2020高中數(shù)學(xué) 課時素養(yǎng)評價十三 余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例-距離問題 2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時素養(yǎng)評價十三余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例--距離問題(25分鐘·50分）一、選擇題(每小題4分，共16分）1.（2019·諸暨高一檢測)如圖所示,設(shè)A，B兩點在河的兩岸,一測量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點C，測得AC的距離為50m，∠CAB=105°，則A,B兩點間的距離為 （)A。50m B。50C.25m D.252【解析】選A.由題意知,在△ABC中，AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°,所以∠CBA=180°-45°-105°=30°，所以由正弦定理可得，AB=ACsin∠ACB2.（2019·蘇州高一檢測)某人從A處出發(fā)，沿北偏東60°行走3km到B處，再沿正東方向行走2km到C處，則A，CA。4km B.6C.7km 【解析】選C.如圖所示，由題意可知AB=33，BC=2,∠ABC=150°，由余弦定理得AC2=27+4-2×33×2×cos150°=49，所以AC=7，所以A，C兩地距離為73。臺風(fēng)中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險區(qū)內(nèi)的持續(xù)時間為 （）A.0.5小時 B.1小時C。1.5小時 D.2小時【解析】選B.設(shè)t小時后，B市恰好處于危險區(qū)內(nèi),則由余弦定理得：（20t)2+402-2×20t×40cos45°=302.化簡得：4t2-82t+7=0，所以t1+t2=22，t1t2=74從而｜t1-t2｜=(t4.如圖,某炮兵陣地位于A點，兩觀察所分別位于C，D兩點。已知△ACD為正三角形，且DC=3km，當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在B點時，測得∠CDB=45°，∠BCD=75°，則炮兵陣地與目標(biāo)的距離是 (）A。1。1kmC.2。9km 【解析】選C.∠CBD=180°—∠BCD—∠CDB=60°.在△BCD中由正弦定理得BD=CDsin75°在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°，由余弦定理,得AB2=AD2+BD2—2AD·BDcos105°=3+6+222+2×3=5+23.所以AB=5+23≈答：炮兵陣地與目標(biāo)的距離約為2。9二、填空題(每小題4分，共8分)5?！毒耪滤阈g(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題，2019年第1號臺風(fēng)“帕布"(熱帶風(fēng)暴級)登陸時再現(xiàn)了這一現(xiàn)象，不少大樹被大風(fēng)折斷。某路邊一樹干被臺風(fēng)吹斷后(如圖所示，沒有完全斷開)，樹干與地面成75°角，折斷部分與地面成45°角，樹干底部與樹尖著地處相距10米，則大樹原來的高度是________米(結(jié)果保留根號【解析】如圖所示，設(shè)樹干底部為O,樹尖著地處為B，折斷點為A，則∠AOB=75°,∠ABO=45°，所以∠OAB=60°.由正弦定理知，OAsin45°=AB所以O(shè)A=1063米，AB=15所以O(shè)A+AB=52+5答案:（52+56）6。（2019·寧德高二檢測）一艘船以每小時20km的速度向東行駛，船在A處看到一燈塔B在北偏東60°,行駛2h后，船到達(dá)C處,看到這個燈塔在北偏東15°，這時船與燈塔的距離為【解析】由題意知,△ABC中,AC=20×2=40，∠BAC=30°，∠B=180°—30°-(90°+15°)=45°，由正弦定理得，BC=AC=40×12所以船與燈塔的距離為202答案：202三、解答題（共26分)7.(12分）海上某貨輪在A處看燈塔B,在貨輪北偏東75°，距離為126nmile；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30°，距離為83nmile;貨輪向正北由A處航行到D處時看燈塔B，在貨輪南偏東60°.求：(1）A處與D處的距離.(2)燈塔C與D處之間的距離.【解析】由題意，畫出示意圖,如圖所示。(1)在△ABD中，由已知∠ADB=60°，∠DAB=75°，則B=45°。由正弦定理，得AD=ABsin45°答：A處與D處之間距離為24nmile。(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2=AD2+AC2-2AD×ACcos30°=242+（83)2-2×24×83×32=(83)2所以CD=83（nmile）。答：燈塔C與D處之間的距離為83nmile?！炯泳殹す獭咳鐖D所示，若小河兩岸平行，為了知道河對岸兩棵樹C,D（CD與河岸平行)之間的距離，選取岸邊兩點A,B（AB與河岸平行)，測得數(shù)據(jù)：AB=6m，∠ABD=60°,∠DBC=90°,∠DAB=75°。試求C，D【解析】∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+90°=150°,所以∠C=180°-150°=30°,∠ADB=180°—75°-60°=45°?！鰽BD中，由正弦定理得AD=AB·sin∠由余弦定理得BD=AD2+AB2-2AD·AB·cos即CD的長為（6+63）m。8.(14分）（2019·眉山高一檢測)如圖，某海輪以30海里/小時的速度航行，在A點測得海面上油井P在南偏東60°，向北航行40分鐘后到達(dá)B點，測得油井P在南偏東30°，海輪改為北偏東60°的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點，求P,C間的距離?！窘馕觥吭凇鰽BP中，AB=30×4060∠APB=30°，∠BAP=120°，由正弦定理得BP=ABsin∠BAPsin∠在△BPC中，BC=30×8060由已知∠PBC=90°,所以PC=PB2=207（海里).答:P，C間的距離為207（15分鐘·30分)1.（4分)如圖所示為起重機裝置示意圖。支桿BC=10m，吊桿AC=15m,吊索AB=5m，A.30m B.152C.15m D.45【解析】選B.在△ABC中，AC=15m,AB=519由余弦定理得cos∠ACB=AC2=—12,所以sin∠ACB=3又∠ACB+∠ACD=180°，所以sin∠ACD=sin∠ACB=32在Rt△ACD中，AD=ACsin∠ACD=15×32=1532。（4分)甲船在島B的正南A處，AB=10km,甲船以4km/h的速度向正北航行,同時乙船自島B出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，A。1507min B。157C。21。5min D.2.15h【解析】選A.由題意可作出如圖所示的示意圖,設(shè)兩船航行t小時后，甲船位于C點，乙船位于D點，如圖.則BC=10—4t,BD=6t，∠CBD=120°，根據(jù)余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠CBD=(10-4t)2+36t2+6t(10-4t)=28t2—20t+100，所以當(dāng)t=514時，CD2取得最小值，即兩船間的距離最近，所以此時它們的航行時間是15073.（4分）如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，A，B,C,D四點共圓,則AC的長為________.

【解析】因為A，B,C，D四點共圓，所以∠D+∠B=π.在△ABC和△ADC中由余弦定理可得82+52—2×8×5×cos（π-D）=32+52-2×3×5×cosD，整理得cosD=—12代入得AC2=32+52-2×3×5×-12=49，答案：74。（4分)如圖，要計算西湖岸邊兩景點B與C的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點，現(xiàn)測得AD⊥CD,AD=10km,AB=14∠BCD=135°,則兩景點B與C的距離為________（精確到0。1km)。2≈1。414，3≈1。732,5≈2。236. 【解析】在△ABD中，設(shè)BD=xkm,則BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA，即142=x2+102—2·10x·cos60°，整理得,x2-10x-96=0，解得，x1=16,x2=-6(舍去)，故BD=16又因為∠BDA=60°，AD⊥CD，所以∠CDB=30°。由正弦定理，得：BCsin∠CDB所以BC=16sin135°·sin30°=8所以兩景點B與C的距離約為11.3答案：11。35.（14分)（2019·懷化高二檢測)輪船A從某港口C將一些物品送到正航行的輪船B上，在輪船A出發(fā)時,輪船B位于港口C北偏西30°且與C相距20海里的P處，并正以30海里/小時的航速沿正東方向勻速行駛，假設(shè)輪船A沿直線方向以v海里/小時的航速勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船B相遇，若使相遇時輪船A航距最短，則輪船A的航行速度應(yīng)為多少？ 【解析】設(shè)相遇時輪船A航行的距離為S海里，則S=900=900t2-所以當(dāng)t=13時,Smin=103，v=1031答：輪船A以303海里/小時的速度航行，相遇時輪船A1。如圖,一條河的兩岸平行，河的寬度d=0.6km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB=1km，水的流速為2km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時間為6A.8km/h B.6C.2km/h D.10【解析】選B.設(shè)AB與河岸線所成的角為θ，客船在靜水中的速度為vkm/h，由題意知，sinθ=0.61=35，從而cosθ==110×22+12—2×110×2×1×42。如圖所示，港口B在港口O正東方向120海里處，小島C在港口O北偏東60°方向，且在港口B北偏西30°方向上.一艘科學(xué)考察船從港口O出發(fā),沿北偏東30°的OA方向以20海里/時的速度行駛，一艘快艇從港口B出發(fā)，以60海里/時的速度駛向小島C，在C島裝運補給物資后給考察船送去.現(xiàn)兩船同時出發(fā)，補給物資的裝船時間為1小時，則快艇駛離港口B后,最少要經(jīng)過多少小時才能和考察船相遇？ 【解析】設(shè)快艇駛離港口B后，經(jīng)過x小時,在OA上的點D處與考察船相遇.如圖所示,連接CD，則快艇沿線段BC,CD航行.在△OBC中由題意易得∠BOC=30°，∠CBO=60°,所以∠OCB=90°,因為BO=120，所以BC=60，OC=603.故快艇從港口B到小島C需要1小時，所以x>1。在△OCD中，由題意易得∠COD=30°，OD=20x，CD=60（x-2)。由余弦定理，得CD2=OD2+OC2-2OD·OCcos∠COD，所以602（x-2）2=(20x)2+(603)2—2×20x×603×cos30°。解得x=3或x=38,因為x>1,所以x=3.所以快艇駛離港口B后，至少要經(jīng)過3小時才能和考察船相遇【加練·固】如圖所示，海中小島A周圍38nmile內(nèi)有暗礁，一船正向南航行，在B處測得小島A在船的南偏東30°，航行30nmile后，在C處測得小島在船的南偏東45°，如果此船不改變航向,繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險？【解題指南】船繼續(xù)向南航行,有無觸礁的危險,取決于A到直線BC的距離與38nmile的大小,于是我們只要先求出AC或AB的