31空間向量及其運(yùn)算測試題

-1--—a+—b+c21『1，——a——b+-1--—a+—b+c21『1，——a——b+c22()在題后的括號內(nèi)(每小題5分，共50分).在平行六面體ABCD—ABCD中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若~AB=U,TOC\o"1-5"\h\z11111Ad=b,a1a=C.則下列向量中與Bm相等的向量是()A1『1T一八A.——a+—b+cB?21「1-C?一a一一b+cD.22在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的是■—-———-—1——1——1—A.OM=2OA-OB-OCB.OM=—OA+—OB+—OC532C.MA+MB+MC=0D.OM+OA+OB+OC=0已知平行六面體ABCD—ABCD中，AB=4,AD=3,AA=5,ZBAD=900,ABAA=ADAA=600，則AC'等于()A.85B.品5C.5克D.504A.85B.品5C.5克D.50A.(L1,1)B.(—1,—3,2)3TOC\o"1-5"\h\z3-_C.(一一,一,一1)D.—'Z,—3,一2\：2)2已知人(一1,—2,6),B(1,2,—6)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量OA,與OB的夾角是()A.0B.土C.兀D.3122已知空間四邊形ABCD中，OA=a,OB=b,OC=c，點(diǎn)M在OA上，且OM=2MA,N為BC中點(diǎn)，則MN=()A.1.2「1.—a-—b+—c232B.i11-一一a+-b+—c22C.■1■1-—a+—b——c22D.2，2「1-—a+—b——c332設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足AB?AC=0,AC?aD=0,AB?AD=0，則?BCD是()A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.不確定空間四邊形OABC中，OB=OC,?AOB=?AOC=6Oo,則cos；OABC‘：=()

.1n<2八c1A.—B.—C.?-D.02229.已知A（1，1，1)、B(2，2,2)、C(3，2,4），則AABC的面積為（）A.拓B.2杪C.優(yōu)D.E2已知a=(1-1,1-1,t),b=(2,t,t)頂Ia-bI的最小值為()av5Rv55「3*5口11A.B.C.D.二、填空題：請把答案填在題中橫線上（每小題6分，共24分）.11.若a=（2,3,-1）,b=（-2,1,3），則a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為.已知空間四邊形OABC，其對角線為OB、AC,M、N分別是對邊OA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且MG=2GN，現(xiàn)用基組OA,OB,OC&示向量OG，有OG=xOA+yOB+zOC，則x、y、z的值分別為.已知點(diǎn)A（1，?2，11）、B（4，2，3），C（6，?1，4），則?ABC的形狀是.14.已知向量a=（2,-3,0），b=（k,0,3），若a,b成120。的角，則k=.三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟供76分）.15.（12分）如圖，已知正方體15.（12分）如圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為a，M為BD'的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC"上，x中點(diǎn)，y四面體的對x中點(diǎn)，y四面體的對AB=（2，一且IA'NI=3INC'I，試求MN的長.（12分）如圖在空間直角坐標(biāo)系中BC=2,原點(diǎn)O是BC的點(diǎn)A的坐標(biāo)是（U,1,。），，點(diǎn)2在平面yOz上，且ZBDC=90°，ZDCB=30°.（1）求向量OD的坐標(biāo)；（2）設(shè)向量AD和BC的夾角為。，求cos。的值（12分）若四面體對應(yīng)棱的中點(diǎn)間的距離都相等，證明這個棱兩兩垂直.（12分）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個平行四邊形，1，一4｝，aD=（4，2，0），AP=（—1，2，—1）.（1）求證：PA±底面ABCD；（2）求四棱錐P-ABCD的體積；（14分）如圖所示，直三棱柱ABC—ABC中，CA=CB=1，ZBCA=90。，棱AA=2,M、N分別是TOC\o"1-5"\h\zAB、AA的中點(diǎn).1111111（1）求BN的長；（2）求cos<BA,CB>的值；七（3）求證：AB±CM.'一（14分）'如圖'，已知平行六面體ABCD—ABCD的底面ABCD是菱形且ZCCB=ZCCD=ZBCD=60°.1111■了…F(1)證明：CC±BD；(2)假定CD=2,CC=3，記面CBD為a，面CBD為B，求二面角a—BD一11216的平面角的余弦值；(3)當(dāng)CD的值為多少時，能使AC±平面CBD?請給出證明.CC111參考答案.一____1一__1_一1-1--一、1.A；解析：BM=BB+BM=AA+^(BA+BC)=c+^(—a+b)=一^a+^b+c.評述：用向量的方法處理立體幾何問題，使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力.A；解析：空間的四點(diǎn)P、A、B、C共面只需滿足OP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=1既可.只有選項(xiàng)A.B；解析：只需將AC；=AB+AD+AAr，運(yùn)用向量的內(nèi)即運(yùn)算即可，IAC；1=VAC；2.C；解析：向量的共線和平行使一樣的，可利用空間向量共線定理寫成數(shù)乘的形式.即r—■—pirb。0,a//b=a=Xb.C；解析：cos9=_ab_，計算結(jié)果為一1.IaI-1bI1p-2——pB；解析：顯然MN=ON-OM=^(OB+OC)-3OA.B；解析：過點(diǎn)A的棱兩兩垂直，通過設(shè)棱長應(yīng)用余弦定理可得三角形為銳角三角形.D；解析：建立一組基向量OA,OB,OC，再來處理OA-BC的值.AB-ACD；解析：應(yīng)用向量的運(yùn)算，顯然cos<AB,AC>=__nsin<AB,AC>，|AB||AC|從而得S=11AB||AC|sin<aB,aC>.2TOC\o"1-5"\h\zC；一、6^5；解析：cos<a,b>=?S=—2，得sin<a,b>=、''，可得結(jié)果.|a||b|771OA+1OB+1OC；633解析：直角三角形；解析：利用兩點(diǎn)間距離公式得：|AB|2=|BC|2+|AC|2.14.-\.39；解析：cos<a,b>=—=*=—J_，得k=±問.|a|-1b|.\；13f'9+k22

解：以D為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)檎襟w棱長為s所以B(a,a,0),A'(a,0,a),C'(0,a,a),D'(0,0,a).TOC\o"1-5"\h\z由于M為BD'的中點(diǎn)，取A'C，中點(diǎn)O',所以M(a,a,a),O'(a,a,a).因?yàn)镮A'N1=31NC'I,22222所以N為A'C'的四等分，從而N為O'C'的中點(diǎn)，故N(a,3a,a).44根據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式，可得IMNI=」(a-a)2+(a-竺)2+(a-a)2=史a.242424解：(1)過D作DELBC,垂足為E,在RtABDC中，由ZBDC=90°，/DCB=30°,BC=2,11=1——2得BD=1,CD=、5，：.DE=CD?sin30°^3.OE=OB~BE=OB~BD?cos602一、，1q、一一，—?.?D點(diǎn)坐標(biāo)為（0,一萬，—廠），即向量OD[TX—]的坐標(biāo)為｛0,,、31———(2)依題意：OA=^-'-'0}'OB={0'-1'0}'OC={0'1'0},所以SOD一OA={?'-"}，BC=OC-OB={0'2'0}.11=1——2設(shè)向量AD和BC的夾角為。，則qAD?BC*0+(-1)*2+g*0cos°=:==IADI?IBCI：、3t3■■(—工)2+(-1)2+(工)2?t02+22+02*221-—r23,212'23證：如圖設(shè)SA=r1'SB=r2'SC=r3，則SE,SF\SG,SH,SM‘SN分別為二r，-(r+r)1——-1-—r23,212'23展開得r?r=r?r1223(r3-r2)=0,*?.?r±(r-r)艮口SA±BC.132同理可證SB±AC,SCXAB.18.(1)證明：,「AP?AB=一2—2+4=0,AAPXAB.

又AP-AD=-4+4+0=0,^AP±AD.^AB.AD是底面ABCD上的兩條相交直線，.?.APL底面ABCD.(2)解：設(shè)aB與aD的夾角為。，則TOC\o"1-5"\h\zQAB-AD8-23cos°==——.=IABI-1ADI<4+1+16f.16+4v1051.一2■9-:—-一V=-1ab|?IADI?sin°?IAP|=—十105-1—?*1+4+1=163105(3)解：I(ABXAD)?API=I-4-32-4-8I=48它是四棱錐P—ABCD體積的3倍.猜測：I(abXAD)?API在幾何上可表示以AB、AD、AP為棱的平行六面體的體積(或以AB、AD、AP為棱的直四棱柱的體積).評述：本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積、空間向量垂直的充要條件、空間向考力.(0,量的夾角公式和直線與平面垂直的判定定理、棱錐的體積公式等.主要查考生的運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力及空間想象能19.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O考力.(0,依題意得B(0,1,0)、N(1,0,1)???IBNI=\,(1-0)2+(0—1)2+(1—0)2=*.依題意得A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B11,2)BA={—1,—1,2},CB={0,1,2,},BA?CB=3,IBAI=\/6,ICBI=七5111111???cos<BA,CB>=BA「CB1,=—v30.11IBAI?ICBI10，、…，、…一，，11、(3)證明：依題意，得C1(0,0,2)、，、…，、…一，，11、(3)證明：依題意，得C1(0,0,2)、M(^,5,2),ABAB?CM=—2+—+0=0,?.?A]B±C]M,:,A1B±C1M.評述：本題主要考查空間向量的概念及運(yùn)算的基本知識.考查空間兩向量垂直的充要條件.20.(1)證明：設(shè)CB=a,CD=b,CC=c，則IaI=IbI,VBD=CD-CB=b—a,bD?CC=(b—a)?c=b?c—a?c=IbI?IcIcos60°-1aI?IcIcos60°=0?.?C1C±BD.(2)解：連AC、BD,設(shè)ACEBD=O,連OC『則ZC1OC為二面角a—BD—^的平面角.CO=1(bC+CD)=1(a+b),CO=CO-CC=1(a+b)—c22112

???co-co=-(a+b)TOC\o"1-5"\h\z12—b-—to-—r—r(a2+2a?b+b2)313—cos60°——?2?—cos60°2221c、1313—cos60°——?2?—cos60°2222CO-CO

1—…=——3貝皿COIf,|CO|=—,12AcosCOC=—__1ICOI-1COCO-CO

1—CD(3)解：設(shè)--=x,1cs2CD=2頂CC1=-.VBD±平面A