1卷]已知數(shù)列{}的前項(xiàng)和為,=1,,,其中為常數(shù).(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)是否存在,使得{}為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由.【規(guī)范解答】證明:(Ⅰ)由題設(shè),,兩式相減,由于,所以解:(Ⅱ)由題設(shè)=1,,可得,由(Ⅰ)知假設(shè){}為等差數(shù)列,則成等差數(shù)列,∴,解得;證明時(shí),為等差數(shù)列:由知數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列令則,∴數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列令則,∴∴(),因此,存在,使得{}為等差數(shù)列.【總結(jié)與反思】本題考查等差數(shù)列概念與定義,數(shù)列項(xiàng)與數(shù)列和的關(guān)系,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力,屬基礎(chǔ)題。在第一小問(wèn)中通過(guò)作差法證明即可;第二小問(wèn)先由(Ⅰ)求得,利用從特殊到一般的思想來(lái)求。先通過(guò)成等差數(shù)列,求出的值,然后回到一般結(jié)論去證明,而往往考生會(huì)將這一步驟省略,導(dǎo)致過(guò)程不全,拿不到滿分。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容,數(shù)列題一直是考試熱點(diǎn)內(nèi)容之一,其試題的難度分布幅度有點(diǎn)大,既有容易的基礎(chǔ)題和難度中等的中檔題,也可能有綜合性強(qiáng)對(duì)能力要求高的難題。例7[2014全國(guó)2卷]已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.(Ⅰ)證明{an+}是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)證明:++…+<.
【規(guī)范解答】(Ⅰ)∵a1=1,an+1=3an+1.N∈N*.∴an+1+=3an+1+=3(an+)∴{an+}是首項(xiàng)為,公比為3的等比數(shù)列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an+=,∴an=,==1,當(dāng)n>1時(shí),=<.∴++…+<1+++…+==(1-)<∴++…+<.【總結(jié)與反思】⑴本題第一問(wèn)涉及了等比數(shù)列的證明(用定義證明),⑵第二問(wèn)中能找到<是破解本題的關(guān)鍵,該問(wèn)中運(yùn)用了等比數(shù)列的求和公式.例8[2014浙江卷]已知等差數(shù)列的公差,設(shè)的前n項(xiàng)和為,,(1)求及;(2)求()的值,使得【規(guī)范解答】(1)由題意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,將a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因?yàn)閐>0,所以d=2.從而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m+k-1=13,,k+1=5,))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m=5,,k=4.))【總結(jié)與反思】該題考察了方程思想和估算思想。第一小題比較常規(guī),第二小題在解答的時(shí)候要注意把65保留下來(lái),因?yàn)樗囊驍?shù)比較少。挖掘一切信息來(lái)縮小可能因數(shù)的范圍是這個(gè)題目的能力要點(diǎn)。
例9[2014廣東卷]設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求的值;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【規(guī)范解答】(1)當(dāng)時(shí),=1\*GB3①當(dāng)時(shí),=2\*GB3②=3\*GB3③由=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③解得(2)當(dāng)時(shí),=1\*GB3①=2\*GB3②=1\*GB3①—=2\*GB3②化簡(jiǎn)得(當(dāng)時(shí)也成立)方法1:(湊配)令,求得即令,則,即因?yàn)?,故必有,即方?:(數(shù)學(xué)歸納法)由(1),猜想,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì):當(dāng)時(shí),成立假設(shè)當(dāng)時(shí)成立,即有,當(dāng)時(shí),所以,成立綜上所述,對(duì)【總結(jié)與反思】①知識(shí)點(diǎn):數(shù)列基本知識(shí)、數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系.②思想與方法:轉(zhuǎn)化與化歸③能力:運(yùn)算求解、推理論證
例10[2014重慶卷]設(shè)(I)若,求及數(shù)列的通項(xiàng)公式;(II)若,問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)使得對(duì)所有都成立?證明你的結(jié)論?!疽?guī)范解答】(I)解法一:,再由題設(shè)條件知,從而是首項(xiàng)為0公差為1的等差數(shù)列,故,。解法一:,可寫(xiě)為,因此,猜想,下用數(shù)學(xué)歸納法證明上式。當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論顯然成立。假設(shè)n=k時(shí),結(jié)論成立,即,則,這就是說(shuō),當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立。所以。(II)解法一:設(shè),則。令,即,解得。下用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題<1。當(dāng)n=1時(shí),,所以,結(jié)論成立。假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即<1,易知在上為減函數(shù),從而即再由在上為減函數(shù)得故,因此<1。這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立。綜上,符合條件的c存在,其中一個(gè)值為。解法二:設(shè),則。先證:()。①當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論顯然成立。假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即。易知在上為減函數(shù),從而即,這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立。故①成立。再證:()。②當(dāng)n=1時(shí),有,即n=1時(shí)②成立。假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即,由①及在上為減函數(shù),得,。這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),②成立。所以②對(duì)一切都成立。由②得即因此。③又由①、②及在上為減函數(shù),得,即,所以解得。④綜上,由②、③、④知,存在使對(duì)所有都成立。【總結(jié)與反思】①本題涉及等差數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、遞推公式、函數(shù)的單調(diào)性等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。②本題第(II)問(wèn)的求解關(guān)鍵是如何應(yīng)用遞推式,函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)式是輔助解題的,同時(shí)也是解決問(wèn)題的根本。③本題的難度較大,解法比較靈活,著重考察學(xué)生的化歸能力,抽象思維能力以及邏輯推理能力。課程小結(jié)(1)數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法①了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、
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