概率論7期望方差中心極限

r.v.的平均取值——數(shù)學(xué)期望r.v.取值平均偏離均值的情況—方差描述兩r.v.間的某種關(guān)系的數(shù)——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容隨機(jī)變量某一方面的概率特性都可用數(shù)字來描寫概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!分布函數(shù)能完整地描述r.v.的統(tǒng)計(jì)特性,但實(shí)際應(yīng)用中并不都需要知道分布函數(shù),而只需知道r.v.的某些特征.如:判斷棉花質(zhì)量時(shí),既看纖維的平均長度,又要看纖維長度與平均長度的偏離程度。平均長度越長,偏離程度越小,質(zhì)量就越好;考察一射手的水平,既要看平均環(huán)數(shù)是否高,還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小,即數(shù)據(jù)的波動是否小.可見,與r.v.有關(guān)的某些數(shù)值,雖不能完整地描述r.v.,但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要意義.概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例1某一班級有N個(gè)學(xué)生,進(jìn)行數(shù)學(xué)期終考試,成績統(tǒng)計(jì)如下:學(xué)生成績X…得X分的人數(shù)N1N2…NkPN1/NN2/N…Nk/N求全班數(shù)學(xué)的平均成績.(其中N1+N2+…+Nk=N)一、數(shù)學(xué)期望的定義1.離散型r.v.數(shù)學(xué)期望的定義概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!由此可以看出,隨機(jī)變量的均值是這個(gè)隨機(jī)變量取得一切可能數(shù)值與相應(yīng)概率乘積的總和,也是以相應(yīng)的概率為權(quán)重的加權(quán)平均.定義1.設(shè)X為離散r.v.其分布為若無窮級數(shù)絕對收斂,則稱其和為X

的數(shù)學(xué)期望，記作E(X),即概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!(1)分別化驗(yàn)每個(gè)人的血,共需化驗(yàn)n次；(2)分組化驗(yàn),k個(gè)人的血混在一起化驗(yàn),若結(jié)果為陰性,則只需化驗(yàn)一次;若為陽性,則對k個(gè)人的血逐個(gè)化驗(yàn),找出有病者,此時(shí)

k個(gè)人的血需化驗(yàn)k+1次.設(shè)每人血液化驗(yàn)呈陽性的概率為p,且每人化驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的.試說明選擇哪一方案較經(jīng)濟(jì).例3為普查某種疾病,n個(gè)人需驗(yàn)血.驗(yàn)血方案有如下兩種：概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!若則E(X)<n例如,當(dāng)

時(shí),選擇方案(2)較經(jīng)濟(jì).概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!例5

X~P(

),求E(X)

.例6甲乙兩個(gè)射手的技術(shù)統(tǒng)計(jì)如下：P甲X89100.30.10.6P乙Y89100.20.50.3甲、乙兩個(gè)射手誰的水平高？概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!例7

X~U(a,b),求E(X).例8

X服從指數(shù)分布,求E(X).概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!常見

r.v.

的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布參數(shù)為p的0-1分布pB(n,p)npP()概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!注

不是所有的r.v.都有數(shù)學(xué)期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學(xué)期望不存在!概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!設(shè)離散r.v.X的概率分布為

若無窮級數(shù)絕對收斂，則絕對收斂,則設(shè)連續(xù)r.v.的p.d.f.為f(x),若廣義積分注：若g(x)=x,則根據(jù)定理1，有這與定義是一致的。定理1.概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!證2:設(shè)X~f(x),則證3:設(shè)(X,Y)~f(x,y)概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!由題設(shè)公司每筆賠償小于5000元,能使公司獲益.公司期望總收益為若公司每筆賠償3000元,能使公司期望總獲益40000元.概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!應(yīng)用3設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑X(mm)~N(,1).已知銷售每個(gè)零件的利潤T(元)與銷售零件的內(nèi)徑X有如下的關(guān)系：問平均直徑

為何值時(shí),銷售一個(gè)零件的平均利潤最大？概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!即可以驗(yàn)證，零件的平均利潤最大.故時(shí),銷售一個(gè)概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!——X,Y的k+l階混合原點(diǎn)矩——X,Y的k+l階混合中心矩——X,Y的二階原點(diǎn)矩——X,Y的二階混合中心矩

X,Y的協(xié)方差——X,Y的相關(guān)系數(shù)概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!概率積分因?yàn)椋悍祷馗怕收?期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平,是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.但在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的.

如某零件真實(shí)長度為a,現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次,將測量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：哪臺儀器好一些?乙儀器測量結(jié)果

甲儀器測量結(jié)果較好測量結(jié)果的均值都是

a因?yàn)橐覂x器的測量結(jié)果集中在均值附近概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!

為此需引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.這就是我們這一講要介紹的方差——衡量隨機(jī)變量取值波動程度的一個(gè)數(shù)字特征.？如何定義？引例甲、乙兩射手各發(fā)6發(fā)子彈,擊中的環(huán)數(shù)分別為：甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,問哪一個(gè)射手的技術(shù)較好？概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!進(jìn)一步比較平均偏離平均值的程度甲乙

E[X-E(X)]2概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!若X為離散型r.v.，分布律為若X為連續(xù)型r.v.,概率密度為f(x)計(jì)算方差的常用公式：證:r.v.X的取值為xi,P{X=xi}=1/n概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!例1：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為1)求D（X）,2)求概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!證1:證2:證3:當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，而概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!證4:當(dāng)C=E(X)時(shí)，顯然等號成立；當(dāng)CE(X)時(shí)，4.對任意常數(shù)C,D(X)E(X–C)2,當(dāng)且僅當(dāng)C=E(X)時(shí)等號成立常數(shù)a概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!2.泊松分布P()：概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!5.正態(tài)分布N(,2)概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!分布方差概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布Exp()N(,2)概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!例4已知X服從正態(tài)分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1–2X,求Y的密度函數(shù).解

在已知某些分布類型時(shí),若知道其期望和方差,便常能確定分布.概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!例8已知X的d.f.為其中A,B是常數(shù)，且E(X)=0.5.求A,B;(2)設(shè)Y=X2,求E(Y),D(Y)解(1)概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!作業(yè)：P87—13，14，

16，18概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!定理1(同分布的中心極限定理——列維-林德伯格定理)設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…

Xn,…相互獨(dú)立同分布且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差,則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意x，滿足注:概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!定理2表明,不論各個(gè)隨機(jī)變量具有怎樣的分布,只要滿足定理2條件,它們的和當(dāng)n很大時(shí),就近似地服從正態(tài)分布在很多問題中,所考慮的隨機(jī)變量都可表示成若干獨(dú)立的隨機(jī)變量之和.它們往往近似地服從正態(tài)分布.在后面將學(xué)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,我們會看到,中心極限定理是大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)。作為定理1的特殊情況，我們給出下面的定理概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!定理3表明,當(dāng)n充分大時(shí),二項(xiàng)分布B(n,p)可近似地用正態(tài)分布N(np,)來代替.下面舉兩個(gè)關(guān)于中心極限定理的應(yīng)用的例子。因此,當(dāng)X~B(n,p),且n充分大時(shí),有(其中q=1-p)概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!例2對敵陣地集中射擊,每次集中射擊的命中數(shù)的概率分布相同,數(shù)學(xué)期望為2,方差為1,求集中射擊100次有180顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的概率.解:設(shè)Xi為第i次集中射擊時(shí)的命中數(shù),X為100次射擊時(shí)總的命中數(shù),則(1)X1,X2,…

X100獨(dú)立同分布(2)(3)概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!查表可得:故故取m=17概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!作業(yè)：P102—4，7概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!所求概率為顯然，要直接計(jì)算是困難的?？梢岳玫履亩?xiàng)分布，其分布列為佛—拉普拉斯定理來求它的近似值。即有則X為一隨機(jī)變量，它服從概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!解設(shè)X為獲獎的數(shù)值,則X的分布律為例2在有獎銷售彩票活動中,每張彩票面值2元,一千萬張?jiān)O(shè)有一等獎20名,獎金20萬或紅旗轎車；二等獎1000名,獎金3000元或25寸彩電；三等獎2000名,獎金1000元或洗衣機(jī)；四等獎100萬名,獎金2元,問買一張彩票獲獎(收益)的數(shù)學(xué)期望是多少？X021000300020,0000P1-10011/100000000100/10002/100001/1000020/10000000EX=200000×20/10000000+3000×1/10000+1000×2/10000+2×100/1000=1.1000概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!解只須計(jì)算方案(2)所需化驗(yàn)次數(shù)的期望.為簡單計(jì),不妨設(shè)n是k的倍數(shù)，共分成n/k組.設(shè)第i組需化驗(yàn)的次數(shù)為Xi,則Xi

P1k+1概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!例4

X~B(n,p),求E(X)

.解特例若Y~B(1,p)(兩點(diǎn)分布),則E(Y)=p=np=np概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!設(shè)連續(xù)r.v.X的d.f.為f(x)若廣義積分絕對收斂,則稱此積分為X的數(shù)學(xué)期望,記作E(X),即數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)——加權(quán)平均,它是一個(gè)數(shù),不是r.v.定義2、連續(xù)型r.v.數(shù)學(xué)期望概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!例9

X~N(,2),求E(X)

.解——概率積分[注]概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布Exp()N(,2)概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!EX1：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解:求隨機(jī)變量Y=X2的數(shù)學(xué)期望XPk-101YPk10二、r.v.函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!1.E(C)=C2.E(aX)=aE(X)3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)4.當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y).常數(shù)線性性質(zhì)三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定獨(dú)立概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!證4:設(shè)(X,Y)~f(x,y)，X,Y獨(dú)立概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!應(yīng)用1據(jù)統(tǒng)計(jì)65歲的人在10年內(nèi)正常死亡的概率為解0.98,因事故死亡概率為0.02.保險(xiǎn)公司開辦老人事故死亡保險(xiǎn),參加者需交納保險(xiǎn)費(fèi)100元.若10年內(nèi)因事故死亡公司賠償a元,應(yīng)如何定a,才能使公司可期望獲益;若有1000人投保,公司期望總獲益多少?設(shè)Xi

表示公司從第i個(gè)投保者身上所得的收益,i=1~1000.則Xi~0.980.02100100概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!應(yīng)用2市場上對某種產(chǎn)品每年需求量為X噸，X~U[2000,4000],每出售一噸可賺3萬元,售不出去，則每噸需倉庫保管費(fèi)1萬元，問應(yīng)該生產(chǎn)這中商品多少噸,才能使平均利潤最大？

解設(shè)每年生產(chǎn)y噸的利潤為Y顯然，2000<y<4000概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁!顯然，故y=3500時(shí),E(Y)最大,E(Y)=8250萬元概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!解概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁!幾個(gè)重要的r.v.函數(shù)的數(shù)學(xué)期望——X的k階原點(diǎn)矩——X的k階絕對原點(diǎn)矩——X的k階中心矩——X的方差[附錄]概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁!作業(yè)：P81——4，5，

7，9，10概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁!方差概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第55頁!又如,甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙較好因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近.概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第56頁!再比較穩(wěn)定程度甲:乙:乙比甲技術(shù)穩(wěn)定，故乙技術(shù)較好.解

首先比較平均環(huán)數(shù)甲=8.3,乙=8.3甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第57頁!若E[X-E(X)]2存在,則稱其為隨機(jī)稱為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差.定義

即D(X)=E[X-E(X)]2

變量X的方差,記為D(X)或Var(X)兩者量綱相同D(X)——描述r.v.X的取值偏離平均值

的平均偏離程度——

數(shù)4.2方差一、方差的定義概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第58頁!2.EX的取值相當(dāng)于物理學(xué)上作一條直線，使所有的點(diǎn)均勻分布在直線的兩邊;1.方差非負(fù)，即DX0；x1x2x3x4x5x6x7xn

1234567n

EX3.DX的取值相當(dāng)于平均誤差；4.DX=0的充分必要條件為r.v.X的取值為常數(shù).概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第59頁!1.D(c)=02.D(cX)=c2D(X)D(c1X+c2

)=c12D(X)3.特別地，若X,Y相互獨(dú)立，則二、方差的性質(zhì)概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第60頁!推論:若X1,…,Xn相互獨(dú)立,a1,a2,…,an,b為常數(shù).則若X,Y相互獨(dú)立4.對任意常數(shù)C,D(X)

E(X–C)2,當(dāng)且僅當(dāng)C=E(X)時(shí)等號成立D(X)=0P(X=E(X))=1稱為X依概率1等于常數(shù)E(X)概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第61頁!1.二項(xiàng)分布B(n,p)：二、幾個(gè)重要r.v.的方差設(shè)第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生則服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量,其方差為pq概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第62頁!3.均勻分布U(a,b)：4.指數(shù)分布Exp()：概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第63頁!常見隨機(jī)變量的方差分布方差概率分布參數(shù)為p的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第64頁!則正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布，獨(dú)立，ci為常數(shù)，

概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第65頁!標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,則稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.顯然，概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第66頁!(2)概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第67頁!5.2中心極限定理在客觀實(shí)際中有許多隨機(jī)變量，它們是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合效應(yīng)所形成的，而其中的每一個(gè)單個(gè)因素在總的效應(yīng)中所起的作用都是微小的。這類隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布。在概率論中，論證隨機(jī)變量和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理統(tǒng)稱為中心極限定理。下面介紹常用的三個(gè)中心極限定理。概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第68頁!作為定理1的推廣，我們有下面的定理定理2（李雅普諾夫定理）設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…

Xn,…

相互獨(dú)立，且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差：若每個(gè)Xi對總和∑Xi影響不大，記的分布函數(shù)對任意的x，滿足則隨機(jī)變量概率論7期望方差中心極限共75頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第69頁!定理3（德莫佛—拉普拉斯定理）設(shè)隨機(jī)證