高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))教案22 定積分的概念與性質(zhì)

第5章定積分的概念與性質(zhì)1.理解曲邊梯形的面積求法的思維方法；2.理解定積分的概念及其性質(zhì)；3.掌握定積分的幾何意義;1.定積分的概念及其性質(zhì)；1.曲邊梯形面積求法的思維方法；學(xué)時(shí)

【教學(xué)過(guò)程】:感謝閱讀案例研究曲邊梯形的面積問(wèn)題感謝閱讀面圖形（如圖5—1所示)．下面來(lái)求該曲邊梯形的面積．精品文檔放心下載分析變動(dòng)的，故它的面積不能按矩形面積公式計(jì)算。感謝閱讀相應(yīng)的也就變化不大.于是，考慮用一組平行于軸的直線把曲邊梯形分割成若干似代替整個(gè)曲邊-15—2當(dāng)無(wú)限細(xì)分時(shí)，所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的精確值。感謝閱讀圖根據(jù)以上分析，可按以下四步計(jì)算曲邊梯形的面積。（1）分割在閉區(qū)間上任意插入個(gè)分點(diǎn)，,將閉區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，它們的長(zhǎng)度依次為，過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于軸的直線，把曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形；感謝閱讀（2）取近似在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn),以小區(qū)間為底，為高作小矩形，用

小矩形的面積近似代替相應(yīng)的小曲邊梯形的面積，即感謝閱讀，感謝閱讀面積的近似值，即

；（4）取極限當(dāng)分點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限增加，且小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值（）趨于零時(shí),

上述和式的極限值就是曲邊梯形面積的精確值,即精品文檔放心下載。5.1.1定積分的定義1設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有界，在閉區(qū)間中任意插入個(gè)分點(diǎn)謝謝閱讀，將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，各小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作函數(shù)值與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積，并作和，記感謝閱讀,，極限值稱(chēng)為函數(shù)在上的定積分，記為精品文檔放心下載。即，其中稱(chēng)為積分變量，稱(chēng)為被積函數(shù),稱(chēng)為被積表達(dá)式，稱(chēng)為積分下限，稱(chēng)為積分上限，稱(chēng)為積分區(qū)間，符號(hào)讀作函數(shù)從到的定積分。

按定積分的定義,兩個(gè)引例的結(jié)果可以分別表示為：

感謝閱讀關(guān)于定積分的定義作以下幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）和式的極限存在（即函數(shù)在上可積)是指不論對(duì)區(qū)間怎樣分法,也不論精品文檔放心下載對(duì)點(diǎn)怎樣取法,極限都存在.感謝閱讀么字母無(wú)關(guān)，即

。(3）定義中要求積分限，我們補(bǔ)充如下規(guī)定：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（4）函數(shù)可積的兩個(gè)充分條件：若上連續(xù)，則上可積.若上有界，且只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn),則上可積。定積分的幾何意義感謝閱讀與軸所圍成的曲邊梯形的面積；精品文檔放心下載負(fù)值，如圖5－3；當(dāng)在上有正有負(fù)時(shí),定積分在幾何上表示軸，曲線及兩直線所圍成的各個(gè)曲

邊梯形面積的代數(shù)和（見(jiàn)圖5－4)，即。感謝閱讀5.1.2定積分的性質(zhì)以下性質(zhì)中函數(shù)均為可積函數(shù).性質(zhì)1函數(shù)和(差）的定積分等于它們定積分的和(差）,謝謝閱讀即。性質(zhì)1可推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情形.性質(zhì)2被積函數(shù)的因子可以提到定積分的符號(hào)外圖4

即，（為常數(shù)）。感謝閱讀性質(zhì)3如果在區(qū)間上，則

，特別地，時(shí),.性質(zhì)3的幾何意義如圖5－7所示.性質(zhì)如果積分區(qū)間被點(diǎn)分成兩個(gè)區(qū)間和,則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩個(gè)區(qū)間上定積分的和，即

。精品文檔放心下載注意:無(wú)論的相對(duì)位置如何，總有上述等式成立.

性質(zhì)5如果在區(qū)間上，,則.謝謝閱讀性質(zhì)6（定積分的單調(diào)性）如果在區(qū)間上，有,則。例2比較下列各對(duì)積分值的大?。?）與（2）與解(1）由冪函數(shù)的性質(zhì)，在上，有由定積分性質(zhì)，得（2）在內(nèi)有，得性質(zhì)7（估值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為,最小值為，則。謝謝閱讀性質(zhì)7精品文檔放心下載大致范圍.例3估計(jì)定積分的值。解先求在區(qū)間上的最大值和最小值，為此求得，令，得駐點(diǎn),比較駐點(diǎn)處感謝閱讀與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值：,,得最小值,最大值，再根據(jù)估值定理,得。性質(zhì)8（積分中值定理）如果