2020年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(廣東)期末專題復(fù)習(xí)試卷 勾股定理

知識(shí)結(jié)構(gòu)圖本章內(nèi)容在廣東的中考中考查的頻率比較高，每年都會(huì)考查．考查時(shí)不單獨(dú)考查，常與垂直平分線、平行四邊形、矩形、圓等綜合考查

，通常是作為解題工具求長(zhǎng)度或者證明線段的數(shù)量關(guān)系．因此本章屬于廣東中考中的基礎(chǔ)內(nèi)容，復(fù)習(xí)時(shí)需熟練掌握． 重難點(diǎn)突破重難點(diǎn)

勾股定理的證明【例

】 以圖中的直角三角形為基礎(chǔ)

，

可以構(gòu)造出以

，

b為底

，以＋b為高的直角梯形如圖，請(qǐng)你利用圖，驗(yàn)證勾股定理．圖 圖【思路點(diǎn)撥】 利用梯形面積的兩種算法列出等式證明．【解答】勾股定理的證明是用面積法證明恒等式的方法，通過(guò)不同的方式表示同一個(gè)圖形的面積．1．

廣州四校聯(lián)考期中如圖，點(diǎn)在線段BD上，AC⊥BD，CA＝，點(diǎn)E在線段CA上，且滿足DE＝AB，連接DE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F.求證：DE⊥AB；若已知BC＝ ， AC＝b ， AB＝

，

設(shè)EF＝

，eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

ABD＝

＋

，你能借助本題提供的圖形證明勾股定理嗎？試一試吧．重難點(diǎn)

勾股定理及其逆定理【例

】 如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；求證：∠＝【思路點(diǎn)撥】

利用勾股定理求出四邊形的各邊長(zhǎng)；求出△BCD

的三邊長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理證明．【解答】正方形網(wǎng)格中的兩個(gè)格點(diǎn)之間的距離可以用勾股定理求出．勾股定理的逆定理是證明一個(gè)角等于°的一種思路．本題的第問(wèn)還可以通過(guò)兩個(gè)三角形全等來(lái)證明．eq

\o\ac(△,．) ABC中，AB＝

cm，AC＝

cm，高＝，則BC的長(zhǎng)為． ． ．或 ．以上都不對(duì)

．

如圖

，

已知：在正方形ABCD中

，

E是BC中點(diǎn)

，

F在AB上

，且AF∶FB＝∶請(qǐng)判斷EF與DE的位置關(guān)系，與同學(xué)交流，并說(shuō)明理由．重難點(diǎn)

勾股定理在實(shí)際生活問(wèn)題中的應(yīng)用【 例 】 如圖 ， 小麗想知道自家門前小河的寬度 ，于是她按以下方法測(cè)出了如下數(shù)據(jù)：小麗在河岸邊選取點(diǎn)A

，在點(diǎn)A的對(duì)岸選取一個(gè)參照點(diǎn)

，

測(cè)得∠＝；小麗沿岸向前走m選取點(diǎn)B

，

并測(cè)得∠CBD＝請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)

，

用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，幫小麗計(jì)算小河的寬度．【思路點(diǎn)撥】 過(guò)點(diǎn)

作

CE⊥

于點(diǎn)

E.先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BC

的長(zhǎng)，再在

eq

\o\ac(△,Rt) BCE

中，利用勾股定理和直角三角形中

°角的性質(zhì)求出

CE

的值即可．【解答】利用勾股定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，構(gòu)造直角三角形，再合理地設(shè)出未知數(shù)，利用勾股定理求解．4 ． 如圖 ， 高速公路的同側(cè)有A ， B兩個(gè)村莊 ，它們到高速公路所在直線的距離分別為AA＝km，BB＝km，AB＝km.現(xiàn)要在高速公路上AB之間設(shè)一個(gè)出口 ， 使A ，B兩個(gè)村莊到的距離之和最短，則這個(gè)最短距離是多少千米？重難點(diǎn)

圖形的折疊與勾股定理【 例 】 如圖 ， 將矩形ABCD沿直線AE折疊 ，頂點(diǎn)恰好落在BC邊上點(diǎn)F處．已知CE＝，AB＝，則BF＝____________.【思路點(diǎn)撥】 在

eq

\o\ac(△,Rt) EFC

中，先根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理求出

CF

的長(zhǎng)．再設(shè)BF＝，并用含

的代數(shù)式表示出

AF，在

eq

\o\ac(△,Rt) ABF

中，利用勾股定理即可求出

BF

的長(zhǎng)．解決關(guān)于折疊的問(wèn)題時(shí)

，常常利用折疊得全等

，從而得邊、角相等

，進(jìn)而把條件轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中，利用勾股定理建立方程求得線段長(zhǎng)度．．如圖，eq

\o\ac(△,Rt) ABC中，AB＝，BC＝，∠B＝，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)重合，折痕為，則線段的長(zhǎng)為 ． ． 備考集訓(xùn)一、選擇題本大題共

小題，每小題

分，共

分

．

廣

州

南

沙

區(qū)

期

末

以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)首尾相連

，能構(gòu)成直角三角形的一組是．，， ．，，

．，， ．，，

．

在eq

\o\ac(△,Rt) ABC中

，

，

b為直角邊

，

為斜邊．若＋b＝

，

＝

，則△ABC的面積是． ． ． ．無(wú)法確定．下列各命題的逆命題成立的是．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．如果兩個(gè)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等．兩直線平行，同位角相等．如果兩個(gè)角都是，那么這兩個(gè)角相等

．

要登上

m高的建筑物

，

為了安全需使梯子底端離建筑物

m

，則梯子的長(zhǎng)度至少為．

m ．

m ．

m ．

m．下列選項(xiàng)中，不能用來(lái)證明勾股定理的是．如圖eq

\o\ac(△,，)正方形網(wǎng)格中的 ABC，若小方格邊長(zhǎng)為eq

\o\ac(△,，)則 ABC是

．

直角三角形 ．銳角三角形

．

鈍角三角形．以上答案都不對(duì)第題圖 第題圖 ． 陜 西 如圖 ，將兩個(gè)大小、形狀完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合 ， 點(diǎn)C′落在邊AB上

，，連接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝，AC＝BC＝，則B′C的長(zhǎng)為．

． ．

.

．已知，b，是三角形的三邊長(zhǎng)，如果滿足－＋

b－＋－＝，那么下列說(shuō)法中不正確的是．這個(gè)三角形是直角三角形 ．這個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)是 ． 這個(gè)三角形的面積是 ．這個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊上的高是

．

設(shè)

，

b是直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)

，

若該三角形的周長(zhǎng)為

，斜邊長(zhǎng)為，則ab的值是． ． ． ．．如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為dm，圓柱高為dm，在圓柱的側(cè)面上

，過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為．

dm ．

dm ．

dm ．

dm二、填空題本大題共

小題，每小題

分，共

分 ． 如果三角形的三邊分別為 ， ， ，那么這個(gè)三角形的最大角的度數(shù)為_(kāi)___________．．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是____________．第題圖 第題圖．如圖eq

\o\ac(△,，) ABC中，⊥AB于，E是AC的中點(diǎn)．若＝，DE＝，則的長(zhǎng)等于____________．

．

已知－＋－和－＋互為相反數(shù)

，

則以

，

，為三邊的三角形是____________三角形． ． 如圖 ， 在平面直角坐標(biāo)系中 ，將長(zhǎng)方形沿直線AE折疊點(diǎn)E在邊上折疊后頂點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)F處．若點(diǎn)的坐標(biāo)為則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)___________．

，，

，第題圖 第題圖 ． 如圖 ， 在離水面高度為開(kāi)始時(shí)繩子與水面的夾角為

m的岸上有人用繩子拉船靠岸

，，

此人以每秒m收繩．則當(dāng)收繩秒后船向岸邊移動(dòng)了____________m結(jié)果保留根號(hào)．三、解答題共

分 ． 分 如圖 ， 已知某山的高度AC為米

，從山上A處與山下B處各建一個(gè)索道口

，

且BC＝

米

，歡歡從山下索道口坐纜車到山頂 ， 已知纜車每分鐘走米那么大約多少分鐘后，歡歡才能到達(dá)山頂？

，．

分已知，如圖，在△ABC中，∠＝，AB＝，AC＝，是BC邊上的高，求BC的長(zhǎng)． ．

分eq

\o\ac(△,))在 ABC中，＝m－，b＝，＝m＋，其中m，是正整數(shù)， 且m＞eq

\o\ac(△,，)試判斷 ABC是不是直角三角形．．

分如圖，已知∠＝，＝，＝，AB＝，BC＝證明：△ABC是直角三角形；請(qǐng)求圖中陰影部分的面積． ． 分 給出定義 ，若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方

，則稱該四邊形為勾股四邊形．在你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中，寫(xiě)出兩種勾股四邊形的名稱；如圖eq

\o\ac(△,，)將 ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△DBE，連接，，CE，已知∠＝①求證：△BCE是等邊三角形；②求證：＋＝，即四邊形是勾股四邊形．廣東期末復(fù)習(xí)二 勾股定理例 ∵eq

\o\ac(△,Rt) ABE≌eq

\o\ac(△,Rt) ECD ，∴∠AEB＝∠EDC.又∵∠EDC＋∠DEC＝

，∴∠AEB＋∠DEC＝∴∠AED＝∵ABCD＝

ABE

＋

DEC＋ AED，∴＋＋＝ab＋ab＋.整理，得＋b＝.例

根據(jù)勾股定理可知：AB＝

，BC＝

，＝

，＝

，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為

＋

證明：連接BD.∵BC＝

，＝

，

DB＝

，

∴BC＋＝BDeq

\o\ac(△,.)∴

BCD是直角三角形

，即∠＝例

過(guò)點(diǎn)作CE⊥于點(diǎn)E.由題意得

，

AB＝

m

，

∠＝

，∠CBD＝，∴∠ACB＝∠CAB＝∴AB＝BC＝m．在△BCE中，∵∠CBD＝ ， ∴∠BCE＝∴BE＝

BC＝m．又∵BC＝BE＋CE

，

∴CE＝

BC－BE

＝

－

＝

m．答：小河的寬度為

m.例

變式訓(xùn)練 ．

證明：在eq

\o\ac(△,Rt)

ABC和eq

\o\ac(△,Rt)

DEC中

，

AC＝，AB＝DE，∴eq

\o\ac(△,Rt) ABC≌eq

\o\ac(△,Rt) DEC(．∴∠BAC＝∠EDC.∵∠AEF＝∠DEC∠EDC＋∠DEC＝

，，∴∠BAC＋∠AEF＝∠EDC＋∠DEC＝∴∠AFE＝－∠BAC＋∠eq

\o\ac(△,S)

ABD＝AEF)＝∴DE⊥由題意知eq

\o\ac(△,S)

ABD＝

BCE＋eq

\o\ac(△,S)

＋eq

\o\ac(△,S)

ABE＝

＋

b＋，∵eq

\o\ac(△,S)

ABD＝＋，∴＋＋＝＋．∴＋b＝.．

．

EF與DE垂直

，

即EF⊥DE.理由如下：連接

，

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為

， 則＝＝

，

AF＝

，

BF＝

，

BE＝EC＝

在eq

\o\ac(△,Rt) DAF中

，＝＋AF＝

.在eq

\o\ac(△,Rt)

CDE中

，

DE＝＋CE＝

.在eq

\o\ac(△,Rt) EFB中

，

EF＝FB＋BE＝

.∵DE＋EF＝

＋

＝

＝eq

\o\ac(△,，)∴ DFE為直角三角形．∴EF⊥DE. ． 過(guò)B作B點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)B

，

連接AB′交AB于點(diǎn)

，則＋＝＋PB′＝AB′

，

易知點(diǎn)即為到A

，B距離之和最短的點(diǎn)．過(guò)A作AE⊥BB′于點(diǎn)E

，

則AE＝AB＝

，B′E＝AA＋BB＝B′E＝AA＋BB＝＋＝由勾股定理

，

得AB′＝

＋＝即＋＝AB′＝故出口到A，B兩村莊的最短距離之和是

km.．備考集訓(xùn)． ．

－ 直角 ， ．

－

． 根據(jù)已知可得∠ACB＝在△ABC中 ， 根據(jù)勾股定理 ，得AB＝ AC＋BC ＝ ＋

＝ 米＝分鐘．答：大約分鐘后，歡歡才能到達(dá)山頂．

．

∵∠＝

，

是BC邊上的高

，

∴∠＝∵AC＝

，∴＝∴＝ .∴BD＝ AB－＝∴BC＝＋BD＝＋＝ ． ∵m ， 是正整數(shù) ， 且m＞ ， ∴＞b ，＞∴＋b＝－＋＝m－2m＋＋4m＝m＋2m＋.又∵＝＋＝m＋2m＋ ，∴＋b＝eq

\o\ac(△,.)∴ ABC是直角三角形．

．

證明：∵在eq

\o\ac(△,Rt) 中

，

∠＝

，

＝

，

＝

，∴AC＝＋＝＋＝∴AC＝在△ABC中

，∵AC＋BC＝＋＝

，