一曲線的參數(shù)方程

第一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

如圖，一架救援飛機(jī)在離災(zāi)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行.為使投放的救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的底面(不計(jì)空氣阻力)，飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？問(wèn)題探究Av=100m/s第二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

如圖，一架救援飛機(jī)在離災(zāi)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行.為使投放的救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的底面(不計(jì)空氣阻力)，飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？問(wèn)題探究xyOAv=100m/s-500第三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

如圖，一架救援飛機(jī)在離災(zāi)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行.為使投放的救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的底面(不計(jì)空氣阻力)，飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？問(wèn)題探究MxyOAv=100m/s-500第四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日1.參數(shù)方程的概念

一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)第五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日1.參數(shù)方程的概念

一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)

并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù).相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.第六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x，y的橋梁，可以是一個(gè)與物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒(méi)有明顯實(shí)際意義的變數(shù).練習(xí)：指出下列參數(shù)方程中的參數(shù)第七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例1.第八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日2、參數(shù)方程和普通方程的互化第九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識(shí)別曲線的類型。曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式。一般地，可以通過(guò)消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程。如果知道變數(shù)x,y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系那么就是曲線的參數(shù)方程。第十頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例2、把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說(shuō)明它們各表示什么曲線？第十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日（2）把平方后減去得到因?yàn)樗砸虼?，與參數(shù)方程等價(jià)的普通方程是這是拋物線的一部分。所以代入第十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日1.將下列參數(shù)方程化為普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步驟：（1）消參；（2）求定義域。練一練第十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日2.求參數(shù)方程表示（）（A）雙曲線的一支，這支過(guò)點(diǎn)（1，）：（B）拋物線的一部分，這部分過(guò)（1，）；（C）雙曲線的一支，這支過(guò)點(diǎn)（–1，）；（D）拋物線的一部分，這部分過(guò)（–1，）第十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日分析一般思路是：化參數(shù)方程為普通方程求出范圍、判斷。解∵x2==1+sin=2y，普通方程是x2=2y，為拋物線。

∵，又0<<2，0<x，故應(yīng)選（B）說(shuō)明這里切不可輕易去絕對(duì)值討論，平方法是最好的方法。第十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例3

解（1）把

帶入橢圓方程，得到

于是由參數(shù)的任意性，可取因此橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

第十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日思考：為什么（2）中的兩個(gè)參數(shù)方程合起來(lái)才是橢圓的參數(shù)方程？因此橢圓的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）和（2）把代入橢圓方程，得第十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日x,y范圍與y=x2中x,y的范圍相同，代入y=x2后滿足該方程，從而D是曲線y=x2的一種參數(shù)方程.曲線y=x2的一種參數(shù)方程是（）.

注意：在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。否則，互化就是不等價(jià)的.在y=x2中，x∈R,y≥0，分析:發(fā)生了變化，因而與y=x2不等價(jià)；在A、B、C中，x,y的范圍都而在Ｄ中，且以練一練第十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日普通方程參數(shù)方程引入?yún)?shù)消去參數(shù)小結(jié)第十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

圓周運(yùn)動(dòng)是生活中常見(jiàn)的.當(dāng)物體繞定軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體中各個(gè)點(diǎn)都作勻速圓周運(yùn)動(dòng).那么，怎樣刻畫運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的位置呢？3.圓的參數(shù)方程概念第二十頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

圓周運(yùn)動(dòng)是生活中常見(jiàn)的.當(dāng)物體繞定軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體中各個(gè)點(diǎn)都作勻速圓周運(yùn)動(dòng).那么，怎樣刻畫運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的位置呢？3.圓的參數(shù)方程概念第二十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

如果在時(shí)刻t，點(diǎn)M轉(zhuǎn)過(guò)的角度是，坐標(biāo)是M(x,y)，那么＝t.設(shè)|OM|＝r，那么由三角函數(shù)定義有即講授新課第二十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

這就是圓心在原點(diǎn)O，半徑為r的圓的參數(shù)方程.其中參數(shù)t有明確的物理意義(質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻).講授新課第二十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日講授新課

考慮到＝t，也可以取為參數(shù)，于是有

這也是圓心在原點(diǎn)O，半徑為r的圓的參數(shù)方程.其中參數(shù)的幾何意義是OM0繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí)，OM0轉(zhuǎn)過(guò)的角度.第二十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)A心是(a,b),半徑是r的圓的參數(shù)方程是什么呢？第二十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例1、已知圓方程x2+y2+2x-6y+9=0，將它化為參數(shù)方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴參數(shù)方程為(θ為參數(shù))第二十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí).(1)(x－1)2＋y2＝4上的點(diǎn)可以表示為A.(－1＋cos,sin)B.(1＋sin,cos)C.(－1＋2cos,2sin)D.(1＋2cos,2sin)()第二十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí).(1)(x－1)2＋y2＝4上的點(diǎn)可以表示為A.(－1＋cos,sin)B.(1＋sin,cos)C.(－1＋2cos,2sin)D.(1＋2cos,2sin)()D第二十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí).的圓心為_(kāi)________，半徑為_(kāi)_____.第二十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí).的圓心為_(kāi)________，半徑為_(kāi)_____.(4,0)第三十頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí).的圓心為_(kāi)________，半徑為_(kāi)_____.(4,0)2第三十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日xMPAyO解:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),∴可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(4cosθ,4sinθ)∴點(diǎn)M的軌跡是以(6,0)為圓心、2為半徑的圓。由中點(diǎn)公式得:點(diǎn)M的軌跡方程為x=6+2cosθy=2sinθx=4cosθy=4sinθ

圓x2+y2=16的參數(shù)方程為例1.

如圖,已知點(diǎn)P是圓x2+y2=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)A是x軸上的定點(diǎn),坐標(biāo)為(12,0).當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PA中點(diǎn)M的軌跡是什么?參數(shù)方程的應(yīng)用(1)參數(shù)法求軌跡方程第三十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日解:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),∴點(diǎn)M的軌跡是以(6,0)為圓心、2為半徑的圓。由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x-12,2y)∴(2x-12)2+(2y)2=16即M的軌跡方程為(x-6)2+y2=4∵點(diǎn)P在圓x2+y2=16上xMPAyO例1.

如圖,已知點(diǎn)P是圓x2+y2=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)A是x軸上的定點(diǎn),坐標(biāo)為(12,0).當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PA中點(diǎn)M的軌跡是什么?第三十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例2.已知點(diǎn)P（x，y）是圓x2+y2-6x-4y+12=0上動(dòng)點(diǎn)，求（1）x2+y2

的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直線x+y-1=0的距離d的最值。

解：圓x2+y2-6x-4y+12=0即（x-3）2+（y-2）2=1，用參數(shù)方程表示為由于點(diǎn)P在圓上，所以可設(shè)P（3+cosθ，2+sinθ），（1）x2+y2=(3+cosθ)2+(2+sinθ)2

=14+4sinθ+6cosθ=14+2sin(θ+ψ).∴x2+y2

的最大值為14+2，最小值為14-2。（2）.參數(shù)法求最值第三十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日(2)x+y=3+cosθ+2+sinθ=5+sin（θ+）∴x+y的最大值為5+，最小值為5-。(3)顯然當(dāng)sin（θ+）=1時(shí)，d取最大值，最小值，分別為，。第三十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日1.已知點(diǎn)P