初中數學重點梳理：旋轉

1111旋轉知識定位旋轉在初中幾何或者競賽中占據非常大的地位，是解決平面幾何中最重要的工具之一它的有關知識是今后我們學習綜合題目重要基礎。本節(jié)需要掌握旋轉圖形變換的特征；學會運用旋轉的特征進行圖形的求解換。本節(jié)我們通過一些實例的求解，旨在介紹數學競賽中旋轉相關問題的常見題型及其求解方法本講將通過例題來說明這些方法的運用。知識梳理1、旋轉的定義在平面內，把一個圖形繞著某一個點O旋轉一個角度的圖形變換叫做旋轉。點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角，如果圖形上的點P經過旋轉變?yōu)辄cP',那么這兩個點叫做對應點。注意：旋轉是圍繞一點旋轉一定的角度的圖形變換，因而旋轉一定有旋轉中心和旋轉角，且旋轉前后圖形能夠重合，這時判斷旋轉的關鍵．旋轉中心是點而不是線，旋轉必須指出旋轉方向.旋轉的范圍是平面內的旋轉，否則有可能旋轉成立體圖形，因而要注意此點。2、旋轉的基本特點（1）旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等．對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．旋轉前、后的圖形全等.（2）旋轉三要素：旋轉中心；旋轉方向；旋轉角度．注意：三要素中只要任意改變一個，圖形就會不一樣．3、旋轉對稱圖形如果某一個圖形圍繞某一點旋轉一定的角度（小于360°）后能與原圖形重合，那么這個圖形就叫做旋轉對稱圖形。常見的旋轉對稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等．4、中心對稱（1）中心對稱的定義：把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點。（2）中心對稱的性質：關于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；關于中心對稱的兩個圖形，對應點的連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分.（3）中心對稱圖形：注意：中心對稱圖形和中心對稱不同，中心對稱是兩個圖形之間的關系，而中心對稱圖形是指一個圖形自身的特點，這點應注意區(qū)分，它們性質相同，應用方法相同．常見的中心對稱圖形：:平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等．5、關于原點對稱的點的坐標特點兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P(x,y)關于原點0的對稱點是P'(-x,-y).關于原點對稱的點或圖形屬于中心對稱，它是中心對稱在平面直角坐標系中的應用，它具有中心對稱的所有性質．但它主要是用坐標變化確定圖形．注意：運用時要熟練掌握，可以不用圖畫和結合坐標系，只根據符號變化直接寫出對應點的坐標．(3)坐標與圖形變化--旋轉關于原點對稱的點的坐標：P(x,y)P(-x,-y)旋轉圖形的坐標：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標．常見的是旋轉特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°．6、幾種常見的變換平移變換：在平移變換下,對應線段平行且相等．兩對應點連線段與給定的有向線段平行(共線)且相等．軸對稱變換：在軸對稱變換下,對應線段相等,對應直線(段)或者平行,或者交于對稱軸,且這兩條直線的夾角被對稱軸平分．旋轉變換：在旋轉變換下,對應線段相等,對應直線的夾角等于旋轉角。位似變換：在位似變換下,一對位似對應點與位似中心共線；一條線上的點變到一條線上,且保持順序,即共線點變?yōu)楣簿€點,共點線變?yōu)楣颤c線；對應線段的比等于位似比的絕對值,對應圖形面積的比等于位似比的平方；不經過位似中心的對應線段平行,即一直線變?yōu)榕c它平行的直線；任何兩條直線的平行、相交位置關系保持不變；圓變?yōu)閳A,且兩圓心為對應點；兩對應圓相切時切點為位似中心例題精講r【試題來源】【題目】在厶ABC中，ZC為等腰直角三角形，AB=BC,PABC內一點，若PA2+2PB2=PC2求ZAPB的大小【答案】135【解析】解：作厶ABPR(B,90°)△CP'Bk.\ZAPB=ZCP'B,P'C=PA,PB=P'B,ZPBP'=ZRTAii11.??PP'■v'2PB,即PB=PP'2又:PA2+2PB2=PC2,1,.??P'C2+2(PP')2=PC2即P'C2+PP'2=PC2???△P'PC為直角三角形。AZPP'C=90°?ZAPC=ZAPZBP'C=90°+45°=135【知識點】旋轉【適用場合】當堂例題【難度系數】3【試題來源】【題目】設P為等邊三角形ABC內一點，且PA=5,PB=4,PC=3，求此三角形的邊長。【答案】【解析】解：將厶APC繞C逆時旋轉60°到厶BDC的位置，則△DPC是等邊三角形。?BD=PA=5,PB=4,PD=PC=3.?.△DPB是直角三角形，ZDPC=90°。.??ZBPE=180°-90°-60°=30°過B作CP的垂線,PB=4，則BE=2,EP=2在直角三角形BEC中，BC2=BE2+EC2=22+(2+3)2=25+12:：BC=【知識點】旋轉【適用場合】當堂練習【難度系數】3【試題來源】2006年北京初二數學競賽試題【題目】在厶ABC中AC=BCZACB=90od、E是邊AB上的兩點.AD=3.BE=4ZDCE=45o則厶ABC的面積是多少【答案】36【解析】解：把Acad繞c逆時針旋轉90。得到△cbf???BF=AD=3ZA=ZCBF=45o??ZCBA=45o.??ZEBF=900???BE=4?EF=5AE1而ZEAE]ADCE9AFCE?DE=EF=511?:S4bc=4AB2=4(3+4+5)2二36知識點】旋轉適用場合】當堂例題難度系數】3試題來源】2012年北京市初二學生數學競賽試題【答案】6+4打【解析】解：以B為旋轉中心，將△ABP順時針旋轉60。角到ABaC的位置，連接PQ易知ABPa是等邊三角形因為PQ=BQ=BP=4,ZPQB=60。又△BQC9AAPB?CQ=AP=31111則CP2523242CQ2PQ2???ZPQC=9OoS=S=S+S故四變形ABCP四變形PBQC△pbq△pbq「342143=6+4、；342知識點】旋轉適用場合】當堂練習題難度系數】3【試題來源】2011年《數學周報》杯全國初中數學競賽試題【題目】如圖已知正方形ABCD的邊長為1,P、Q是其內兩點，且ZPAQ=ZPCQ=450,求S^+S+SPAB△PCQ△QAB答案】1/2【解析】解：將AAQD繞點A順時針旋轉900至AAQ/B.△CQD繞點C逆時針旋轉900至ACQ//B連接PQ/,PQ//則厶人卩?gAAPQ,ACPQ//^△CPQ由ZABQ/+ZCPQ//=ZADQ+ZCDQ=900知Q/、B、Q/三點共線且BQ/=DQ/=BQ//則、PBQ/=?bq〃故SaPAB+S^PCQ+SaQAB=SaPAQ+S^PBC+SaQCD=2S正方形CD_1=2【知識點】旋轉【適用場合】當堂例題【難度系數】4【試題來源】【題目】如圖，P是等邊三角形ABC內一點，ZAPB,ZBPC,ZCPA的大小之比為5：6：7,則以叭PB，PC為邊的三角形三內角大小之比（從小到大）是（）答案】2：3：4【解析】解：如圖，將AAPB繞A點逆時針旋轉60°得△AP'C,顯然有△AP'C^AAPB，連PPZ,?.?AP'=AP,ZP'AP=60°,:.△APT是等邊三角形，.??PP'=AP,???PC=PB,.?.△PCP的三邊長分別為PA,PB,PC,VZAPB+ZBPC+ZCPA=360°,ZAPB：ZBPC：ZCPA=5：6：7,AZAPB=100°,ZBPC=120°,ZCPA=14O°,.??ZPP'C=ZAP'C-ZAPZP=ZAPB-ZAP'P=100°-60°=40°,ZPzPC=ZAPC-ZAPP'=140°-60°=80°,ZPCP'=180°-(40°+80°)=60°,.??ZPP'C：ZPCP'：ZP'PC=2：3：4.

知識點】旋轉適用場合】當堂練習題難度系數】4試題來源】【題目】如圖，△ABC內，ZBAC=60°,ZACB=40°,P,Q分別在BC,CA上，并且AP,BQ分另I」是ZBAC,ZABC的平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP.答案】如下解析【解析】證明：延長AB到D,使BD=BP，連接PD?則ZD=Z5.TAP,BQ分別是ZBAC,ZABC的平分線，ZBAC=60°,ZACB=40°,.??Zl=Z2=30°,ZABC=180°-60°-40°=80°,Z3=Z4=40°=ZC..??QB=QC,又ZD+Z5=Z3+Z4=80°,???ZD=40°.在△人卩。與4APC中，AP=AP,Z1=Z2,ZD=ZC=40°.?.△APD9AAPC(AAS),.AD=AC.即AB+BD=AQ+QC，.AB+BP=BQ+AQ.

A知識點】旋轉適用場合】當堂例題難度系數】4試題來源】【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,ZD=90°,BC=CD=12,ZABE=45°，點E在DC上,AE、BC的延長線交于點F,若AE=10，則S^ADE+S^CEF的值是.答案】30或48【解析】解：過B點作BG丄AD交DA的延長線于G,得四邊形BCDG為正方形,又把RtABCE繞點B順時針旋轉90°,得厶BGE,貝9BE'=BE且ZEBE'=90°,?.?ZABE=45°,AB=AB,.?.△ABE'^AABE,.??AE'=AE=10,設CE=x,貝9AG=10-x,DE=12-x,AD=DG-AG=x+2,在RtAADE中，由(12-x)2+(x+2)2=102，得x=4或x=6.?.?AD〃CF,.?.△CEFs^DEA,又S^ade冷xADxDE冷(x+2)(12-x),

當x=4時，當x=6時SaAde=24，S^cef=6，故SaAde+當x=4時，當x=6時SaAde=24，S^cef=6，故SaAde+SaCef=3°，S^ADE=24，S^CEF=24，故S^ADE+S^CEF=48-DA<?S'I-"I7知識點】旋轉適用場合】當堂練習題難度系數】5試題來源】【題目】如圖，在AABC中，ZBAC=120°,P是△ABC內一點，則PA、PB、PC、AB、AC的關系A3【答案】AB+ACVAP+BP+CP.??ZCAC'=ZPAP=60°,AC=AC',AP=AP',PC=P'C,???△APP為等邊三角形，.??PP'=AP,VZBAC=120°,.??ZBAC'=120°+60°=180°,即B,A,C共線，.??BC'VBP+PP'+P'C,即AB+ACVAP+BP+CP.

適用場合】當堂例題難度系數】4【試題來源】【題目】圖，設P到等邊三角形ABC兩頂點A、B的距離分別為2、3則PC所能達到的最大值為是多少答案】5【解析】解：把PA繞點A逆時針旋轉60°,得AD,貝yDA=PA,連CD，DP,CP,如圖,?.?△ABC為等邊三角形ABC,.??ZBAC=60°,AC=ABAZDAC=ZBAP,.?.△DAC9APAB,.??DC=PB,而PB=3,PA=2,.DC=3,?.?PCWDP+DC,APC<5,所以PC所能達到的最大值為5..

適用場合】當堂練習題難度系數】4習題演練尸廣【試題來源】【題目】）如圖，AABC是等腰三角形，ZC=90°,O是AABC內一點，點0到AABC各邊的距離等于1,將AABC繞點0順時針旋轉45°得到△AXBXCX，兩三角形的公共部分為多邊形KLMNPQ.證明：△AKL,ABMN,ACPQ都是等腰直角三角形.求證：AABC與厶A1B1C1公共部分的面積.答案】如下解析【解析】證明：①連接OC、OC1，分別交PQ、NP于點D、E,根據題意得ZCOC1=45°.???點O到AC和BC的距離都等于1,???0C是ZACB的平分線.?.?ZACB=90°???ZOCE=ZOCQ=45°同理ZOC1D=ZOC1N=45°AZOEC=ZODC1=90°AZCQP=ZCPQ=ZC1PN=ZC1NP=45°???△CPQ和厶C1NP都是等腰直角三角形.AZBNM=ZC1NP=45°ZA1QK=ZCQP=45°,VZB=45°ZA1=45°,???△BMN和厶A1KQ都是等腰直角三角形..??ZB1ML=ZBMN=90°,ZAKL=ZA1KQ=90°AZB1=45°ZA=45°/.△B1ML和AAKL也都是等腰直角三角形.②在RtAODC]和RtAOEC中，OD=OE=1,/COC]=45°AOC=OC1=TOC\o"1-5"\h\z???CD=C1E=l'2^1_.??PQ=NP=202-1)二2匚紅2,_CQ=CP=C1P=C1N^1(T2-1)=2-延長CO交AB于HCO平分ZACB，且AC=BCCH丄AB,_.??CH=CO+OH=''衛(wèi)+1___AC=BC=A1C1=B1C1^2(I2+1)=2+匚2,?:也亦尹遼+◎i,A1Q=BN=(2^2)-(2T2-2)-(2-l2)=2,KQ=MN=I2,?冊冷乂(：：小Jl，*.*AK=(2+12)-(2-l戈)-l戈=12,$△血兮乂(Q2=1，--$參邊^(qū)KLMNP(F^AABC-^ACPQ-^ABW-=(3+2^2)-(A2血)-1-1=4^/2~2

6r知識點】旋轉適用場合】隨堂課后練習難度系數】5試題來源】【題目】已知，直角三角形ABC中，ZC=90°,點D、E分別是邊AC、AB的中點，BC=6.(1)如圖1,動點P從點E出發(fā)，沿直線DE方向向右運動，則當EP=時，四邊形BCDP是矩形；2)將點B繞點E逆時針旋轉．如圖2,旋轉到點F處，連接AF、BF、EF.設ZBEF=a°，求證：AABF是直角三角形；如圖3,旋轉到點G處，連接DG、EG.已知ZBEG=90°,求厶DEG的面積.衛(wèi)刈4\hx答案】如下解析【解析】解：(1)7四邊形BCDF是矩形，???DP=BC=6,???點D、E分別是邊AC、AB的中點，?.DE=2bC=3,?.EP=6-3=3,2故答案為：3；(2)①??點E是邊AB的中點，??AE=BE,?根據旋轉的性質可得，BE=EF，?BE=EF=AE

可得ZEBF=ZBFE冷(180°-a°)=90°-ga°,

在AAEF中，可得ZEAF=ZAFE^ZFEB=|c???△ABF是直角三角形；②過點E作EK丄BC,垂足為點K,過點G作GM丄DE交DE延長線于M,???點D、E分別是邊AC、AB的中點，.??DE〃BC,TZC=90°,/.ZEDC=90°,VZC=90°,EK丄BC,GM丄DE,?ZM=ZEKB=90°,EK〃DC,/.ZMEK=ZEDC=90°,ZMEB+ZBEK=90°,EG丄AB,???ZGEB=90°,/.ZGEM+ZMEB=90°,/.ZGEM=ZBEK,?將點B繞點E逆時針旋轉到G,?EG=BE,VN=ZEKB在△GME和ABKE中?/GEN二上EEK,’EG二EE△GME^ABKE(AAS),GM=BK，VZC=ZEKC=ZEDC=90°,?四邊形DCKE是矩形，?DE=CK=3，.??GM=BK=6-3=3,11q△DEG的面積為尹ExGM垃x3x3垃.知識點】旋轉適用場合】隨堂課后練習難度系數】4

試題來源】【題目】如圖，凸四邊形ABCD滿足條件：AB=AD,ZBAD=60°,ZBCD=120°那么ACBC+CD.（填“〉”或“Z”或“=”)答案】相等【解析】解：將AABC繞點A逆時針旋轉60°到厶ADE，則有△ABC與厶ADE全等.???AC=AE,ZABC=ZADE.VZBAD=60°,ZBCD=120°.AZADC+ZADE=ZADC+ZABC=180°.???C、D、E三點共線.???BC+CD=DE+DC=CE.又?ZZCAE等于旋轉角，即ZCAE=60°,??.△ACE為等邊三角形.?AC=BC+CD．A知識點】旋轉適用場合】隨堂課后練習難度系數】3

【試題來源】【題目】如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中ZC=90°,ZB=ZE=30°.(1)如圖2,固定△ABC,將ADEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，設ABDC的面積為S.△AEC的面積為S2，那么S］與S2的數量關系是;當厶DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想(1)中Si與S2的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和AAEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想.如圖4,ZABC=60°，點D在其角平分線上，BD=CD=6，DE#AB交BC于點E,若點F在射線BA上，并且S^DCF=S^BDE,請直接寫出相應的BF的長.XT圖斗答案】如下解析【解