2020高中數(shù)學(xué) 階段質(zhì)量檢測（一）空間幾何體（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精階段質(zhì)量檢測（一）空間幾何體（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分,共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．斜四棱柱的側(cè)面是矩形的面最多有（)A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D.3個(gè)解析:選C本題考查四棱柱的結(jié)構(gòu)特征，畫出示意圖即可．2.用斜二測畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形A′B′C′。已知點(diǎn)O′是斜邊B′C′的中點(diǎn)，且A′O′＝1，則△ABC的邊BC上的高為（)A．1 B．2C.eq\r（2） D。2eq\r(2）解析：選D∵△ABC的直觀圖是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C′＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝eq\r（2)。根據(jù)直觀圖平行于y軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?∴△ABC的高為AC＝2A′C′＝2eq\r（2).故選D.3.如圖，已知平面A1B1C1與平面ABC平行,則能推斷這個(gè)幾何體可能是三棱臺的是()A．A1B1＝2,AB＝3，B1C1＝3,BC＝4B．A1B1＝1,AB＝2，B1C1＝1。5，BC＝3,A1C1＝2，AC＝3C．A1B1＝1,AB＝2，B1C1＝1。5，BC＝3,A1C1＝2，AC＝4D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1解析:選C根據(jù)棱臺是由棱錐截成的進(jìn)行判斷．選項(xiàng)A中eq\f（A1B1，AB)≠eq\f（B1C1，BC)，故A不正確；選項(xiàng)B中eq\f(B1C1，BC）≠eq\f(A1C1，AC),故B不正確；選項(xiàng)C中eq\f(A1B1,AB）＝eq\f(B1C1,BC)＝eq\f（A1C1，AC）,故C正確；選項(xiàng)D中滿足這個(gè)條件的可能是一個(gè)三棱柱，不是三棱臺．故選C.4?！澳埠戏缴w”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘（方蓋)．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線．其實(shí)際直觀圖中四邊形不存在，當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的正視圖和俯視圖分別可能是（)A．a(chǎn)，b B．a(chǎn)，cC．c,b D.b，d解析:選A正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，牟合方蓋相對的兩個(gè)曲面正對前方，正視圖為一個(gè)圓，而俯視圖為一個(gè)正方形,且有兩條實(shí)線的對角線．故選A。5．已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖(正視圖的弧線是半圓)，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm）,可得這個(gè)幾何體的表面積是（)A．（368π＋65）cm2B．（368＋56π）cm2C．(386＋56π）cm2 D.(386＋65π）cm2解析：選B從該幾何體的三視圖可知，這個(gè)幾何體是由兩部分構(gòu)成的,下部分是長方體，上部分是半個(gè)圓柱．且長方體的三邊長分別為8cm,10cm，8cm，半個(gè)圓柱的底面半徑為4cm，高為10cm。所以其表面積為(368＋56π）cm2。6．已知圓錐的表面積是其底面面積的3倍,則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為(）A．120° B．150°C．180° D。240°解析：選C設(shè)圓錐的底面半徑為R，母線長為L.由題意，πR2＋πRL＝3πR2,∴L＝2R,圓錐的底面圓周長l＝2πR。展開成扇形后，設(shè)扇形圓心角為n，則扇形的弧長l＝eq\f（nπL，180°）＝eq\f（nπ×2R，180°)，∴2πR＝eq\f(2nπR,180°),∴n＝180°，即展開后扇形的圓心角為180°。7．現(xiàn)在國際乒乓球賽的用球已由“小球”改為“大球"．“小球"的直徑為38mm，“大球”的直徑為40mm,則“小球”的表面積與“大球"的表面積之比為()A.eq\r（19)∶eq\r（20) B．19∶20C．192∶202 D。193∶203解析:選C因?yàn)镾小球＝4π·192,S大球＝4π·202,所以S小球∶S大球＝（4π·192）∶（4π·202)＝192∶202.8．若圓臺兩底面周長的比是1∶4，過高的中點(diǎn)作平行于底面的平面,則圓臺被分成兩部分的體積比是(）A.eq\f（1,2) B.eq\f(1，4)C．1 D。eq\f（39，129)解析：選D設(shè)上，下底半徑分別為r1,r2,過高中點(diǎn)的圓面半徑為r0，由題意得r2＝4r1,r0＝eq\f(5,2）r1，所以eq\f(V上,V下)＝eq\f（r\o\al（2,1）＋r1r0＋r\o\al(2,0),r\o\al（2，2）＋r2r0＋r\o\al(2，0))＝eq\f(39,129).9．如圖,將一個(gè)正方體沿相鄰三個(gè)面的對角線截出一個(gè)棱錐，則棱錐的體積與原正方體的體積之比為(）A．1∶3 B．1∶4C．1∶5 D。1∶6解析:選D設(shè)正方體的棱長為a，則棱錐的體積V1＝eq\f（1,3）×eq\f（1，2)×a×a×a＝eq\f(a3，6),又正方體的體積V2＝a3，所以V1∶V2＝1∶6。10．已知一個(gè)底面是菱形的直棱柱的側(cè)棱長為5,菱形的對角線的長分別是9和15，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是(）A．30eq\r(34)B．60eq\r(34）C．30eq\r(34)＋135D。135解析:選A由菱形的對角線長分別是9和15，得菱形的邊長為eq\r(\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2）)）2＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（15，2））)2）＝eq\f（3，2)eq\r(34）,則這個(gè)直棱柱的側(cè)面積為4×eq\f（3,2)eq\r（34)×5＝30eq\r(34）.11.已知正三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1,點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值是（)A。eq\f（7π,4） B．2πC。eq\f(9π,4） D.3π解析：選C由題意知，正三角形ABC的外接圓半徑為eq\r（22－12）＝eq\r(3),則AB＝3，過點(diǎn)E的截面面積最小時(shí)，截面是以AB為直徑的圓,截面面積S＝π×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3，2)))2＝eq\f(9π,4）.12．（2019·全國卷Ⅰ)已知三棱錐P.ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為（）A．8eq\r(6）π B．4eq\r(6）πC．2eq\r(6)π D。eq\r（6)π解析：選D設(shè)PA＝PB＝PC＝2a，則EF＝a，又FC＝eq\r(3)，∴EC2＝3－a2.在△PEC中，cos∠PEC＝eq\f（a2＋3－a2－2a2,2a\r（3－a2)）.在△AEC中，cos∠AEC＝eq\f（a2＋3－a2－4,2a\r(3－a2)).∵∠PEC與∠AEC互補(bǔ)，∴3－4a2＝1,解得a＝eq\f(\r（2）,2），故PA＝PB＝PC＝eq\r(2)。又∵AB＝BC＝AC＝2,∴PA⊥PB⊥PC，∴外接球的直徑2R＝eq\r(\r(2)2＋\r（2）2＋\r（2）2）＝eq\r(6），∴R＝eq\f(\r(6）,2），∴V＝eq\f(4,3）πR3＝eq\f（4，3）π×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6）,2））)3＝eq\r（6）π。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．底面直徑和高都是4cm的圓柱的側(cè)面積為________cm2。解析：圓柱的底面半徑為r＝eq\f(1，2）×4＝2(cm）,∴S側(cè)＝2π×2×4＝16π(cm2)．答案：16π14.我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅提出了著名的祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”．“勢”即是高，“冪”即是面積，意思是:如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面面積相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖所示，扇形的半徑為3，圓心角為90°，若扇形AOB繞直線OB旋轉(zhuǎn)一周，圖中陰影部分旋轉(zhuǎn)后所得幾何體與某不規(guī)則幾何體滿足：“冪勢同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為________．解析：扇形AOB繞直線OB旋轉(zhuǎn)一周，陰影部分旋轉(zhuǎn)后所得幾何體的體積為半個(gè)球的體積減去一個(gè)圓錐的體積．因?yàn)榍虻陌霃綖?，圓錐的底面半徑為3，高為3。所以所求體積為eq\f(1，2）×eq\f(4，3)×π×33－eq\f(1,3)×π×32×3＝18π－9π＝9π。答案：9π15．（2019·全國卷Ⅱ）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體"(圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長為________．解析：先求面數(shù)，有如下兩種方法．法一：由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個(gè)面，中間部分有8個(gè)面，下部分有9個(gè)面，共有2×9＋8＝26（個(gè))面．法二:一般地，對于凸多面體，頂點(diǎn)數(shù)(V）＋面數(shù)（F）－棱數(shù)（E)＝2(歐拉公式）．由圖形知，棱數(shù)為48的半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)為24，故由V＋F－E＝2，得面數(shù)F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26。再求棱長．作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形上的正八邊形ABCDEFGH，如圖，設(shè)其邊長為x,則正八邊形的邊長即為半正多面體的棱長．連接AF,過H，G分別作HM⊥AF，GN⊥AF,垂足分別為M，N，則AM＝MH＝NG＝NF＝eq\f(\r(2),2）x.又AM＋MN＋NF＝1，即eq\f（\r(2)，2）x＋x＋eq\f(\r（2）,2)x＝1。解得x＝eq\r（2)－1，即半正多面體的棱長為eq\r(2）－1.答案：26eq\r(2）－116．已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O.ABC的體積的最大值為eq\f（9,2),則球O的表面積為________．解析：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于平面AOB的直徑的端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O。ABC的體積最大．設(shè)球O的半徑為R，∴VO.ABC＝VC。AOB＝eq\f（1，3)×eq\f(1,2)×R2×R＝eq\f(R3,6）＝eq\f(9,2),解得R＝3，則球O的表面積S＝4πR2＝36π。答案：36π三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17。(本小題滿分10分)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r（2），AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圓臺側(cè)＋S圓臺下底＋S圓錐側(cè)＝π（2＋5）×5＋π×25＋π×2×2eq\r（2)＝（60＋4eq\r（2)）π，V＝V圓臺－V圓錐＝eq\f（1，3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2)）×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f（148π，3)。18.(本小題滿分12分）如圖所示，已知正方體ABCD。A1B1C1D1的棱長為a，E，F(xiàn)分別是A1A，CC1的中點(diǎn)，求四棱錐C1.B1EDF的體積．解：連接EF，B1D1。設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2?！哒襟wABCD.A1B1C1D1的棱長為a,E，F(xiàn)分別是A1A,CC1的中點(diǎn)，∴h1＋h2＝B1D1＝eq\r（2)a.又S△C1EF＝eq\f（1,2）C1F·EF＝eq\f(1，2)×eq\f（a,2）×eq\r（2）a＝eq\f(\r(2）,4）a2，∴VC1-B1EDF＝VB1。C1EF＋VD.C1EF＝eq\f（1,3）·S△C1EF·（h1＋h2)＝eq\f（1，3）×eq\f（\r(2)，4）a2×eq\r(2）a＝eq\f（1，6)a3。19．(本小題滿分12分)已知圓柱OO1的底面半徑為2，高為4。(1)求從下底面出發(fā)環(huán)繞圓柱側(cè)面一周到達(dá)上底面的最短路徑長；（2）若平行于軸OO1的截面ABCD將底面圓周截去四分之一，求截面面積;（3）在(2)的條件下，設(shè)截面將圓柱分成的兩部分中較小部分為Ⅰ，較大部分為Ⅱ，求VⅠ∶VⅡ(體積之比)．解:（1)將側(cè)面沿某條母線剪開鋪平得到一個(gè)矩形，鄰邊長分別是4π和4，則從下底面出發(fā)環(huán)繞側(cè)面一周到達(dá)上底面的最短路徑長即為此矩形的對角線長4eq\r(1＋π2)。（2)連接OA，OB，∵截面ABCD將底面圓周截去eq\f(1，4），∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝2，∴AB＝2eq\r(2），而截面ABCD是矩形且AD＝4，∴S截面ABCD＝2eq\r(2）×4＝8eq\r（2）.(3）依題知V圓柱＝Sh＝16π,三棱柱AOB。DO1C的體積是8，則VⅠ＋8＝eq\f(1,4)V圓柱＝4π，∴VⅠ＝4π－8，而VⅡ＝V圓柱－VⅠ＝12π＋8，于是VⅠ∶VⅡ＝eq\f(π－2,3π＋2）.20。（本小題滿分12分）如圖，正方體ABCD.A′B′C′D′的棱長為a,連接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一個(gè)三棱錐．求：(1）三棱錐A′。BC′D的表面積與正方體表面積的比值；(2）三棱錐A′-BC′D的體積．解：（1)∵ABCD。A′B′C′D′是正方體，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r（2）a,∴S三棱錐＝4×eq\f（\r（3),4）×(eq\r(2)a）2＝2eq\r（3）a2，S正方體＝6a2，∴eq\f(S三棱錐，S正方體）＝eq\f(\r(3）,3).（2)顯然,三棱錐A′。ABD、C′.BCD、D-A′D′C′、B。A′B′C′是完全一樣的，∴V三棱錐A′。BC′D＝V正方體－4V三棱錐A′.ABD＝a3－4×eq\f（1，3)×eq\f(1,2）a2×a＝eq\f(a3,3).21．（本小題滿分12分)已知某幾何體的俯視圖是一個(gè)長為8，寬為6的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長為