第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)課件

第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)1

6.1數(shù)字濾波器的基本概念

數(shù)字濾波器指用運(yùn)算的方法改變數(shù)字信號(hào)的頻率分量的相對(duì)比例的器件。與模擬濾波器相比，數(shù)字濾波器的精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配？等優(yōu)點(diǎn)。1.數(shù)字濾波器的分類從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者單位脈沖響應(yīng)分類：無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器

6.1數(shù)字濾波器的基本概念

數(shù)2從功能上來(lái)分類：低通濾波器高通濾波器帶通濾波器帶阻濾波器從功能上來(lái)分類：3

2數(shù)字濾波器的技術(shù)要求假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)用下式表示：選頻濾波器的技術(shù)指標(biāo)只要求幅頻特性。線性相位濾波器的技術(shù)指標(biāo)則兩樣都要求。圖6.1.2低通濾波器的技術(shù)要求2數(shù)字濾波器的技術(shù)要求圖6.1.2低通濾波器的技術(shù)4通帶和阻帶內(nèi)都允許有衰減誤差。允許的衰減用dB數(shù)表示。通帶內(nèi)允許的最大衰減用αp表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用αs表示。αp和αs分別定義為：(6.1.3)(6.1.4)如將|H(ej0)|歸一化為1，(6.1.3)和(6.1.4)式則表示成：(6.1.5)(6.1.6)通帶和阻帶內(nèi)都允許有衰減誤差。允許的53.數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法IIR濾波器設(shè)計(jì)方法是：從模擬濾波器變到數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，直接在離散頻域或時(shí)域中設(shè)計(jì)。FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法是：窗函數(shù)法，頻率采樣法。3.數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法6

6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Ellipse)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。設(shè)計(jì)模擬濾波器是先設(shè)計(jì)低通濾波器，再把低通濾波器變換為希望的濾波器。

6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

模擬7第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)課件8第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)課件9以上技術(shù)指標(biāo)用低通濾波器的幅度特性圖表示。圖中Ωc稱為3dB截止頻率？以上技術(shù)指標(biāo)用低通濾波器的幅度特性圖表示。圖中Ωc稱10模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法是：（1）根據(jù)濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)傳輸函數(shù)Ha(s)的幅度平方函數(shù)，它與系統(tǒng)函數(shù)有關(guān)系上式的關(guān)系從Ha(s)的因式相乘表達(dá)式推出。（2）根據(jù)幅度平方函數(shù)和系統(tǒng)的極點(diǎn)應(yīng)該在s的左半平面，求出傳遞函數(shù)。模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法是：112.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)用下式和圖表示。想一想階數(shù)N與幅頻特性下降坡度的關(guān)系？2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法12為了求出幅度平方函數(shù)，將|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：此幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)它們均勻的分布在半徑為Ωc的圓上，間隔是π/N弧度。

為了求出幅度平方函數(shù)，將|Ha(jΩ13例如N=3的三階巴特沃斯濾波器，為形成穩(wěn)定的濾波器，在6個(gè)極點(diǎn)中取s平面左半平面的3個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的3個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。三階巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)分布如下：例如N=3的三階巴特沃斯濾波器，為形成穩(wěn)定的14第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)課件15第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)課件16式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：這樣設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器的步驟是：a.根據(jù)技術(shù)指標(biāo)確定階數(shù)N，b.求出歸一化極點(diǎn)pk，c.求出歸一化傳遞函數(shù)Ha(p)，d.用Ωc去歸一化到實(shí)際傳遞函數(shù)Ha(s)。式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：17從技術(shù)指標(biāo)推出N和Ωc：用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)？。當(dāng)阻帶指標(biāo)有富裕當(dāng)通帶指標(biāo)有富裕從技術(shù)指標(biāo)推出N和Ωc：18如果將極點(diǎn)代入傳遞函數(shù)的因式分解式，可以得到的Ha(p)的多項(xiàng)式表達(dá)式。早有科學(xué)家把兩種傳遞函數(shù)形式的系數(shù)列成表格，供我們?cè)O(shè)計(jì)時(shí)查找。參閱書(shū)上157~158頁(yè)。如果將極點(diǎn)代入傳遞函數(shù)的因式分解式，19歸納起來(lái)，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp、αp、Ωs和αs，求出濾波器的階數(shù)N。(2)計(jì)算或者查表求出歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。(3)用p=s/Ωc代入Ha(p)，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。歸納起來(lái)，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟20表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)21第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)課件22第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)課件23例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB。請(qǐng)按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解：(1)確定階數(shù)N?！摺嗬?.2.1已知通帶截止頻率fp24(2)有兩種方法。法一：按照(6.2.12)式計(jì)算出極點(diǎn)帶入(6.2.11)式，得到歸一化傳輸函數(shù)(2)有兩種方法。帶入(6.2.11)式，得到歸25

法二：直接查表6.2.1的N=5，得到三種結(jié)果：極點(diǎn)是-0.3090±j0.9511，-0.8090±j0.5878，-1.0000。系統(tǒng)函數(shù)的多項(xiàng)式形式系統(tǒng)函數(shù)的因式分解形式法二：直接查表6.2.1的N=5，得到三種結(jié)果：26(3)Ha(p)去歸一化。先求3dB截止頻率Ωc。如果希望阻帶指標(biāo)有富裕，則

將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：(3)Ha(p)去歸一化。先求3dB截止頻率Ωc。27用MATLAB來(lái)設(shè)計(jì)該題，通帶指標(biāo)有富裕。clear;closeall;fp=5000;fs=12000;rp=2;rs=30;[n,fc]=buttord(fp,fs,rp,rs,'s');%求階數(shù)和半功率點(diǎn)頻率[b,a]=butter(n,fc,'s');%求系統(tǒng)函數(shù)的分子分母系數(shù)[hf,f]=freqs(b,a);%求系統(tǒng)函數(shù)的頻譜plot(f,abs(hf));xlabel('f/Hz');ylabel('|H(f)|');axis([0,1.2e4,0,1.2]);gridshg用MATLAB來(lái)設(shè)計(jì)該題，通帶指標(biāo)有富裕。283.切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法圖6.2.5分別畫出階數(shù)N=3和N=4的切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性。

圖6.2.5切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性3.切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法圖6.2.5切比29其幅度平方函數(shù)用A2(Ω)表示：式中，ε為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度。ε愈大，波動(dòng)幅度也愈大。Ωp稱為通帶截止頻率。令λ=Ω/Ωp，稱為對(duì)Ωp的歸一化頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為其幅度平方函數(shù)用A2(Ω)表示：30圖6.2.6示出了階數(shù)N=0,4,5時(shí)的切比雪夫多項(xiàng)式特性。由圖可見(jiàn)：(1)切比雪夫多項(xiàng)式的過(guò)零點(diǎn)在|x|≤1的范圍內(nèi)；(2)當(dāng)|x|<1時(shí)，|CN(x)|≤1,在|x|<1范圍內(nèi)具有等波紋性；(3)當(dāng)|x|>1時(shí)，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。圖6.2.6示出了階數(shù)N=0,4,5時(shí)的切比雪夫多31圖6.2.6N=0,4,5切比雪夫多項(xiàng)式曲線圖6.2.6N=0,4,5切比雪夫多項(xiàng)式曲線32平方幅度函數(shù)與三個(gè)參數(shù)ε、Ωp和N有關(guān)。其中ε與通帶內(nèi)允許的波動(dòng)大小有關(guān)，定義允許的通帶波紋δ用下式表示：因此平方幅度函數(shù)與三個(gè)參數(shù)ε、Ωp和N33圖6.2.7切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的A2(Ω)曲線圖6.2.7切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的A2(Ω34當(dāng)頻率為Ωs時(shí)，切比雪夫Ⅰ型濾波器的幅度平方函數(shù)A2(Ωs)為由此解出

當(dāng)頻率為Ωs時(shí)，切比雪夫Ⅰ型濾波器的35當(dāng)頻率為Ωc時(shí)，切比雪夫Ⅰ型濾波器的幅度平方函數(shù)A2(Ωs)為1/2，由此解出

以上Ωp、ε和N確定后，可以求出濾波器的極點(diǎn)，并確定Ha(p)，p=s/Ωp。求解的過(guò)程是很復(fù)雜的。下面僅介紹一些有用的結(jié)果。設(shè)切比雪夫?yàn)V波器Ha(s)的極點(diǎn)為si=σi+jΩi，極點(diǎn)的實(shí)部和虛部是當(dāng)頻率為Ωc時(shí)，切比雪夫Ⅰ型濾波器36

可以看出，極點(diǎn)的實(shí)部和虛部的關(guān)系是橢圓方程，式中的Ωpshξ是短半軸(在實(shí)軸上)，Ωpchξ是長(zhǎng)半軸(在虛軸上)。因此切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布在這個(gè)橢圓上。

37設(shè)N=3，三階切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布如下。設(shè)N=3，三階切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布如下。38為了穩(wěn)定，用左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)，即式中c是待定系數(shù)。根據(jù)切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)用力推導(dǎo)，c=ε·2N-1，所以歸一化的傳輸函數(shù)為去歸一化后的傳輸函數(shù)為為了穩(wěn)定，用左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)，39

按照以上分析，設(shè)計(jì)切比雪夫Ⅰ型濾波器的步驟是：（1）根據(jù)技術(shù)要求αp、Ωp、αs和Ωs確定N和ε。

（2）求濾波器的極點(diǎn)，寫出歸一化系統(tǒng)函數(shù)。

按照以上分析，設(shè)計(jì)切比雪夫40（3）將Ha(p)去歸一化得到實(shí)際的Ha(s)。第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)課件41

例6.2.2設(shè)計(jì)低通切比雪夫?yàn)V波器。要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減αp=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=60dB。

解(1)根據(jù)技術(shù)要求αp、Ωp、αs和Ωs確定N和ε。例6.2.2設(shè)計(jì)低通切比雪夫?yàn)V波器。要求通帶截止頻42(2)求濾波器的極點(diǎn)，寫出歸一化系統(tǒng)函數(shù)。取N=5，算出極點(diǎn)pi，得到歸一化系統(tǒng)函數(shù)：（3）將Ha(p)去歸一化得到實(shí)際的Ha(s)。(2)求濾波器的極點(diǎn)，寫出歸一化系統(tǒng)函數(shù)。43用MATLAB解決這個(gè)復(fù)雜的題：clear;closeall;fp=3e3;fs=12e3;rp=0.1;rs=60;[n,fc]=cheb1ord(fp,fs,rp,rs,'s')%求階數(shù)和通帶頻率[b,a]=cheby1(n,rp,fc,'s')%求系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)[hf,f]=freqs(b,a);%求系統(tǒng)函數(shù)的頻譜plot(f,abs(hf));xlabel('f/Hz');ylabel('|H(f)|');grid用MATLAB解決這個(gè)復(fù)雜的題：444.模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)模擬高通、帶通、帶阻濾波器的傳輸函數(shù)可以由低通濾波器的傳輸函數(shù)通過(guò)頻率變換求得。為了防止頻率變換時(shí)引起符號(hào)混淆，先規(guī)定符號(hào)如下：低通濾波器的傳遞函數(shù)用G(s)表示，s=jΩ；歸一化頻率為λ，p=jλ稱為歸一化拉氏復(fù)變量。想要的濾波器的傳遞函數(shù)用H(s)表示，s=jΩ；歸一化頻率為η，q=jη稱為歸一化拉氏復(fù)變量。

4.模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)45(1)設(shè)計(jì)模擬高通濾波器低通濾波器和高通濾波器的幅頻特性如左圖所示。低通的λ從0到∞時(shí)的特性對(duì)應(yīng)高通的η從∞到0時(shí)的特性，所以λ和η之間的關(guān)系為它是低通和高通轉(zhuǎn)換的依據(jù)，例如：(1)設(shè)計(jì)模擬高通濾波器46模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟：a.把高通濾波器的指標(biāo)按關(guān)系λ=1/η轉(zhuǎn)換成低通濾波器的指標(biāo)，b.設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p)，c.用p=1/q轉(zhuǎn)換G(p)成歸一化高通H(q)，d.將q=s/Ωc代入H(q)中，得模擬高通H(s)。模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟：47例6.2.3設(shè)計(jì)高通濾波器，要求fp=200Hz，fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減αs=15dB。解：①把高通濾波器的指標(biāo)按關(guān)系λ=1/η轉(zhuǎn)換成低通濾波器的指標(biāo)?！吒咄ǖ膄p=200Hz,fs=100Hz,αp=3dB,αs=15dB,ηp=fp/fc=1,ηs=fs/fc=0.5，∴λp=1,λs=2,②設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故例6.2.3設(shè)計(jì)高通濾波器，要求fp=200Hz48②設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故②設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故49③用p=1/p=Ωc/s代入G(p)中求模擬高通H(s)。

③用p=1/p=Ωc/s代入G(p)中求模擬高通H(50用MATLAB來(lái)解決問(wèn)題：clear;closeall;fp=1;fs=2;rp=3;rs=15;%歸一化低通的指標(biāo)[n,fc]=buttord(fp,fs,rp,rs,'s')%求階數(shù)和半功率點(diǎn)頻率[b,a]=butter(n,1,'s')%求歸一化系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)printsys(b,a)%打出歸一化系統(tǒng)函數(shù)的公式[c,d]=lp2hp(b,a,200*2*pi)%低通轉(zhuǎn)到高通printsys(c,d)%打出高通系統(tǒng)函數(shù)的公式[hf,f]=freqs(c,d);%求高通系統(tǒng)函數(shù)的頻譜plot(f/2/pi,abs(hf));xlabel('f/Hz');ylabel('|H(f)|');axis([0,600,0,1]);grid%阻帶指標(biāo)有富裕用MATLAB來(lái)解決問(wèn)題：51(2)設(shè)計(jì)模擬帶通濾波器低通濾波器和帶通濾波器的幅頻特性如下圖所示。

低通的λ從－∞到0到∞時(shí)的特性對(duì)應(yīng)帶通的η從0到η0到∞的特性。(2)設(shè)計(jì)模擬帶通濾波器52圖中Ωu和Ωl分別稱為帶通濾波器的通帶上限頻率和通帶下限頻率；B=Ωu－Ωl稱為通帶帶寬，作為歸一化參考頻率。Ωs1和Ωs2分別稱為下阻帶上限頻率和上阻帶下限頻率。Ω02=ΩlΩu，Ω0稱為通帶中心頻率。歸一化邊界頻率用下式計(jì)算：圖中Ωu和Ωl分別稱為帶通濾波器的53由η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到低通到帶通的頻率變換公式：由λp與ηu的對(duì)應(yīng)關(guān)系知道，下面推導(dǎo)由歸一化低通到帶通的轉(zhuǎn)換公式。由于由η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到低通到帶通的頻率變換公式：54所以用變換公式得到：將q=s/B代入上式去歸一化，得到由歸一化低通轉(zhuǎn)換成帶通的計(jì)算公式：所以用變換公式得到：55模擬帶通濾波器的設(shè)計(jì)步驟：a.把模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)歸一化，b.確定歸一化低通技術(shù)指標(biāo)，

λs與-λs的絕對(duì)值可能不相等，一般取絕對(duì)值小的λs，保證在較大的λs處系統(tǒng)也能滿足要求。通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減亦為αs。模擬帶通濾波器的設(shè)計(jì)步驟：56c.設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。d.用變換公式將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。

例6.2.4設(shè)計(jì)模擬帶通濾波器，要求它的通帶帶寬B=2π×200rad/s，中心頻率Ω0=2π×1000rad/s，通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶Ωs1=2π×830rad/s和Ωs2=2π×1200rad/s，阻帶最小衰減αs=15dB。

解：

a.把模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)歸一化，

c.設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。57∵Ω0=2π×1000rad/s,Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,B=2π×200rad/s；∴η0=Ω0/B=5,ηs1=Ωs1/B=4.15,ηs2=Ωs2/B=6.b.確定歸一化低通技術(shù)指標(biāo)，取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dBc.設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯型，有∵Ω0=2π×1000rad/s,Ωs1=2π×858取N=3，查表6.2.1，得d.用變換公式將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)?！摺嗳=3，查表6.2.1，得d.用變換公式將G(p)轉(zhuǎn)59用MATLAB來(lái)解決問(wèn)題：clear;closeall;fp=1;fs=1.833;rp=3;rs=15;%歸一化低通的指標(biāo)[n,fc]=buttord(fp,fs,rp,rs,'s')%求階數(shù)和半功率點(diǎn)頻率[b,a]=butter(n,1,'s')%求歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)printsys(b,a,'p')%打出歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)的公式[c,d]=lp2bp(b,a,1e3*2*pi,200*2*pi)%低通轉(zhuǎn)到帶通printsys(c,d)%打出帶通系統(tǒng)函數(shù)的公式[hf,f]=freqs(c,d,1000);%求帶通系統(tǒng)函數(shù)的頻譜plot(f/2/pi,abs(hf));xlabel('f/Hz');ylabel('|H(f)|');axis([600,1600,0,1.2]);grid用MATLAB來(lái)解決問(wèn)題：60(3)設(shè)計(jì)模擬帶阻濾波器低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖6.2.11所示。低通的λ從－∞到0到∞時(shí)的特性對(duì)應(yīng)帶阻的η從η0到∞和從0到η0的特性。(3)設(shè)計(jì)模擬帶阻濾波器低通的λ從－∞到61圖中，Ωl和Ωu分別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率，Ωs1和Ωs2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，Ω0為阻帶中心頻率，Ω20=ΩuΩl，阻帶帶寬B=Ωu－Ωl，B作為歸一化參考頻率。相應(yīng)的歸一化邊界頻率為ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl

根據(jù)η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得到：它是低通到帶阻的頻率變換公式。且ηu－ηl=1，λp=1。圖中，Ωl和Ωu分別是下通帶截止頻62由于p=jλ，利用變換公式去歸一化，可得上式就是直接由歸一化低通轉(zhuǎn)換成帶阻的頻率變換公式。由于p=jλ，利用變換公式去歸一化，可得63設(shè)計(jì)帶阻濾波器的步驟：a.把模擬帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)歸一化，ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηlb.確定歸一化低通技術(shù)指標(biāo)，

取λs和λs的絕對(duì)值較小的λs；通帶最大衰減仍然為αp，阻帶最小衰減為αs。c.設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。d.用變換公式將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。設(shè)計(jì)帶阻濾波器的步驟：64例6.2.5設(shè)計(jì)模擬帶阻濾波器，其技術(shù)要求為：Ωl=2π×905rad/s,Ωs1=2π×980rad/s,Ωs2=2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。試設(shè)計(jì)巴特沃斯帶阻濾波器。解：a.歸一化模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求：∵Ωl=2π×905,Ωu=2π×1105,Ωs1=2π×980,Ωs2=2π×1020,Ω20=ΩlΩu=4π2×1000025,B=Ωu－Ωl=2π×200,

例6.2.5設(shè)計(jì)模擬帶阻濾波器，其技術(shù)要求為：65∴ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525,ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;η20=ηlηu=25b.歸一化低通的技術(shù)要求：c.設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)?！唳莑=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu66d.用變換公式將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。d.用變換公式將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。67用MATLAB來(lái)解決問(wèn)題：clear;closeall;fp=1;fs=4.95;rp=3;rs=25;%歸一化低通的指標(biāo)[n,fc]=buttord(fp,fs,rp,rs,'s')%求階數(shù)和半功率點(diǎn)頻率[b,a]=butter(n,1,'s')%求歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)printsys(b,a,'p')%打出歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)的公式[c,d]=lp2bs(b,a,sqrt(905*1105)*2*pi,200*2*pi)%低通轉(zhuǎn)到帶阻printsys(c,d)%打出帶阻系統(tǒng)函數(shù)的公式[hf,f]=freqs(c,d,1000);%求帶阻系統(tǒng)函數(shù)的頻譜plot(f/2/pi,abs(hf));xlabel('f/Hz');ylabel('|H(f)|');axis([700,1400,0,1]);grid用MATLAB來(lái)解決問(wèn)題：686.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR

數(shù)字低通濾波器利用模擬濾波器來(lái)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器是比較方便的。為了保證此法設(shè)計(jì)的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，轉(zhuǎn)換關(guān)系必須滿足：(1)由因果穩(wěn)定的模擬濾波器變來(lái)的數(shù)字濾波器仍是因果穩(wěn)定的。(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻響相似。本節(jié)介紹的轉(zhuǎn)換方法叫脈沖響應(yīng)不變法。它是對(duì)模擬單位沖激響應(yīng)等間隔采樣得到數(shù)字單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)。6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR

數(shù)字低通濾波器69如果模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s)，對(duì)它的單位沖激響應(yīng)ha(t)等間隔T采樣所得到的系統(tǒng)h(n)=ha(nT)將與ha(t)有相似的頻率特性。設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，那么Ha(s)的部分分式表示為式中si為Ha(s)的單階極點(diǎn)。對(duì)Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：如果模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s)70式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對(duì)ha(t)進(jìn)行滿足采樣定理的等間隔采樣，得到：對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：它就是我們需要的數(shù)字濾波器。但是必須注意：由于模擬信號(hào)離散化后頻譜是周期重復(fù)的，所以模擬濾波器的頻帶必須是有限寬的，才能用這種方法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對(duì)ha(71如果Ha(s)的極點(diǎn)si是復(fù)數(shù)，必以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn)。一般將一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為

可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實(shí)數(shù)乘法)的形式為如果Ha(s)的極點(diǎn)si是復(fù)數(shù)，必以72如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為脈沖響應(yīng)法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器步驟：數(shù)字域頻率轉(zhuǎn)換成模擬域頻率（ω=ΩT），設(shè)計(jì)模擬濾波器，模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為73例6.3.1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解：首先將Ha(s)寫成部分分式：極點(diǎn)為那么H(z)的極點(diǎn)為例6.3.1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)74按照轉(zhuǎn)換關(guān)系式，并經(jīng)過(guò)整理，得到當(dāng)T=1s時(shí)，當(dāng)T=0.1s時(shí)，轉(zhuǎn)換時(shí)，也可以直接按照二階基本節(jié)的形式進(jìn)行。首先將Ha(s)寫成二階基本節(jié)的形式，按照轉(zhuǎn)換關(guān)系式，并經(jīng)過(guò)整理，得到75再按照轉(zhuǎn)換式求H(z)，用系統(tǒng)函數(shù)H1(z)和H2(z)畫出的幅頻特性可以說(shuō)明采樣間隔對(duì)混疊現(xiàn)象的影響。再按照轉(zhuǎn)換式求H(z)，76圖6.3.3例6.3.1的幅度特性脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)是模擬濾波器和數(shù)字濾波器的頻域特性和時(shí)域特性相同，缺點(diǎn)是會(huì)產(chǎn)生頻率混疊失真。

77用MATLAB來(lái)解決問(wèn)題：clear;closeall;b=[0,0,0.5012];a=[1,0.6449,0.7079];T=1;fs=1/T;%脈沖響應(yīng)不變法的采樣周期[B,A]=impinvar(b,a,fs)%該函數(shù)已乘Tprintsys(b,a,'s')%寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)filt(B/T,A)%寫出數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)figure(1);freqs(b,a);%畫模擬濾波器的頻譜figure(2);freqz(B,A);%畫數(shù)字濾波器的頻譜用MATLAB來(lái)解決問(wèn)題：78

6.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字

低通濾波器

雙線性變換法是先壓縮模擬頻率，再用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。它克服了脈沖響應(yīng)不變法的缺點(diǎn)。頻率壓縮的方法是根據(jù)變換公式，當(dāng)Ω1從-π/T變化到π/T時(shí)，Ω由-∞變化到+∞，以此實(shí)現(xiàn)模擬頻率的壓縮。式中T仍是采樣間隔。

6.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字

低通濾波器

79因?yàn)閟=jΩ和s1=jΩ1，由它們的頻率關(guān)系得Ha(s)變成Ha(s1)的變換公式

再通過(guò)將Ha(s)轉(zhuǎn)換到H(z)上。轉(zhuǎn)換關(guān)系是：這種方法稱作雙線性變換。因?yàn)閟=jΩ和s1=jΩ1，由它們的頻80雙線性變換優(yōu)點(diǎn)是數(shù)字濾波器沒(méi)有頻率混疊現(xiàn)象，缺點(diǎn)是數(shù)字濾波器與模擬濾波器的頻率變換是非線性的。因此它適用于幅頻特性是片斷常數(shù)的。雙線性變換設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的步驟：將數(shù)字濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器，將模擬濾波器用轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。雙線性變換優(yōu)點(diǎn)是數(shù)字濾波器沒(méi)有頻率混81由于步驟c整理起來(lái)并不容易，因此有科學(xué)家根據(jù)模擬濾波器和數(shù)字濾波器的公式，列出兩種傳遞函數(shù)的系數(shù)關(guān)系表，方便我們?cè)O(shè)計(jì)時(shí)查找。由于步驟c整理起來(lái)并不容易，因此有科82表6.4.1系數(shù)關(guān)系表表6.4.1系數(shù)關(guān)系表83第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)課件84

例6.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖6.4.4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。解:首先按照?qǐng)D6.4.4寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為例6.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法85利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖6.4.5(a),(b)所示。圖6.4.5例6.4.1圖——H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(a)H1(z);(b)H2(z)利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的86設(shè)α=1000，T=0.001和0.002，H1(z)和H2(z)的歸一化幅頻特性分別如圖6.4.6所示。比較H1(z)和H2(z)可以看到脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法的區(qū)別。設(shè)α=1000，T=0.001和0.87圖6.4.6例6.4.1圖——數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性圖6.4.6例6.4.1圖——數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z88

下面我們總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。

(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率ωp、通帶衰減αp、阻帶截止頻率ωs、阻帶衰減αs。(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。只有截止頻率變化，衰減不變。

如果采用脈沖響應(yīng)不變法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系下面我們總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)89(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。(4)由模擬濾波器Ha(s)用s與z的轉(zhuǎn)換公式，獲得數(shù)字濾波器H(z)。

例6.4.2設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2πrad時(shí)，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3π到π之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)90解(1)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB解91③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。先計(jì)算階數(shù)N及3dB截止頻率Ωc。③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。先計(jì)算階數(shù)N92取N=6。為求3dB截止頻率Ωc,將Ωp和αp代入(6.2.17)式，得到Ωc=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術(shù)要求，同時(shí)給阻帶衰減留一定余量，這對(duì)防止頻率混疊有一定好處。根據(jù)階數(shù)N=6，查表6.2.1，得到歸一化傳輸函數(shù)為為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到實(shí)際的傳輸函數(shù)Ha(s),取N=6。為求3dB截止頻率Ωc,93④用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)進(jìn)行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：它適合用并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。其幅頻特性如下圖所示。④用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z94圖6.4.7例6.4.2圖——用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性圖6.4.7例6.4.2圖——用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字95(2)用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為(2)用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波96③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計(jì)算如下：取N=6。為求Ωc,將Ωs和αs代入(6.2.18)式中，得到Ωc=0.7662rad/s。這樣阻帶技術(shù)指標(biāo)滿足要求，通帶指標(biāo)已經(jīng)超過(guò)。③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計(jì)算如下97根據(jù)N=6，查表6.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)，得實(shí)際的Ha(s)，④用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)：它的幅頻特性如下圖。根據(jù)N=6，查表6.2.1得到的歸98圖6.4.8例6.4.2圖——用雙線性變換法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性圖6.4.8例6.4.2圖——用雙線性變換法設(shè)計(jì)的數(shù)字低99用MATLAB來(lái)解決問(wèn)題：clear;closeall;wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;rp=1;rs=15;T=1;fp1=wp/T;fs1=ws/T;%脈沖法低通濾波器的指標(biāo)[n1,fc1]=buttord(fp1,fs1,rp,rs,'s');%求脈沖法階數(shù)和半功率點(diǎn)頻率[b1,a1]=butter(n1,fc1,'s');%求脈沖法模擬低通濾波器的系數(shù)[B1,A1]=impinvar(b1,a1,1/T);%求脈沖響應(yīng)不變法系數(shù)filt(B1,A1)%寫脈沖響應(yīng)不變法數(shù)字低通濾波器的公式[hf1,f1]=freqz(B1,A1);%求脈沖響應(yīng)不變法數(shù)字低通濾波器的頻譜fp2=2/T*tan(wp/2);fs2=2/T*tan(ws/2);%雙線法低通濾波器的指標(biāo)[n2,fc2]=buttord(fp2,fs2,rp,rs,'s');%求雙線法階數(shù)和半功率點(diǎn)頻率[b2,a2]=butter(n2,fc2,'s');%求雙線法模擬低通濾波器的系數(shù)[B2,A2]=bilinear(b2,a2,1/T);%求雙線性變換法系數(shù)filt(B2,A2)%寫雙線性變換法數(shù)字低通濾波器的公式[hf2,f2]=freqz(B2,A2);%求雙線性變換法數(shù)字低通濾波器的頻譜plot(f1/pi,abs(hf1),'r.-',f2/pi,abs(hf2));legend('impinvar','bilinear');axis([0,0.7,0,1]);xlabel('w/pi/rad');ylabel('|H(w)|');grid用MATLAB來(lái)解決問(wèn)題：100

6.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

在模擬濾波器的設(shè)計(jì)和脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器就容易多了。具體設(shè)計(jì)步驟如下：(1)確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。(2)將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成同類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為

6.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

101(3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)。(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。(5)將模擬低通通過(guò)頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。(6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需的數(shù)字濾波器。下面通過(guò)實(shí)例說(shuō)明設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的方法。(3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾102例6.5.1設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率ωp=0.8πrad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率ωs=0.44πrad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。解：(1)數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)為ωp=0.8πrad,αp=3dB;ωs=0.44πrad,αs=15dB(2)模擬高通的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：令T=1，則有Ωp=2tan(ωp/2)=6.155rad/s,Ωs=2tan(ωs/2)=1.655rad/s,例6.5.1設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止103

(3)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：將Ωp和Ωs對(duì)3dB截止頻率Ωc歸一化，這里Ωc=Ωp,(3)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如104(4)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器G(p)。模擬低通濾波器的階數(shù)N計(jì)算如下：

(4)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器G(p)。模擬低通濾105查表6.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為為去歸一化，將p=s/Ωc代入上式得到：(5)將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通。將上式中G(s)的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)：查表6.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為106(6)用雙線性變換法將模擬高通Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：實(shí)際上(5)、(6)兩步可合并成一步，即(6)用雙線性變換法將模擬高通Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字107用MATLAB解題：clear;closeall;wp=0.8;ws=0.44;rp=3;rs=15;[n,wc]=buttord(wp,ws,rp,rs)%求階數(shù)和半功率點(diǎn)頻率[B,A]=butter(n,wc,'high')%數(shù)字高通濾波器的系數(shù)filt(B,A)%寫雙線性變換法數(shù)字高通濾波器的公式[hf,f]=freqz(B,A);%算數(shù)字高通濾波器的頻譜plot(f/pi,abs(hf));xlabel('w/pi/rad');ylabel('|H(w)|');grid用MATLAB解題：108例6.5.2設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3πrad到0.4πrad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。解：(1)數(shù)字帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)為通帶截止頻率ωu=0.4πrad，ωl=0.3πrad阻帶截止頻率ωs2=0.5πrad，ωs1=0.2πrad通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶內(nèi)最小衰減αs=18dB。例6.5.2設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0109(2)模擬帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)如下：設(shè)T=1，則有(通帶中心頻率)(帶寬)(2)模擬帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)如下：(通帶110將以上邊界頻率對(duì)帶寬B歸一化，得到ηu=3.348,ηl=2.348;ηs2=4.608,ηs1=1.498;η0=2.804(3)模擬歸一化低通濾波器技術(shù)指標(biāo)：歸一化阻帶截止頻率歸一化通帶截止頻率λp=1αp=3dB,αs=18dB將以上邊界頻率對(duì)帶寬B歸一化，得到歸一化通帶截111(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：查表6.2.1，得到歸一化低通傳輸函數(shù)G(p),(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：查表6.2.1112(5)將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶通：(6)通過(guò)雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。也可以將(5)、(6)兩步合成一步計(jì)算。(5)將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶通：113用MATLAB解題：clear;closeall;wp=[0.3,0.4];ws=[0.2,0.5];rp=3;rs=18;[n,wc]=buttord(wp,ws,rp,rs)%求階數(shù)和半功率點(diǎn)頻率[B,A]=butter(n,wc)%數(shù)字帶通濾波器的系數(shù)filt(B,A)%寫雙線性變換法數(shù)字帶通濾波器的公式[hf,f]=freqz(B,A);%算數(shù)字帶通濾波器的頻譜plot(f/pi,abs(hf));xlabel('w/pi/rad');ylabel('|H(w)|');grid用MATLAB解題：114例6.5.3設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶阻濾波器，通帶下限頻率ωl=0.19π,阻帶下截止頻率ωs1=0.198π，阻帶上截止頻率ωs2=0.202π，通帶上限頻率ωu=0.21π，阻帶最小衰減αs=13dB，ωl和ωu處衰減αp=3dB。采用巴特沃斯型。解:(1)數(shù)字帶阻濾波器技術(shù)指標(biāo)：ωl=0.19πrad,ωu=0.21πrad,αp=3dB;ωs1=0.198πrad,ωs2=0.202πrad,αs=13dB例6.5.3設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶阻濾波器，通帶下限頻率ω115(2)模擬帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)：設(shè)T=1，則有Ωl=2tg(ωl/2)=0.615rad/s,

Ωu=2tg(ωu/2)=0.685rad/s,Ωs1=2tg(ωs1/2)=0.643rad/s,

Ωs2=2tg(ωs2/2)=0.657rad/s,阻帶中心頻率平方為Ω02=ΩlΩu=0.421阻帶帶寬為

B=Ωu-Ωl=0.07rad/s(2)模擬帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)：116將以上邊界頻率對(duì)B歸一化：ηl=8.786,ηu=9.786,ηs1=9.186,ηs2=9.386;η20=ηlηu=85.98(3)模擬歸一化低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：按照(6.2.48)式，有λp=1,αp=3dB將以上邊界頻率對(duì)B歸一化：117(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：查表得歸一化模擬低通濾波器：G(p)=1/(1+p),(5)將G(p)轉(zhuǎn)換成模擬阻帶濾波器Ha(s)：(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：118(6)將Ha(s)通過(guò)雙線性變換，得到數(shù)字帶阻濾波器H(z)。步驟(5)和(6)可以合成一步做，(6)將Ha(s)通過(guò)雙線性變換，得到數(shù)字帶阻濾波119用MATLAB解題：clear;closeall;wp=[0.19,0.21];ws=[0.198,0.202];rp=3;rs=13;[n,wc]=buttord(wp,ws,rp,rs)%求階數(shù)和半功率點(diǎn)頻率[B,A]=butter(n,wc,'stop')%數(shù)字帶阻濾波器的系數(shù)filt(B,A)%寫雙線性變換法數(shù)字帶阻濾波器的公式[hf,f]=freqz(B,A,500);%算數(shù)字帶阻濾波器的頻譜plot(f/pi,abs(hf));axis([0.16,0.26,0,1])xlabel('w/pi/rad');ylabel('|H(w)|');grid用MATLAB解題：1206.6IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法1.零極點(diǎn)累試法根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的幾何分析來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器稱為零極點(diǎn)累試法。其設(shè)計(jì)步驟是：根據(jù)幅頻特性選擇零極點(diǎn)位置，畫出幅頻特性，按技術(shù)指標(biāo)調(diào)整零極點(diǎn)，寫出達(dá)到要求的系統(tǒng)函數(shù)。選擇零極點(diǎn)位置要注意：(1)極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)才因果穩(wěn)定；(2)復(fù)數(shù)零極點(diǎn)必須共軛成對(duì)，系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)才是實(shí)數(shù)。6.6IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法1.零121例6.6.1設(shè)計(jì)帶通濾波器，通帶中心頻率為ω0=π/2，要求ω=0和π時(shí)幅度衰減到0。解：選擇極點(diǎn)p1,2=re±jπ/2,零點(diǎn)z1,2=±1。？從零極點(diǎn)圖可畫出幅頻特性。這樣的選擇是滿足要求的。？寫出它的系統(tǒng)函數(shù)（G怎么確定？）例6.6.1設(shè)計(jì)帶通濾波器，通帶中心頻率為ω0=π122圖6.6.1例6.6.1圖(a)零極點(diǎn)分布；(b)幅度特性圖6.6.1例6.6.1圖1232.在頻域利用幅度平方誤差最小法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器設(shè)IIR濾波器由K個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)而成，系統(tǒng)函數(shù)用H(z)表示，式中，A和ai,bi,ci,di是待定系數(shù)。待定系數(shù)的求法是：在數(shù)字域頻率ω區(qū)間[0，π]取N點(diǎn)ωi,i=1,2,…,N；以這N點(diǎn)頻率上希望設(shè)計(jì)的濾波器頻響|Hd(ejω)|和系統(tǒng)函數(shù)|H(ejω)|誤差最小為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行求解，就可以求出(4K+1)個(gè)待定系數(shù)。式中K越大濾波器的效果越好，但計(jì)算會(huì)越復(fù)雜。2.在頻域利用幅度平方誤差最小法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波124圖6.6.2例6.6.2圖(a)要求的幅度特性；(b)k=1，2時(shí)的幅度特性例6.6.2設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，其幅度特性如圖6.6.2(a)所示。截止頻率ωs=0.1πrad。圖6.6.2例6.6.2圖例6.6.2設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾125解考慮到通帶和過(guò)渡帶的重要，在0~0.2π區(qū)間，每隔0.01π取一點(diǎn)ωi值，在0.2π~π區(qū)間每隔0.1π取一點(diǎn)ωi值，并增加一點(diǎn)過(guò)渡帶，在ω=0.1π處|Hd(ejω)|=0.5。1.0,ω=0,0.01π,0.02π,…,0.09π0.5,ω=0.1π0.0,ω=0.11π,0.12π,…,0.19π0.0,ω=0.2π,0.3π,…,πN=29，取k=1，系統(tǒng)函數(shù)為解考慮到通帶和過(guò)渡帶的重要，在0~0.2π區(qū)間126待求的參數(shù)是A，a1,b1,c1,d1。設(shè)初始值θ=(0000.25)T經(jīng)過(guò)90次迭代，求得誤差E=1.2611，系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)位置為零點(diǎn)0.67834430±j0.73474418;極點(diǎn)0.75677793±j1.3213916為使濾波器因果穩(wěn)定，將極點(diǎn)按其倒數(shù)搬入單位圓內(nèi)，再進(jìn)行62次優(yōu)化迭代，求得結(jié)果為

零點(diǎn)0.82191163±j0.56961501;極點(diǎn)0.89176390±j0.19181084;A=0.11733978,E=0.56731待求的參數(shù)是A，a1,b1,c1,d1273.在時(shí)域直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器方法是讓設(shè)計(jì)的單位脈沖響應(yīng)h(n)充分逼近我們希望的IIR數(shù)字濾波器hd(n)。從h(n)的系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)與hd(n)的z變換入手，以它們的誤差最小為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行求解。3.在時(shí)域直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器128習(xí)題1的解法：clear;closeall;fp=6000;fs=12000;rp=3;rs=25;[n,fc]=buttord(fp,fs,rp,rs,'s')%求階數(shù)和半功率點(diǎn)頻率[b,a]=butter(n,1,'s');%求系統(tǒng)函數(shù)的分子分母系數(shù)printsys(b,a,'p')[b1,a1]=butter(n,fc*2*pi,'s');%求系統(tǒng)函數(shù)的分子分母系數(shù)printsys(b1,a1)[hf,f]=freqs(b1,a1);%求系統(tǒng)函數(shù)的頻譜plot(f/2/pi,abs(hf));xlabel('f/Hz');ylabel('|H(f)|');axis([0,1.2e4,0,1.2]);grid;shg習(xí)題1的解法：129習(xí)題2的解法：clear;closeall;fp=3e3;fs=12e3;rp=0.2;rs=50;[n,fc]=cheb1ord(fp,fs,rp,rs,'s')%求階數(shù)和通帶頻率[b1,a1]=cheby1(n,rp,1,'s');%求歸一化系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)[b,a]=cheby1(n,rp,fp*2*pi,'s');%求系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)printsys(b1,a1,'p')%寫歸一化切比雪夫系統(tǒng)函數(shù)printsys(b,a)%寫切比雪夫低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)[hf,f]=freqs(b,a);%求系統(tǒng)函數(shù)的頻譜[n2,fc2]=buttord(fp,fs,rp,rs,'s')[b2,a2]=butter(n2,fc2,'s');[hf2,f2]=freqs(b2,a2);plot(f/2/pi,abs(hf),f2,abs(hf2));xlabel('f/Hz');ylabel('|H(f)|');axis([0,12e3,0,1]);grid習(xí)題2的解法：130第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)131

6.1數(shù)字濾波器的基本概念

數(shù)字濾波器指用運(yùn)算的方法改變數(shù)字信號(hào)的頻率分量的相對(duì)比例的器件。與模擬濾波器相比，數(shù)字濾波器的精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配？等優(yōu)點(diǎn)。1.數(shù)字濾波器的分類從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者單位脈沖響應(yīng)分類：無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器

6.1數(shù)字濾波器的基本概念

數(shù)132從功能上來(lái)分類：低通濾波器高通濾波器帶通濾波器帶阻濾波器從功能上來(lái)分類：133

2數(shù)字濾波器的技術(shù)要求假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)用下式表示：選頻濾波器的技術(shù)指標(biāo)只要求幅頻特性。線性相位濾波器的技術(shù)指標(biāo)則兩樣都要求。圖6.1.2低通濾波器的技術(shù)要求2數(shù)字濾波器的技術(shù)要求圖6.1.2低通濾波器的技術(shù)134通帶和阻帶內(nèi)都允許有衰減誤差。允許的衰減用dB數(shù)表示。通帶內(nèi)允許的最大衰減用αp表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用αs表示。αp和αs分別定義為：(6.1.3)(6.1.4)如將|H(ej0)|歸一化為1，(6.1.3)和(6.1.4)式則表示成：(6.1.5)(6.1.6)通帶和阻帶內(nèi)都允許有衰減誤差。允許的1353.數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法IIR濾波器設(shè)計(jì)方法是：從模擬濾波器變到數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，直接在離散頻域或時(shí)域中設(shè)計(jì)。FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法是：窗函數(shù)法，頻率采樣法。3.數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法136

6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Ellipse)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。設(shè)計(jì)模擬濾波器是先設(shè)計(jì)低通濾波器，再把低通濾波器變換為希望的濾波器。

6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

模擬137第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)課件138第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)課件139以上技術(shù)指標(biāo)用低通濾波器的幅度特性圖表示。圖中Ωc稱為3dB截止頻率？以上技術(shù)指標(biāo)用低通濾波器的幅度特性圖表示。圖中Ωc稱140模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法是：（1）根據(jù)濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)傳輸函數(shù)Ha(s)的幅度平方函數(shù)，它與系統(tǒng)函數(shù)有關(guān)系上式的關(guān)系從Ha(s)的因式相乘表達(dá)式推出。（2）根據(jù)幅度平方函數(shù)和系統(tǒng)的極點(diǎn)應(yīng)該在s的左半平面，求出傳遞函數(shù)。模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法是：1412.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)用下式和圖表示。想一想階數(shù)N與幅頻特性下降坡度的關(guān)系？2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法142為了求出幅度平方函數(shù)，將|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：此幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)它們均勻的分布在半徑為Ωc的圓上，間隔是π/N弧度。

為了求出幅度平方函數(shù)，將|Ha(jΩ143例如N=3的三階巴特沃斯濾波器，為形成穩(wěn)定的濾波器，在6個(gè)極點(diǎn)中取s平面左半平面的3個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的3個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。三階巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)分布如下：例如N=3的三階巴特沃斯濾波器，為形成穩(wěn)定的144第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)課件145第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)課件146式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：這樣設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器的步驟是：a.根據(jù)技術(shù)指標(biāo)確定階數(shù)N，b.求出歸一化極點(diǎn)pk，c.求出歸一化傳遞函數(shù)Ha(p)，d.用Ωc去歸一化到實(shí)際傳遞函數(shù)Ha(s)。式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：147從技術(shù)指標(biāo)推出N和Ωc：用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)？。當(dāng)阻帶指標(biāo)有富裕當(dāng)通帶指標(biāo)有富裕從技術(shù)指標(biāo)推出N和Ωc：148如果將極點(diǎn)代入傳遞函數(shù)的因式分解式，可以得到的Ha(p)的多項(xiàng)式表達(dá)式。早有科學(xué)家把兩種傳遞函數(shù)形式的系數(shù)列成表格，供我們?cè)O(shè)計(jì)時(shí)查找。參閱書(shū)上157~158頁(yè)。如果將極點(diǎn)代入傳遞函數(shù)的因式分解式，149歸納起來(lái)，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp、αp、Ωs和αs，求出濾波器的階數(shù)N。(2)計(jì)算或者查表求出歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。(3)用p=s/Ωc代入Ha(p)，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。歸納起來(lái)，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟150表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)151第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)課件152第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)課件153例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB。請(qǐng)按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解：(1)確定階數(shù)N?！摺嗬?.2.1已知通帶截止頻率fp154(2)有兩種方法。法一：按照(6.2.12)式計(jì)算出極點(diǎn)帶入(6.2.11)式，得到歸一化傳輸函數(shù)(2)有兩種方法。帶入(6.2.11)式，得到歸155

法二：直接查表6.2.1的N=5，得到三種結(jié)果：極點(diǎn)是-0.3090±j0.9511，-0.8090±j0.5878，-1.0000。系統(tǒng)函數(shù)的多項(xiàng)式形式系統(tǒng)函數(shù)的因式分解形式法二：直接查表6.2.1的N=5，得到三種結(jié)果：156(3)Ha(p)去歸一化。先求3dB截止頻率Ωc。如果希望阻帶指標(biāo)有富裕，則

將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：(3)Ha(p)去歸一化。先求3dB截止頻率Ωc。157用MATLAB來(lái)設(shè)計(jì)該題，通帶指標(biāo)有富裕。clear;closeall;fp=5000;fs=12000;rp=2;rs=30;[n,fc]=buttord(fp,fs,rp,rs,'s');%求階數(shù)和半功率點(diǎn)頻率[b,a]=butter(n,fc,'s');%求系統(tǒng)函數(shù)的分子分母系數(shù)[hf,f]=freqs(b,a);%求系統(tǒng)函數(shù)的頻譜plot(f,abs(hf));xlabel('f/Hz');ylabel('|H(f)|');axis([0,1.2e4,0,1.2]);gridshg用MATLAB來(lái)設(shè)計(jì)該題，通帶指標(biāo)有富裕。1583.切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法圖6.2.5分別畫出階數(shù)N=3和N=4的切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性。

圖6.2.5切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性3.切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法圖6.2.5切比159其幅度平方函數(shù)用A2(Ω)表示：式中，ε為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度。ε愈大，波動(dòng)幅度也愈大。Ωp稱為通帶截止頻率。令λ=Ω/Ωp，稱為對(duì)Ωp的歸一化頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為其幅度平方函數(shù)用A2(Ω)表示：160圖6.2.6示出了階數(shù)N=0,4,5時(shí)的切比雪夫多項(xiàng)式特性。由圖可見(jiàn)：(1)切比雪夫多項(xiàng)式的過(guò)零點(diǎn)在|x|≤1的范圍內(nèi)；(2)當(dāng)|x|<1時(shí)，|CN(x)|≤1,在|x|<1范圍內(nèi)具有等波紋性；(3)當(dāng)|x|>1時(shí)，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。圖6.2.6示出了階數(shù)N=0,4,5時(shí)的切比雪夫多161圖6.2.6N=0,4,5切比雪夫多項(xiàng)式曲線圖6.2.6N=0,4,5切比雪夫多項(xiàng)式曲線162平方幅度函數(shù)與三個(gè)參數(shù)ε、Ωp和N有關(guān)。其中ε與通帶內(nèi)允許的波動(dòng)大小有關(guān)，定義允許的通帶波紋δ用下式表示：因此平方幅度函數(shù)與三個(gè)參數(shù)ε、Ωp和N163圖6.2.7切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的A2(Ω)曲線圖6.2.7切比雪夫Ⅰ型與巴特