2021北京理工附中高二（上）10月月考數(shù)學（教師版）

2021北京理工附中高二（上）10月月考數(shù)學一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）1．用斜二測畫法畫平面圖形時，下列說法正確的是（）A．正方形的直觀圖為平行四邊形 B．菱形的直觀圖是菱形C．梯形的直觀圖可能不是梯形 D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形2．已知平面α和α外的一條直線l，下列說法不正確的是（）A．若l垂直于α內(nèi)的兩條平行線，則l⊥α B．若l平行于α內(nèi)的一條直線，則l∥α C．若l垂直于α內(nèi)的兩條相交直線，則l⊥α D．若l平行于α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α3．如圖是一個正方體的平面展開圖，則在原正方體中，AB與CD所成的角為（）A．π6 B．πC．π3 D．π4．已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為矩形，點P在平面ABCD上的射影為AD的中點O．若AB＝2，AD＝6，PO＝4，則四棱錐P﹣ABCD的表面積等于（）A．34+65 B．34+43C．6+65+43 D．6+63+45．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，過A1B且與AC1平行的平面交B1C1于點P，則PC1＝（）A．2 B．3 C．2 D．16．用a，b，c表示三條不同的直線，γ表示平面，給出下列命題，其中真命題的個數(shù)是（）①若a∥γ，b∥a，則b∥γ；②若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，則a∥b；④若a⊥γ，a⊥b，則b∥γ．A．0 B．1 C．2 D．37．如圖，已知圓錐的頂點為S，底面圓O的兩條直徑分別為AB和CD，且AB⊥CD，若平面SAD∩平面SBC＝l．以下四個結(jié)論中不正確的是（）A．AD∥平面SBC B．l∥AD C．若E是底面圓周上的動點，則△SAE的最大面積等于△SAB的面積D．l與平面SCD所成的角為45°8．已知三棱錐中，，，三點在以為球心的球面上，，，且三棱錐的體積為，則球的半徑為（）A．2 B．5 C．13 D．9．某公園設置了一些石凳供大家休息，每張石凳是由正方體石料截去八個一樣的四面體得到的，如圖所示.如果一張石凳的體積是，那么原正方體石料的體積是（）A． B． C． D．10.我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)造了一個稱為“牟合方蓋”的立體圖形來推算球的體積.如圖1，在一個棱長為2a的立方體內(nèi)作兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱，其相交的部分就是牟合方蓋，如圖2，設平行于水平面且與水平面距離為h的平面為α，記平面α截牟合方蓋所得截面的面積為S，則函數(shù)S=f(h)的圖象是（

A

B.

C.

D.

填空題（共5小題，滿分20分，每小題4分）11.設，是兩個不同的平面，直線l⊥α且，可以推出“”.12．正方體外接球的表面積為16π，則該正方體的表面積為．13．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P在線段B1C上運動，則正確結(jié)論是.①直線BD1⊥平面A1C1D ②直線AP∥平面A1C1D ③三棱錐P﹣A1C1D的體積為定值④異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是[π4，π14.如圖，在上、下底面對應邊的比為1∶2的三棱臺中，過上底面的邊A’B’作一個平面把三棱臺分成兩部分，得到的三棱柱和五面體這兩部分的體積之比為________．15．在直角三角形ABC中，AC＝1，D是斜邊AB的中點，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得CB⊥AD，則BC邊長的最大值為．四．解答題（共4小題，滿分40分）16．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，E，F(xiàn)分別為A1C1，BC的中點．（Ⅰ）求證：C1F∥平面ABE;（Ⅱ）求證：平面ABE⊥平面BB1C1C.

17如圖，在三棱錐中，平面平面，△和△均是等腰直角三角形，，，，分別為,的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.18.如圖，正方形和四邊形所在的平面互相垂直，，∥，，（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求證：⊥平面.19．如圖所示正四棱錐S﹣ABCD，SA＝SB＝SC＝SD＝2，AB=2，P為側(cè)棱SD（1）求證：AC⊥SD；（2）若SΔSAP＝3SΔAPD，（?。┣笕忮FS﹣APC的體積．（ⅱ）側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SEEC

2021北京理工附中高二（上）10月月考數(shù)學參考答案一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）1．A．2．A．3．C．4．A．5．D．6．A．7．C．8．D．9．B．10.B.

填空題（共5小題，滿分20分，每小題4分）11.l⊥12．3213．①②③14.3:415．3解：設BC＝x，由題意得，AD＝CD＝BD=x取BC中點E，翻折前，在圖1中，連接DE，CD，則DE=12AC翻折后，在圖2中，此時CB⊥AD．∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE，DE⊥BC，又BC⊥AE，E為BC中點，∴AB＝AC＝1，∴AE=1-14x在△ADE中：①x2+12+12＞1-由①②③，得0＜x＜3如圖3，翻折后，當△B1CD與△ACD在一個平面上，AD與B1C交于M，且AD⊥B1C，AD＝B1D＝CD＝BD，∠CBD＝∠BCD＝∠B1CD，又∠CBD+∠BCD+∠B1CD＝90°，∴∠CBD＝∠BCD＝∠B1CD＝30°，∴∠A＝60°，BC＝ACtan60°，此時x＝1×3綜上，x的取值范圍為（0，3]，所以BC邊長的最大值為3．故答案為：3．四．解答題（共4小題，滿分40分）16．證明：（Ⅰ）取AB的中點G，連接EG、GF，如圖所示．∵G、F分別是AB、BC的中點，∴FG∥AC，且FG=1又∵E為A1C1的中點，∴EC1=12A1C∴GF∥EC1，且GF＝EC1，∴四邊形EGFC1是平行四邊形，∴C1F∥EG．又∵C1F?平面ABE，EG?平面ABE，∴C1F∥平面ABE．（Ⅱ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵BB1⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴BB1⊥AB．又∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．又BB1∩BC＝B，∴AB⊥平面BB1C1C，又AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面BB1C1C；17.證明：（Ⅰ）在△中，M，N分別為VA，VB的中點，所以為中位線.所以.又因為平面，平面，所以平面（Ⅱ）在等腰直角三角形△中，,所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.又因為平面，所以.（Ⅲ）在平面ABC內(nèi)過點C做垂直于AC，由（Ⅱ）知，平面，直線與平面所成角為∠C，sin∠C=VCVB18.證明：（I）設AC與BD交與點G因為EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AF//EG，因為平面BDE，AF平面BDE，所以AF//平面BDE.（II）因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，平面ABCD∩平面ACEF=AC，CE?平面ACEF所以CE平面ABCD.即四邊形CGFE為正方形，CF⊥GE.同理，BD平面ACEF，CF?平面ACEF，CF⊥BD，BD∩GE.=G所以，⊥平面.19．證明：（1）連BD，設AC交BD于O，由題意SO⊥AC．在正方形ABCD中，有AC⊥BD，又SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，得AC⊥SD；（2）∵SΔSAP＝3SΔAPD，∴P