超聲層析成像的理論與實現(xiàn)-講義課件

超聲層析成像的理論與實現(xiàn)

答辯人:劉超指導教師:汪元美教授

浙江大學生物醫(yī)學工程系二○○三年九月二日浙江大學博士論文答辯

超聲層析成像的理論與實現(xiàn)1英國從事超聲成像的專家P.N.TWells在2000年的文章《超聲成像技術的現(xiàn)狀與未來》一文中指出“在最近的十幾年里，有關超聲成像技術的研究在醫(yī)學成像領域至少占百分之二十五以上的份額，并且這種趨勢還在繼續(xù)增長。”Wells還指出“目前成功地應用于醫(yī)學領域的超聲成像設備大都是基于反射波，且其成像也只是定性的，根據(jù)超聲散射波的信息，定量地生成人體內部的結構圖，是超聲應用技術的研究者追求的新目標?！薄拔磥淼某暢上窦夹g應該是制造出不需成像專家或醫(yī)學專家才能識別的反映客觀現(xiàn)實真實圖像的超聲成像設備，即使是這種設備是不完美的?！庇鴱氖鲁暢上竦膶＜襊.N.TWells在2000年2主要內容一.超聲層析成像技術的發(fā)展歷史二.超聲層析成像技術的基本模型及方法三.問題的不適定性及其正則化四.模型噪聲的判斷方法——Picard準則五.靜態(tài)正則化技術在超聲層析技術中的應用六.迭代正則化技術在超聲層析技術中的應用七.總結與展望

主要內容一.超聲層析成像技術的發(fā)展歷史3一.超聲層析成像的發(fā)展歷史1.折射系數(shù)層析成像方法2.衰減系數(shù)層析成像方法3.射線跟蹤方法4.透射式衍射層析成像及反射式衍射層析成像方法5.基于精確場描述的層析成像方法

一.超聲層析成像的發(fā)展歷史1.折射系數(shù)層析成像方法41.折射系數(shù)層析成像方法Refractive-indextomography

1.折射系數(shù)層析成像方法Refractive-indext52.超聲衰減系數(shù)層析成像

Attenuationtomography

衰減系數(shù)

綜合衰減系數(shù)

2.超聲衰減系數(shù)層析成像

Attenuationto63.射線跟蹤方法

RayTracingMethod

3.射線跟蹤方法

RayTracingMethod74.透射式衍射層析成像及反射式衍

射層析成像方法物體傅里葉變換頻域空域入射波前向散射場4.透射式衍射層析成像及反射式衍

射層析成像方法8從不同方向照射物體時,前向散射場數(shù)據(jù)的傅里葉變換從不同方向照射物體時,前向散射場數(shù)據(jù)的傅里葉變換95.基于精確場描述的層析成像方法5.基于精確場描述的層析成像方法10的k-1次多項式，其系數(shù)的確定方程的右側項b的特征；矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩TSVD方法的數(shù)值仿真結果采用一維搜索的方法確定更精確的kL=In，x0=0時，稱為Tikhonov正則化的標準形式,其解可表示為:Golub和Kahan(1965)首先，計算增廣矩陣(A，b)的奇異值分解指導教師:汪元美教授今后需要進一步研究的工作基于精確場描述的層析成像方法透射式衍射層析成像及反射式衍射離散化方法

有限元法、邊界元法

矩量法中基函數(shù)的確定

3.求解最小二乘問題的共軛梯度

方法(cgls)非齊次亥姆霍茲方程(HelmholtzEquation)產(chǎn)生的序列xk，使得：二.超聲層析成像技術的基本模型

及方法非齊次亥姆霍茲方程(HelmholtzEquation)1.波動方程及其解的k-1次多項式，其系數(shù)的確定二.超聲層析成像技術的基本模11全場方程(TotalFieldEquation)

(第二類Fredholm積分方程)

散射場方程(ScatteringFieldEquation)探測器方程(DetectorEquation)全場方程(TotalFieldEquation)

(第二122.積分方程的離散化─矩量法2.積分方程的離散化─矩量法13向量形式:

向量形式:143.波動方程的近似

①Born近似

Born逆解O

應滿足的條件:3.波動方程的近似①Born近似Born逆解O應滿15②Rytov近似

應滿足的條件:②Rytov近似應滿足的條件:16截斷奇異值分解正則化方法Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法截斷完全最小二乘正則化方法基于精確場描述的層析成像方法15采用clgs方法，五種不同圖像在對比度為30％時的基于精確場描述的層析成像方法cgls方法的數(shù)值仿真結果矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩產(chǎn)生的序列xk，使得：LSQR方法的數(shù)值仿真結果矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩Born迭代算法(BI)對于線性方程組Ax=b或最小二乘問題TWells在2000年的文章《超聲成像技術的現(xiàn)狀與未來》一文中指出“在最近的十幾年里，有關超聲成像技術的研究在醫(yī)學成像領域至少占百分之二十五以上的份額，并且這種趨勢還在繼續(xù)增長。產(chǎn)生的序列xk，使得：產(chǎn)生的序列xk，使得：迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線首先利用Picard理論，分析了超聲層析成像問題的中的模型噪聲問題，給出了入射波的確定方法、以及正則化方法的適用范圍的判斷方法。Tikhonov正則化4.基本方法Born迭代算法(BI)

Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法變形Born迭代方法(DBI)

截斷奇異值分解正則化方法4.基本方法Born迭代算法(BI17Born迭代算法(BI)

求Born逆解O由全場方程

確定全場

由散射場方程求散射場,并計算

由方程求改變量求Born迭代算法(BI)求Born逆解O由全場方程18求Born逆解O由全場方程

確定全場

由散射場方程求散射場,并計算

變形Born迭代算法(DBI)

根據(jù)最新求得的Ok改變散射方程的系數(shù)矩陣D求由方程求改變量求Born逆解O由全場方程19LevenbergMarquardt和

NewtonKantorovich方法代入LevenbergMarquardt和

NewtonKant20三.問題的不適定性及其正則化

適定性問題是指對于連續(xù)算子方程Kx=y，如果解x滿足(1).存在；(2).唯一；(3).連續(xù)地依賴于數(shù)據(jù)y。否則，即上述三個條件有一個不滿足，則稱其為不適定的（Illposed）。三.問題的不適定性及其正則化

適定性問題是指21離散不適定問題

(DiscreteIllPosedProblem)若:

(1).矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩陣A的最大奇異值和最小奇異值之比非常大；(2).矩陣A的奇異值逐漸下降趨于零。對于線性方程組Ax=b

或最小二乘問題:離散不適定問題

(DiscreteIllPosedPro22Tikhonov正則化

L=In，x0=0時，稱為Tikhonov正則化的標準形式,其解可表示為:Tikhonov正則化L=In，x0=0時，稱為Tikho23四.模型噪聲的判斷方法:Picard準則離散Picard準則若方程組Ax=b的傅里葉系數(shù)趨于零的速度在平均意義下快于矩陣A的奇異值趨于零的速度的話，則稱該方程組滿足離散Picard準則(條件)。最小二乘解:Tikhonov正則化解:四.模型噪聲的判斷方法:Picard準則離散Picard準24英國從事超聲成像的專家P.TWells在2000年的文章《超聲成像技術的現(xiàn)狀與未來》一文中指出“在最近的十幾年里，有關超聲成像技術的研究在醫(yī)學成像領域至少占百分之二十五以上的份額，并且這種趨勢還在繼續(xù)增長。今后需要進一步研究的工作則完全最小二乘問題的解為：今后需要進一步研究的工作由全場方程15采用clgs方法，五種不同圖像在對比度為30％時的陣A的最大奇異值和最小奇異值之比TTLS方法的數(shù)值仿真結果Paige和Saunders(1982)非齊次亥姆霍茲方程(HelmholtzEquation)首先，計算增廣矩陣(A，b)的奇異值分解迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線TSVD方法的數(shù)值仿真結果Wells還指出“目前成功地應用于醫(yī)學領域的超聲成像設備大都是基于反射波，且其成像也只是定性的，根據(jù)超聲散射波的信息，定量地生成人體內部的結構圖，是超聲應用技術的研究者追求的新目標。將共軛梯度法應用于法方程從迭代過程很容易求得數(shù)值分析的數(shù)值矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩L曲線(LCurve)方法非常大；Tikhonov正則化受噪聲污染和無噪聲污染的Picard圖

污染嚴重

污染較輕

英國從事超聲成像的專家P.受噪聲污染和無噪聲污染的Picar25A

對比度為30％時對比度為20％時對比度為10％時A對比度為30％時對比度為20％時對比度為10％時26五.靜態(tài)正則化技術1.截斷奇異值分解正則化方法

TruncatedSingularValueDecomposition(TSVD)2.截斷完全最小二乘正則化方法

TruncatedTotalLeastSquares(TTLS)

五.靜態(tài)正則化技術1.截斷奇異值分解正則化方法2.截斷完全271.截斷奇異值分解正則化方法(TSVD)

對于線性方程組Ax=b

或最小二乘問題最小二乘解:Tikhonov正則化解:TSVD正則化解:1.截斷奇異值分解正則化方法(TSVD)對于線性方程組Ax28正則化參數(shù)的選取方法

離差原理(DiscrepancyPrinciple)方法廣義交叉驗證(GCV)方法L曲線(LCurve)方法減小時

增加時

由L曲線方法確定k’采用一維搜索的方法確定更精確的k正則化參數(shù)的選取方法離差原理(DiscrepancyPr29TSVD方法的數(shù)值仿真結果

BACDE對比度為10％時對比度為20％時對比度為30％時原始圖像TSVD方法的數(shù)值仿真結果BACDE對比度為10％時對比度30迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線31迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線322.截斷完全最小二乘正則化方法滿足最小二乘問題：完全最小二乘問題：滿足：2.截斷完全最小二乘正則化方法滿足最小二乘問題：完全最小二乘33截斷完全最小二乘的步驟1.首先，計算增廣矩陣(A，b)的奇異值分解2．確定截斷參數(shù)k≤min(n，rank(A，b))使得：

3.記q=n-k+1,將矩陣分塊4.則完全最小二乘問題的解為：

截斷完全最小二乘的步驟1.首先，計算增廣矩陣(A，b34TTLS方法的數(shù)值仿真結果

原始圖像對比度為10％時對比度為20％時對比度為30％時TTLS方法的數(shù)值仿真結果原始圖像對比度為10％時對比度為35迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線36六.迭代正則化技術1.求解最小二乘問題的共軛梯度方法(cgls)2.LSQR方法六.迭代正則化技術1.求解最小二乘問題的共軛梯度方法(cg371.求解最小二乘問題的共軛梯度

方法(cgls)將共軛梯度法應用于法方程

相當于在Krylov子空間：產(chǎn)生的序列xk，使得：1.求解最小二乘問題的共軛梯度

方法(cgls)將38cgls方法的解可表示為:的k-1次多項式，其系數(shù)的確定是

其中：

依賴于：(1).方程的右側項b的特征；(2).矩陣A的奇異值的分布；(3).迭代的次數(shù)

cgls方法的解可表示為:的k-1次多項式，其系數(shù)的確定是39迭代次數(shù)增加，殘差變化不大，但解的范數(shù)受影響較大迭代次數(shù)增加，殘差變化不大，但解的范數(shù)受影響較大40正則化參數(shù)對迭代的影響正則化參數(shù)對迭代的影響41cgls方法的數(shù)值仿真結果BACDE對比度為10％時原始圖像對比度為20％時對比度為30％時cgls方法的數(shù)值仿真結果BACDE對比度為10％時原始圖像42迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線圖5.15采用clgs方法，五種不同圖像在對比度為30％時的相對殘差(RRE)曲線，cgls迭代次數(shù)為10迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線圖5.15采用clgs方法，43LSQR迭代方法

Lanczos三對角過程

Lanczos應用于將矩陣A雙對角化Golub和Kahan(1965)

Paige和Saunders(1982)

線性方程組Ax=b和應用于LSQR迭代方法Lanczos三對角過程Lanczos應44TSVD方法的數(shù)值仿真結果正則化問題

基于非對成方程的Krylov子空間方法Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法15采用clgs方法，五種不同圖像在對比度為30％時的cgls方法的數(shù)值仿真結果Tikhonov正則化矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩“未來的超聲成像技術應該是制造出不需成像專家或醫(yī)學專家才能識別的反映客觀現(xiàn)實真實圖像的超聲成像設備，即使是這種設備是不完美的。產(chǎn)生的序列xk，使得：采用一維搜索的方法確定更精確的k15采用clgs方法，五種不同圖像在對比度為30％時的非齊次亥姆霍茲方程(HelmholtzEquation)Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩Lanczos三對角過程今后需要進一步研究的工作基于精確場描述的層析成像方法浙江大學生物醫(yī)學工程系首先，計算增廣矩陣(A，b)的奇異值分解指導教師:汪元美教授LSQR方法的優(yōu)點:

1.速度快2.對不適定性問題數(shù)值穩(wěn)定3.從迭代過程很容易求得數(shù)值分析的數(shù)值TSVD方法的數(shù)值仿真結果LSQR方法的優(yōu)點:1.速度45BACDE原始圖像LSQR方法的數(shù)值仿真結果對比度為10％時對比度為20％時對比度為30％時BACDE原始圖像LSQR方法的數(shù)值仿真結果對比度為10％時46七.總結與展望首先利用Picard理論，分析了超聲層析成像問題的中的模型噪聲問題，給出了入射波的確定方法、以及正則化方法的適用范圍的判斷方法。采用了兩類四種正則化方法對超聲層析成像問題中的不適定性問題進行了研究，通過對正則化參數(shù)選擇的修正，完成了較大對比度物體的成像問題。結論：靜態(tài)正則化方法數(shù)值穩(wěn)定，但速度慢；迭代正則化方法速度快，但數(shù)值穩(wěn)定性不如靜態(tài)方法。七.總結與展望首先利用Picard理論，分析了超聲層析成像47今后需要進一步研究的工作1.前向散射問題的研究（波動方程的精確程度）

2.離散化方法

有限元法、邊界元法

矩量法中基函數(shù)的確定

3.正則化問題

基于非對成方程的Krylov子空間方法

今后需要進一步研究的工作1.前向散射問題的研究（波動方程的48受噪聲污染和無噪聲污染的Picard圖指導教師:汪元美教授記q=n-k+1,將矩陣分塊采用了兩類四種正則化方法對超聲層析成像問題中的不適定性問題進行了研究，通過對正則化參數(shù)選擇的修正，完成了較大對比度物體的成像問題。射線跟蹤方法

RayTracingMethodL=In，x0=0時，稱為Tikhonov正則化的標準形式,其解可表示為:截斷完全最小二乘正則化方法cgls方法的數(shù)值仿真結果LSQR方法的數(shù)值仿真結果首先，計算增廣矩陣(A，b)的奇異值分解的k-1次多項式，其系數(shù)的確定產(chǎn)生的序列xk，使得：cgls方法的數(shù)值仿真結果TSVD方法的數(shù)值仿真結果矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩TTLS方法的數(shù)值仿真結果超聲層析成像的理論與實現(xiàn)否則，即上述三個條件有一個不滿足，則稱其為不適定的（Illposed）。透射式衍射層析成像及反射式衍射Tikhonov正則化矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩15采用clgs方法，五種不同圖像在對比度為30％時的今后需要進一步研究的工作截斷完全最小二乘正則化方法散射場方程(ScatteringFieldEquation)對不適定性問題數(shù)值穩(wěn)定首先利用Picard理論，分析了超聲層析成像問題的中的模型噪聲問題，給出了入射波的確定方法、以及正則化方法的適用范圍的判斷方法。TruncatedTotalLeastSquaresTTLS方法的數(shù)值仿真結果透射式衍射層析成像及反射式衍射首先利用Picard理論，分析了超聲層析成像問題的中的模型噪聲問題，給出了入射波的確定方法、以及正則化方法的適用范圍的判斷方法。Tikhonov正則化產(chǎn)生的序列xk，使得：L曲線(LCurve)方法Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法結論：靜態(tài)正則化方法數(shù)值穩(wěn)定，但速度慢；的k-1次多項式，其系數(shù)的確定靜態(tài)正則化技術在超聲層析技術中的應用指導教師:汪元美教授對于線性方程組Ax=b或最小二乘問題:

謝謝！受噪聲污染和無噪聲污染的Picard圖15采用clgs方法，49超聲層析成像的理論與實現(xiàn)

答辯人:劉超指導教師:汪元美教授

浙江大學生物醫(yī)學工程系二○○三年九月二日浙江大學博士論文答辯

超聲層析成像的理論與實現(xiàn)50英國從事超聲成像的專家P.N.TWells在2000年的文章《超聲成像技術的現(xiàn)狀與未來》一文中指出“在最近的十幾年里，有關超聲成像技術的研究在醫(yī)學成像領域至少占百分之二十五以上的份額，并且這種趨勢還在繼續(xù)增長?！盬ells還指出“目前成功地應用于醫(yī)學領域的超聲成像設備大都是基于反射波，且其成像也只是定性的，根據(jù)超聲散射波的信息，定量地生成人體內部的結構圖，是超聲應用技術的研究者追求的新目標。”“未來的超聲成像技術應該是制造出不需成像專家或醫(yī)學專家才能識別的反映客觀現(xiàn)實真實圖像的超聲成像設備，即使是這種設備是不完美的。”英國從事超聲成像的專家P.N.TWells在2000年51主要內容一.超聲層析成像技術的發(fā)展歷史二.超聲層析成像技術的基本模型及方法三.問題的不適定性及其正則化四.模型噪聲的判斷方法——Picard準則五.靜態(tài)正則化技術在超聲層析技術中的應用六.迭代正則化技術在超聲層析技術中的應用七.總結與展望

主要內容一.超聲層析成像技術的發(fā)展歷史52一.超聲層析成像的發(fā)展歷史1.折射系數(shù)層析成像方法2.衰減系數(shù)層析成像方法3.射線跟蹤方法4.透射式衍射層析成像及反射式衍射層析成像方法5.基于精確場描述的層析成像方法

一.超聲層析成像的發(fā)展歷史1.折射系數(shù)層析成像方法531.折射系數(shù)層析成像方法Refractive-indextomography

1.折射系數(shù)層析成像方法Refractive-indext542.超聲衰減系數(shù)層析成像

Attenuationtomography

衰減系數(shù)

綜合衰減系數(shù)

2.超聲衰減系數(shù)層析成像

Attenuationto553.射線跟蹤方法

RayTracingMethod

3.射線跟蹤方法

RayTracingMethod564.透射式衍射層析成像及反射式衍

射層析成像方法物體傅里葉變換頻域空域入射波前向散射場4.透射式衍射層析成像及反射式衍

射層析成像方法57從不同方向照射物體時,前向散射場數(shù)據(jù)的傅里葉變換從不同方向照射物體時,前向散射場數(shù)據(jù)的傅里葉變換585.基于精確場描述的層析成像方法5.基于精確場描述的層析成像方法59的k-1次多項式，其系數(shù)的確定方程的右側項b的特征；矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩TSVD方法的數(shù)值仿真結果采用一維搜索的方法確定更精確的kL=In，x0=0時，稱為Tikhonov正則化的標準形式,其解可表示為:Golub和Kahan(1965)首先，計算增廣矩陣(A，b)的奇異值分解指導教師:汪元美教授今后需要進一步研究的工作基于精確場描述的層析成像方法透射式衍射層析成像及反射式衍射離散化方法

有限元法、邊界元法

矩量法中基函數(shù)的確定

3.求解最小二乘問題的共軛梯度

方法(cgls)非齊次亥姆霍茲方程(HelmholtzEquation)產(chǎn)生的序列xk，使得：二.超聲層析成像技術的基本模型

及方法非齊次亥姆霍茲方程(HelmholtzEquation)1.波動方程及其解的k-1次多項式，其系數(shù)的確定二.超聲層析成像技術的基本模60全場方程(TotalFieldEquation)

(第二類Fredholm積分方程)

散射場方程(ScatteringFieldEquation)探測器方程(DetectorEquation)全場方程(TotalFieldEquation)

(第二612.積分方程的離散化─矩量法2.積分方程的離散化─矩量法62向量形式:

向量形式:633.波動方程的近似

①Born近似

Born逆解O

應滿足的條件:3.波動方程的近似①Born近似Born逆解O應滿64②Rytov近似

應滿足的條件:②Rytov近似應滿足的條件:65截斷奇異值分解正則化方法Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法截斷完全最小二乘正則化方法基于精確場描述的層析成像方法15采用clgs方法，五種不同圖像在對比度為30％時的基于精確場描述的層析成像方法cgls方法的數(shù)值仿真結果矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩產(chǎn)生的序列xk，使得：LSQR方法的數(shù)值仿真結果矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩Born迭代算法(BI)對于線性方程組Ax=b或最小二乘問題TWells在2000年的文章《超聲成像技術的現(xiàn)狀與未來》一文中指出“在最近的十幾年里，有關超聲成像技術的研究在醫(yī)學成像領域至少占百分之二十五以上的份額，并且這種趨勢還在繼續(xù)增長。產(chǎn)生的序列xk，使得：產(chǎn)生的序列xk，使得：迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線首先利用Picard理論，分析了超聲層析成像問題的中的模型噪聲問題，給出了入射波的確定方法、以及正則化方法的適用范圍的判斷方法。Tikhonov正則化4.基本方法Born迭代算法(BI)

Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法變形Born迭代方法(DBI)

截斷奇異值分解正則化方法4.基本方法Born迭代算法(BI66Born迭代算法(BI)

求Born逆解O由全場方程

確定全場

由散射場方程求散射場,并計算

由方程求改變量求Born迭代算法(BI)求Born逆解O由全場方程67求Born逆解O由全場方程

確定全場

由散射場方程求散射場,并計算

變形Born迭代算法(DBI)

根據(jù)最新求得的Ok改變散射方程的系數(shù)矩陣D求由方程求改變量求Born逆解O由全場方程68LevenbergMarquardt和

NewtonKantorovich方法代入LevenbergMarquardt和

NewtonKant69三.問題的不適定性及其正則化

適定性問題是指對于連續(xù)算子方程Kx=y，如果解x滿足(1).存在；(2).唯一；(3).連續(xù)地依賴于數(shù)據(jù)y。否則，即上述三個條件有一個不滿足，則稱其為不適定的（Illposed）。三.問題的不適定性及其正則化

適定性問題是指70離散不適定問題

(DiscreteIllPosedProblem)若:

(1).矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩陣A的最大奇異值和最小奇異值之比非常大；(2).矩陣A的奇異值逐漸下降趨于零。對于線性方程組Ax=b

或最小二乘問題:離散不適定問題

(DiscreteIllPosedPro71Tikhonov正則化

L=In，x0=0時，稱為Tikhonov正則化的標準形式,其解可表示為:Tikhonov正則化L=In，x0=0時，稱為Tikho72四.模型噪聲的判斷方法:Picard準則離散Picard準則若方程組Ax=b的傅里葉系數(shù)趨于零的速度在平均意義下快于矩陣A的奇異值趨于零的速度的話，則稱該方程組滿足離散Picard準則(條件)。最小二乘解:Tikhonov正則化解:四.模型噪聲的判斷方法:Picard準則離散Picard準73英國從事超聲成像的專家P.TWells在2000年的文章《超聲成像技術的現(xiàn)狀與未來》一文中指出“在最近的十幾年里，有關超聲成像技術的研究在醫(yī)學成像領域至少占百分之二十五以上的份額，并且這種趨勢還在繼續(xù)增長。今后需要進一步研究的工作則完全最小二乘問題的解為：今后需要進一步研究的工作由全場方程15采用clgs方法，五種不同圖像在對比度為30％時的陣A的最大奇異值和最小奇異值之比TTLS方法的數(shù)值仿真結果Paige和Saunders(1982)非齊次亥姆霍茲方程(HelmholtzEquation)首先，計算增廣矩陣(A，b)的奇異值分解迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線TSVD方法的數(shù)值仿真結果Wells還指出“目前成功地應用于醫(yī)學領域的超聲成像設備大都是基于反射波，且其成像也只是定性的，根據(jù)超聲散射波的信息，定量地生成人體內部的結構圖，是超聲應用技術的研究者追求的新目標。將共軛梯度法應用于法方程從迭代過程很容易求得數(shù)值分析的數(shù)值矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩L曲線(LCurve)方法非常大；Tikhonov正則化受噪聲污染和無噪聲污染的Picard圖

污染嚴重

污染較輕

英國從事超聲成像的專家P.受噪聲污染和無噪聲污染的Picar74A

對比度為30％時對比度為20％時對比度為10％時A對比度為30％時對比度為20％時對比度為10％時75五.靜態(tài)正則化技術1.截斷奇異值分解正則化方法

TruncatedSingularValueDecomposition(TSVD)2.截斷完全最小二乘正則化方法

TruncatedTotalLeastSquares(TTLS)

五.靜態(tài)正則化技術1.截斷奇異值分解正則化方法2.截斷完全761.截斷奇異值分解正則化方法(TSVD)

對于線性方程組Ax=b

或最小二乘問題最小二乘解:Tikhonov正則化解:TSVD正則化解:1.截斷奇異值分解正則化方法(TSVD)對于線性方程組Ax77正則化參數(shù)的選取方法

離差原理(DiscrepancyPrinciple)方法廣義交叉驗證(GCV)方法L曲線(LCurve)方法減小時

增加時

由L曲線方法確定k’采用一維搜索的方法確定更精確的k正則化參數(shù)的選取方法離差原理(DiscrepancyPr78TSVD方法的數(shù)值仿真結果

BACDE對比度為10％時對比度為20％時對比度為30％時原始圖像TSVD方法的數(shù)值仿真結果BACDE對比度為10％時對比度79迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線80迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線812.截斷完全最小二乘正則化方法滿足最小二乘問題：完全最小二乘問題：滿足：2.截斷完全最小二乘正則化方法滿足最小二乘問題：完全最小二乘82截斷完全最小二乘的步驟1.首先，計算增廣矩陣(A，b)的奇異值分解2．確定截斷參數(shù)k≤min(n，rank(A，b))使得：

3.記q=n-k+1,將矩陣分塊4.則完全最小二乘問題的解為：

截斷完全最小二乘的步驟1.首先，計算增廣矩陣(A，b83TTLS方法的數(shù)值仿真結果

原始圖像對比度為10％時對比度為20％時對比度為30％時TTLS方法的數(shù)值仿真結果原始圖像對比度為10％時對比度為84迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線85六.迭代正則化技術1.求解最小二乘問題的共軛梯度方法(cgls)2.LSQR方法六.迭代正則化技術1.求解最小二乘問題的共軛梯度方法(cg861.求解最小二乘問題的共軛梯度

方法(cgls)將共軛梯度法應用于法方程

相當于在Krylov子空間：產(chǎn)生的序列xk，使得：1.求解最小二乘問題的共軛梯度

方法(cgls)將87cgls方法的解可表示為:的k-1次多項式，其系數(shù)的確定是

其中：

依賴于：(1).方程的右側項b的特征；(2).矩陣A的奇異值的分布；(3).迭代的次數(shù)

cgls方法的解可表示為:的k-1次多項式，其系數(shù)的確定是88迭代次數(shù)增加，殘差變化不大，但解的范數(shù)受影響較大迭代次數(shù)增加，殘差變化不大，但解的范數(shù)受影響較大89正則化參數(shù)對迭代的影響正則化參數(shù)對迭代的影響90cgls方法的數(shù)值仿真結果BACDE對比度為10％時原始圖像對比度為20％時對比度為30％時cgls方法的數(shù)值仿真結果BACDE對比度為10％時原始圖像91迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線圖5.15采用clgs方法，五種不同圖像在對比度為30％時的相對殘差(RRE)曲線，cgls迭代次數(shù)為10迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線圖5.15采用clgs方法，92LSQR迭代方法

Lanczos三對角過程

Lanczos應用于將矩陣A雙對角化Golub和Kahan(1965)

Paige和Saunders(1982)

線性方程組Ax=b和應用于LSQR迭代方法Lanczos三對角過程Lanczos應93TSVD方法的數(shù)值仿真結果正則化問題

基于非對成方程的Krylov子空間方法Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法15采用clgs方法，五種不同圖像在對比度為30％時的cgls方法的數(shù)值仿真結果Tikhonov正則化矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩“未來的超聲成像技術應該是制造出不需成像專家或醫(yī)學專家才能識別的反映客觀現(xiàn)實真實圖像的超聲成像設備，即使是這種設備是不完美的。產(chǎn)生的序列xk，使得：采用一維搜索的方法確定更精確的k15采用clgs方法，五種不同圖像在對比度為30％時的非齊次亥姆霍茲方程(HelmholtzEquation)Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩Lanczos三對角過程今后需要進一步研究的工作基于精確場描述的層析成像方