期權option賦予買方在期限內按約定價格購買

大學統(tǒng)計學院的基本概（option）：賦予買方在規(guī)定期限內按約定價格或出售一定數(shù)量標的資產的權利。Therighttobuyorsellanasset.的買方（buyer）：擁有在合約規(guī)定的時間或出看漲（calloption）：賦予買方以執(zhí)行價格交易中的雙 關看漲看跌買以執(zhí)行價格買入以執(zhí)行價格賣出賣例（概念辨析）：多頭，空頭，看漲，看跌A向B支付100元后，利在年底按每股22元的價格B出售1000股A是多頭，B是空頭，看跌C向D支付110元后，利在年底按每股20元的價格從D1000股。W利在年底向Y按5％的利率借款100萬元W是多頭，Y是空頭，看漲例：概念辨析（配對1.1.2.3.4.A.B.C.標的資產的權D.標的資產的義Exercise歐式(European-styleoption)：買方只能在到日美式(American-styleoption)：允許買方在到前的任何時間執(zhí)行。美式的價值大于相應的歐式的價值百慕大(Bermudan-styleoption)：買者可以在到期前上述三種可以在全世界范圍內，沒有任何地理執(zhí)行價格（exerciseprice,strikeprice）：合約所規(guī)定的、買方在行使其權利時，實際執(zhí)行的標的資產的價實值虛值平價The“Moneyness”ofan實值（inthemoney）：anoptionwhichwouldhaveapayoff(butnotnecessarilypositiveprofit)ifexercised 虛值（outofthemoney）:anoptionthatwouldhaveapayoffifexercised 平價（atthemoney）：Anoptionforwhichthestrikeprice yequaltotheasset對于看漲多頭（標的資產的權利執(zhí)行價格市場價格，實值執(zhí)行價格>市場價格，虛對于看跌多頭（出售標的資利執(zhí)行價格>市場價格，實執(zhí)行價<市場價格，虛價格與執(zhí)行價格的區(qū)別價格（費）：合約本身的價格執(zhí)行價格：合約中標的資產的交易價格。例：A向B支付100元后，利在年底按每股22元的價格向B出售1000股。假設年底時的市場價格為23看漲還是看跌？多頭？空頭實值還是虛值的回收（payoff）和盈虧看漲多頭的回收＝max[0,滿期時的現(xiàn)貨價格－執(zhí)行價格Purchasedcallpayoff＝max[0,spotpriceat看漲多頭的盈虧＝max[0,滿期時的現(xiàn)貨價格－執(zhí)行價格—費的終Purchasedcallprofit＝max[0,spotpriceatexpiration－strikeprice]–futurevalueofoptionpremium例：一個關于A的看漲，期限是1年，執(zhí)行價格假定1年后A的即期價格是110元，則看漲多max[0，110105]=5（元如果滿期時的價格是100元，那么看漲多頭max[0，100105]=0（元例：一個關于A的看漲，期限是1年，執(zhí)行價格是105元。假設1年期的年實際利率是5%，該看漲的期權費是9.40元，則費的終值是9.40×1.05=9.87。如果在滿期時A的價格是120元，則的所有將執(zhí)行該?？礉q多頭的盈虧是max[0，120105] =5.13（元如果滿期時A的價格是100元，所有者將不執(zhí)行該，那么看漲多頭的盈虧是：max[0，100105]9.87=9.87（元看漲空頭的回收和盈虧Writtencallpayoff=-max[0,spotpriceatexpirationstrikeWrittencallprofit=-max[0,spotpriceatexpiration–strikeprice]+futurevalueofoptionpremium看跌(putoption)的回收和盈虧Purchasedputpayoffand看跌多頭的回收＝max[0,執(zhí)行價格－滿期時的現(xiàn)貨價格看跌多頭的盈虧＝max[0,執(zhí)行價格－滿期時的現(xiàn)貨價格—費的終WrittenputpayoffandWrittenputpayoff=-max[0,strikeprice–spotpriceatexpiration]Writtenputprofit=-max[0,strikeprice–spotpriceatexpiration]+futurevalueofoption的盈看 的價 看漲的價

執(zhí)行價

標的資產的市場價 0--0股0--00--0股0--0股盈盈看漲多頭的盈 看漲空頭的盈盈盈

K)Cer(Tt)

)Cer(TtCer(Tt)

最大：Cer(Tt0--0股0--0股0--0股0--0股盈盈看跌多頭的盈 看 空頭的盈max0,

Per(Tt

min0,

K

Per(Tt

Per(Tt

最大虧損：Per(Tt)

Per(Tt

最大：Per(Tt看漲與看跌的平價關系（parity）t考慮下述兩個投資組合：組合A：一份歐式看漲，加上現(xiàn)

Ker(Tt組合B：一份歐式看跌，加上一單位。STK ，用K，故A的價值為B：不執(zhí)行看跌，B的價值為STST低于執(zhí)行價格K：不執(zhí)行看漲，A的價值為執(zhí)行看跌，把按K出售，故B的價值為組合A：一份歐式看漲，加上現(xiàn)

Ker(Tt組合B：一份歐式看跌，加上一單位tCKer(Tt

P此即歐式看漲與看跌之間的平價關系

CP

Ker(TtPVCP結論：如果遠期價格F大于執(zhí)行價格K，則看漲的價格C大于看跌的價格P，即FF>TC>F<TC<F=TC=交易策差價混合保險策略：應用對資產頭寸進行保險。為資產多頭看跌；為資產空頭看漲擁有資產多頭的同時，出售看漲；擁有資產空頭的同時，出售看跌為資產多頭看跌（地板策略，floor）：確保資資產多頭與看跌多頭的組合的盈虧，類似于看漲權的盈虧（下圖S

C

Ker(Tt盈盈0-0盈盈0-0盈盈組合的總盈為資產空頭看漲（cap,帽子策略）：為資產價格資產空頭與看漲多頭的組合的盈虧，類似于看跌S

P

Ker(Tt空頭與看漲多頭的組合：類似于看跌多盈盈-

盈 盈 組合的總盈有擔保的看漲空頭（coveredcall）：在擁有資產多頭的同時，出售看漲。Ashortpositioninacalloptiononanassetcombinedwithalongpositionintheasset.資產多頭與看漲空頭的組合，其盈虧類似于看空頭的盈虧（下圖S

P

Ker(Tt盈盈0-0盈盈組合的總0-0盈盈組合的總盈有擔保的看漲空頭(coveredcall)與帽子策略(cap)的比出售，看漲SCPKer(Tt)看跌，出售看漲SCPKer(Tt)有擔保的看跌空頭（coveredput）：在擁有資產空頭的同時，出售看跌。資產空頭與看跌空頭的組合，其盈虧類似于看漲權空頭（下圖S

Ker(Tt盈盈0-0盈 盈有擔0-0盈 盈有擔保的看跌空頭與地板策略的比，看跌SPCKer(Tt)看漲跌空出售，出售看跌SPCKer(Tt)差價兩個或多個同種（即同是看漲，或同是看跌）牛市差價（bullspreads）：可以由不同的方式構一份看漲多頭，加上一份期限相同、執(zhí)行價格高的看漲空頭一份看跌多頭，加上一份期限相同、執(zhí)行價格較高的看跌空頭?？礉q的牛市差價一份看漲多頭，加上一份執(zhí)行價格較高的看漲空盈0盈--0低執(zhí)行價看跌的牛市差一份看跌多頭，加上一份執(zhí)行價格較高的看跌空頭盈0盈0熊市差價（bearspreads）一份看漲多頭，加上一份期限相同、執(zhí)行價格較低的看漲空頭。一份看跌多頭，加上一份期限相同、協(xié)議價格較低的看跌空頭?？礉q的熊市差一份看漲多頭，加上一份執(zhí)行價格較低的看漲空盈0盈--0行價看跌的熊市差一份看跌多頭，加上一份協(xié)議價格較低的看跌空盈0盈-15-300行價盒式差價（boxspread）：通過生成兩個合成遠期+遠期＝+看漲看跌遠期＝看漲+看跌（見下頁圖示遠期＝看漲看跌0K看跌空 看 多 合成遠期多例用2.78元一個執(zhí)行價格為40元的看漲，并用1.99元的價格出售一個執(zhí)行價格為40元的看跌，就成本：2.781.990.79用0.97元的價格出售一個執(zhí)行價格為45元的看漲，并用5.08元一個執(zhí)行價格為45元的看跌，就可成本：5.080.974.11元。結果：相當于零息債券用2.78元一個執(zhí)行價格為40元的看漲，并用1.99元的價格出售一個執(zhí)行價格為40元的看跌，就可以生成一個合成遠期多頭（交看跌空看漲多用0.97元的價格出售一個執(zhí)行價格為45元的看漲，并用5.08元一個執(zhí)行價格為45元的看跌，就可以生成一個合成遠期空看漲空看跌多上述盒式差價策略由以下四個構成：A：執(zhí)行價格為40元的看漲多頭B：執(zhí)行價格為40元的看跌空頭C：執(zhí)行價格為45元的看漲空頭D：執(zhí)行價格為45元的看跌多頭結論：盒式差價＝牛市差價＋熊市差蝶式差價（butterflyspreads）：由四份期限相同、執(zhí)行價格不同的同種頭寸構成。如果這四份頭寸共有三個執(zhí)行價格K1<K2<K3，且K2=（K1+K3）/2，它們的費的終值分別為C1，看漲的正向蝶式差價組執(zhí)行價格分別為K1和K3的看漲多兩份執(zhí)行價格為K2的看漲空看漲的反向蝶式差價組執(zhí)行價格分別為K1和K3的看漲空兩份執(zhí)行價格為K2的看漲多頭看跌的正向蝶式差價組合執(zhí)行價格分別為K1和K3的看跌多兩份執(zhí)行價格為K2的看跌空看跌的反向蝶式差價組執(zhí)行價格分別為K1和K3的看跌空兩份執(zhí)行價格為K2的看跌多看漲的正向蝶式差-看跌的正向蝶式差蝶式差價組合中不同執(zhí)行價格的的數(shù)量確定假設執(zhí)行價格分別為K1、K2和K3，其中K1K2<K3即

K2

混合：由看漲和看跌構成的組合跨式（straddle）：由執(zhí)行價格相同、期限相同一份看漲和一份看跌組30150-15-3020的盈看30150-15-3020的盈看條式（strip）：由執(zhí)行價格相同、期限相同的份看漲和兩份看跌組成0--看的盈0--看的盈帶式（strap）：由執(zhí)行價格相同、期限相同的的兩看 和一份看跌組成0-0--看的盈盈一份看漲和一份看跌組成，其中看漲的執(zhí)行價格高于看跌。150-15-3020150-15-3020看盈衣領策略：一個較低執(zhí)行價格的看跌，出售一個較高執(zhí)行價格的看漲，這兩個具有相同的到衣領寬度（collarwidth）：兩個不同執(zhí)行價格的差零成本衣領（zero-costcollar）：格，使兩筆費相策略的符號表（＋1）：交易的結果在盈虧圖上出現(xiàn)正斜率（－1）：交易的結果在盈虧圖上出現(xiàn)負斜率（0）：交易的結果在盈虧圖上出現(xiàn)零斜率。譬如，看漲多頭的盈虧圖由斜率為零的直線和斜率看漲多頭：（0，＋1）看漲空頭：（0，－1）看跌多頭：（－1，0）看跌空頭：（＋1，0）標的資產空頭例：看漲多頭加上看跌空頭，等價于標的資產多頭例：標的資產空頭加上看跌空頭，等價于看漲空頭Black-Scholes模價格的變化過布朗運動（brownian令tz代表隨量z在時間

z

，其中是服從標準正態(tài)分布的隨量對于任意兩個不同的時間間 相互獨立 由特征（1）z也服從正態(tài)分布由特征（2）可知：標準布朗運動是過程的一種z(T

表示隨量z在時間T中的變化

t的時間間隔中z

T/z(T)

z(0)

ii

NNi z(T)

NtTT

dz漂移率（driftrate）：指在布朗運動中，隨量z的方差率（variancerate）：指隨量z在單位時間內的標準布朗運動的漂移率為0，方差率為1.00z方差率為1.0意味著在一段長度為T的時間以后，z的方如果令漂移率為a，方差率為b2，就可以得到隨量x的dxadt其中a和b均為常數(shù)，dz

以后，隨量x的變化值為xat

b2t同樣地，在任意時間長度T后，隨量x值的變化TbT

價格的變化過過程（Ito如果把漂移率和方差率定義為隨量x和時間t的函dx

a(x,t)dt

b(x,t)dzdza和b是隨量x和時間t的函隨量x的漂移率為a，b2。假設不支付現(xiàn)金紅利，則其價格的變化過程可以漂移率為

2S

的過程表示dSSdS

dSdt

價格的波動率（volatility ）：收益率在單由于dz是標準布朗運動，因此，在一個較短的時間間t以后，價格的變化為

方差為2

例假設存在一種不支付紅利的：該目前的市場價格為100元；求一周后該價格變化的概率分布。解：在本例中

S0.20t

S100(0.20.01920.100.384

價格對數(shù)的若隨量x遵循過程，dxa(x,t)dtb(x,t)dz則隨量x和時間t的函數(shù)G將遵循如下過程

2G 2 dGxa

2x2

dt

x 其中dz是一個標準布朗運動引Ga

12G

x2

和xt因此函數(shù)G也遵循過程漂移率為

aG

12G 2x2

G xdS 價格S和時間t的函數(shù)，因 的價格G遵循如下過程：

12G 2 dGSSt2S2 dt

S 可見，衍生的價格G和標的的價格S都受同一dz可以用引理來推導價格的對數(shù)Gln

由

2G G,0,

S S 將其代入式（*）就可得出價格的對數(shù)也遵循普

2/2 方差率為2

t tT之間，G的

/2

2

t令GtT時刻的值為其中S表示t時刻（當前時刻）的價則在TtG這就意味著價格的對數(shù)的變化服從正態(tài)分布

ln

~N

22

t), TT

N

2

T

t, TT如果一個隨量的對數(shù)服從參數(shù)為（）的正則該隨量就服從參數(shù)為（）的對數(shù)正態(tài)分布，e0.5上式表明價格服從對數(shù)正態(tài)分布STE(ST)

Se(Tt例：假

該的價格遵循幾何布朗運動請計算該6個月以后的價格ST的概率分布及其均值解：6個月以后lnST的概率分布為

2

0.5,0.10

NN也就是lnST~N(4.0095,ST服從參數(shù)為（4.0095,0.0707）的對數(shù)正態(tài)分布。6個月以后該價格ST的均值為E(ST

Black-Scholes定價公Black-Scholes定價模型的假設條件如下（1）的當前市場價格為SS

量S收益率（以連續(xù)復利表示dSS收益率（以連續(xù)復利表示

s

dz= 假設和在的有效期內，不支付紅利 假設f是依賴于價格S的衍生的價格，則f是股St的函數(shù)

12 2 fSSt2S2 tSSz 考慮構建下述投資組合：一單位衍生空頭和單位標的

f

t以后，該投資組合的價值變化

f

St因此將價格的變化S

和衍生價格的變化

12

2 2S S

，因此該組合在

于

將關于和

12

2

2S

St

r

St 將上式化簡就可以得到歐式看漲的微分方程如下 2trS

2S2 rf S解方程，可以得到歐式看漲的定價公式為CSN(d)Ker(Tt)N(d d1

/K) T/K T

//

t)t) TTd2 TT根據歐式看漲和看跌之間的平價關系，可以得歐式看跌的定價公式為P

Ker(Tt)

Ker(Tt)N

2)SN(d1)如果紅利的現(xiàn)值為D，只要用（S－D）代替式S，可求出支付紅利的歐式看漲和看跌的價格如果的紅利收益率為連續(xù)復利d，只要用代替S，就可求出支付連續(xù)復利收益率的歐式看漲和看跌期在此假設之下，所有的預期收益率都可以等于無風險例：假不支付紅利的當前市價為10已知在3個月后，該價格要么是12元，要么是8該歐式看漲的期限為3個月，執(zhí)行價格為11元試計算該的價值。歐式不會提前執(zhí)行，其價值取決于3個月后的市若3個月后該價格等于12元，則該的價值為1元；若3個月后該價格等于8元，則該的價值為0。為了確定該的價值，可以構建下述組合：一單位看漲空頭單位多若3個月后該的價格等于12元，那

若3個月后該的價格等于8元，那 12－1=8

=可見，一個無風險組合應包括一份看漲空頭和0.25位的無論3個月后價格等于12元還是8元，該組合的價值都在沒有機會的情況下，無風險組合只能獲得無風險利

假設看漲的價值為f，而目前的價格為10元，因10×0.25-f=即得看漲的價值f=即：如果該看漲的價值不是0.55元，就會存在無風機會。該例表明，在確定價值時，并不需要知道價格上事實上，只要給定了的預期收益率，價格上升和譬如，如果的預期收益率為10%，則上升的概

由此可得，3個月之后價格上升到12元的概率例：假某種不支付紅利的市場價格為20元該的年波動率為求該執(zhí)行價格為20元、期限為1年的歐式看漲和看跌的價格。解：本例中的有關參數(shù)值如下S＝20，K＝20，r=0.05,=0.04,T=ln(20/20)(0.050.042/2)0.04 d10.04 1d2d10.04 1然后計算N(d1)和N(d2NNd2

N1.23漲的價格為：C200.8980200.8907e0.051應用看漲和看跌的平價公式，即可求得看跌P201

201

二叉樹模把的有效期分為很小的時間間隔假設在每一個時間間隔t內，價格只有兩種變從初始價格S下降到dS，d1；相應的的價值分別為fu和fdΔt時間內資產價格的變際無定價法無定價假設構造一個組合，包括單位的多頭和一個看漲空頭。如果的價格上升，該組合的價值為uS如果價格下跌，該組合的價值

dSuS fufduS如果組合中包含單位的，則該組合為無風險組合r對其未來的價值進行貼現(xiàn)。uS在無機會假設下，該組合的收益現(xiàn)值應等于構造該組S

將的計算結果代入上式就可得到看漲的價值為

ert

d f

u

fu

u

fd 率r，因此若期初的價格為S，則在很短的時間間隔末，價格的期望值應

即erDt

pu

假