復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上動(dòng)力系統(tǒng)同步的研究進(jìn)展課件

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的

一般方法論中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代物理系周濤

zhutou@復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的

一般方法論中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代物理系1復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)問題復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)，是指發(fā)生在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)過程，例如傳播與渝滲、交通流與信息流、級(jí)聯(lián)問題、網(wǎng)絡(luò)同步、自旋動(dòng)力學(xué)等。而網(wǎng)絡(luò)自身結(jié)構(gòu)隨著時(shí)間變化的過程有時(shí)候也被稱作網(wǎng)絡(luò)的演化動(dòng)力學(xué)，它與本報(bào)告所指的網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)隸屬不同范疇。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)問題復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)，是指發(fā)生在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上2將動(dòng)力學(xué)問題推廣到網(wǎng)絡(luò)上，或者從隨機(jī)或規(guī)則網(wǎng)絡(luò)推廣到一般網(wǎng)絡(luò)上討論動(dòng)力學(xué)在不同網(wǎng)絡(luò)類上的差別（開始多以定性為主），以及最重要的拓?fù)淞浚ㄆ骄嚯x，度分布特征）對動(dòng)力學(xué)的影響（相變點(diǎn)，臨界指數(shù)等的定量計(jì)算）更細(xì)致的拓?fù)淞?如簇系數(shù),相關(guān)性,群落結(jié)構(gòu),權(quán)重分布對動(dòng)力學(xué)的影響。因理論興趣或具體應(yīng)用背景而改變動(dòng)力學(xué)規(guī)則或設(shè)計(jì)特別的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境考慮如何增強(qiáng)或減弱某種動(dòng)力學(xué)的特征，如同步能力交通能力等。研究局域動(dòng)力學(xué)，以及網(wǎng)絡(luò)中地位不同的節(jié)點(diǎn)不同的局域動(dòng)力學(xué)性質(zhì)針對具體的工程問題設(shè)計(jì)相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)，關(guān)注網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響動(dòng)力學(xué)的魯棒性問題主要指網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化對相應(yīng)動(dòng)力學(xué)的影響。網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的運(yùn)籌與優(yōu)化問題，采用優(yōu)化算法提高某種動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。將動(dòng)力學(xué)問題推廣到網(wǎng)絡(luò)上，或者從隨機(jī)或規(guī)則網(wǎng)絡(luò)推廣到一般網(wǎng)絡(luò)3將動(dòng)力學(xué)問題推廣到網(wǎng)絡(luò)上，或者從隨機(jī)或規(guī)則網(wǎng)絡(luò)推廣到一般網(wǎng)絡(luò)上

將動(dòng)力學(xué)問題推廣到網(wǎng)絡(luò)上，或者從隨機(jī)或規(guī)則網(wǎng)絡(luò)推廣到一般網(wǎng)絡(luò)4同步的例子惠更斯鐘擺，青蛙齊鳴，螢火蟲的同步發(fā)光，心肌細(xì)胞和大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步，劇場中觀眾鼓掌頻率的逐漸同步；兩個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的耦合同步；規(guī)則網(wǎng)絡(luò)（完全連通網(wǎng)絡(luò)）上的動(dòng)力學(xué)同步目前最前沿和系統(tǒng)的專著：鄭志剛，耦合非線性系統(tǒng)的時(shí)空動(dòng)力學(xué)與合作行為，北京，高等教育出版社

同步的例子惠更斯鐘擺，青蛙齊鳴，螢火蟲的同步5同步on小世界網(wǎng)絡(luò)GadePMandHuC-K．Phys．Rev．E2000，62(5)：6409-6413．

同步on小世界網(wǎng)絡(luò)GadePMandHuC-K6同步on小世界網(wǎng)絡(luò)BarahonaMandPecoraLM．Phys．Rev．Lett．2002，89(5)：054101(4)．

同步on小世界網(wǎng)絡(luò)BarahonaMandPeco7同步on無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)WangXFandChenG．IEEETrans．CircuitsSyst．I．2002，49(1)：54-62．同步on無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)WangXFandChen8傳播的例子經(jīng)典傳播模型，對象如流行病、計(jì)算機(jī)病毒、謠言、恐慌情緒等。模型如SIR（腮腺炎，艾滋?。?，SIS（感冒），SI（SARS傳播早期）等方法：微分方程網(wǎng)絡(luò)觀點(diǎn)：完全圖H.W.Hethcote,SIAMReview,42,599(2000).

傳播的例子經(jīng)典傳播模型，對象如流行病、計(jì)算機(jī)9SIRonGeneralNetworks最早提出應(yīng)該討論網(wǎng)絡(luò)上的SIR問題，并證明該問題與鍵渝滲等價(jià)【P.Grassberger,Math.Biosci.,63,157(1983)】SIR在小世界網(wǎng)絡(luò)上【C.MooreandM.E.J.Newman,Phys.Rev.E,61,5678(2000)】SIR在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上【Y.Moreno,J.B.GomezandA.F.Pacheco,Phys.Rev.E,68,035103(2003)】SIRonGeneralNetworks最早提出應(yīng)該討10

SIS/SIonGeneralNetworks利用平均場理論得到一般網(wǎng)絡(luò)上SIS過程的臨界傳播強(qiáng)度，將其應(yīng)用于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，解決了困惑已久的問題【R.Pastor-SatorrasandA.Vespignani,Phys.Rev,Lett.,86,3200(2001)；Phys.Rev.E,63,066117(2001)】SI模型在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)特性【M.Barthelemy,A.Barrat,R.Pastor-SatorrasandA.Vespignani,Phys.Rev.Lett,92,178701(2004)】

SIS/SIonGeneralNetworks利用平11Sandpileonscale-freenetworks

——節(jié)點(diǎn)異質(zhì)K.-I.Goh,etal,Phys.Rev.Lett.91,148701(2003)Sandpileonscale-freenetwor12Sandpileonscale-freenetworks

——節(jié)點(diǎn)同質(zhì)T.ZhouandB.-H.Wang,Chin.Phys.Lett.22,1072(2005)Sandpileonscale-freenetwor13其他例子交通動(dòng)力學(xué)【L.Zhao,etal,Phys.Rev.E

71,026125(2005);T.Zhou,etal,toappearinDynamicsofContinuous,DiscreteandImpulsiveSystems

B】布爾動(dòng)力學(xué)【T.Zhou,etal,Phys.Rev.E72,046139(2005)】博弈問題【M.A.Nowak,Nature428,646(2004)】其他例子交通動(dòng)力學(xué)【L.Zhao,etal14研究最重要的拓?fù)涮卣髁繉?dòng)力學(xué)的影響——相變點(diǎn)位置，臨界指數(shù)計(jì)算，有限尺度效應(yīng)

研究最重要的拓?fù)涮卣髁繉?dòng)力學(xué)的影響——相變點(diǎn)位置，臨界指數(shù)15同步：小世界網(wǎng)絡(luò)中

重連概率的影響HongH，ChoiMY，andKimBJ．Phys．Rev．E2002，65(2)：026139

同步：小世界網(wǎng)絡(luò)中

重連概率的影響HongH，ChoiM16同步：無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布指數(shù)

對同步能力的影響T.Nishikawa,etal．Phys.Rev.Lett.91,014101(2003)

同步：無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布指數(shù)

對同步能力的影響T.Nishi17同步：平均距離與度分布方差對網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響M.Zhao,T.Zhou,B.-H.Wang,arXiv:cond-mat/0510332

同步：平均距離與度分布方差對網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響M.Zhao18布爾動(dòng)力學(xué)：度分布方差越大系統(tǒng)總收益越小T.Zhou,etal,Phys.Rev.E72,046139(2005)布爾動(dòng)力學(xué)：度分布方差越大系統(tǒng)總收益越小T.Zhou,19有限尺度效應(yīng)有限大的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)存在正的傳播強(qiáng)度臨界值【R.M.Mayetal,Phys.Rev.E,64,066112(2001)

；R.Pastor-Satorrasetal,Phys.Rev.E,65,035108(2002)】利用有限尺度效應(yīng)求小世界網(wǎng)絡(luò)同步的耦合強(qiáng)度臨界值【H.Hong,Phys.Rev.E65,026139(2002)】有限尺度效應(yīng)有限大的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)存在正的傳播強(qiáng)度臨界值【R.20更細(xì)致的拓?fù)淞?如簇系數(shù),相關(guān)性,群落結(jié)構(gòu),權(quán)重分布對動(dòng)力學(xué)的影響。

更細(xì)致的拓?fù)淞?如簇系數(shù),相關(guān)性,群落結(jié)構(gòu),權(quán)重分布對動(dòng)力學(xué)21同步：網(wǎng)絡(luò)同步能力的上下界這個(gè)上下界是平凡而稀疏的，有興趣的研究者可以考慮更好的Bounds，或者在某種約束下的BoundsT.Nishikawa,etal．Phys.Rev.Lett.91,014101(2003)

同步：網(wǎng)絡(luò)同步能力的上下界T.Nishikawa,et22同步：最大介數(shù)扮演的角色認(rèn)為可以用最大介數(shù)刻畫網(wǎng)絡(luò)同步能力，或者至少是最恰當(dāng)?shù)牧俊綡.Hongetal,Phys.Rev.E69,067105(2004)】認(rèn)為最大介數(shù)能夠在很大程度上表征網(wǎng)絡(luò)的同步能力【T.Nishikawa,etal．Phys.Rev.Lett.91,014101(2003)】認(rèn)為最大介數(shù)只能在某些特定網(wǎng)絡(luò)中反映網(wǎng)絡(luò)同步能力【M.Zhao,T.Zhou,B.-H.Wang,arXiv:cond-mat/0510332】同步：最大介數(shù)扮演的角色認(rèn)為可以用最大介數(shù)刻畫網(wǎng)絡(luò)同步能力，23傳播：相關(guān)性的影響對于關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，Boguna和Pastor-Satorras給出了SIS模型傳播的臨界值為1/Rmax,其中Rmax為鄰接矩陣的最大特征值。Boguna等人進(jìn)一步證明了當(dāng)度分布二階矩發(fā)散時(shí)，Rmax趨于無窮，亦即在無尺度網(wǎng)絡(luò)中，不管是關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)還是非關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，都不存在正的臨界值。Moreno等人分析了關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)上的SIR模型，也得到了類似的結(jié)論。M.Boguna,etal,Phys.Rev.E,66,047104(2002).M.Boguna,etal,Phys.Rev.Lett.,90,028701(2003)Y.Moreno,etal,Phys.Rev.E,68,035103(2003).

傳播：相關(guān)性的影響對于關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，Boguna和Pastor-24傳播：集聚系數(shù)的影響T.Zhou,G.YanandB.–H.Wang,Phys.Rev.E71,046141(2005)傳播：集聚系數(shù)的影響T.Zhou,G.Yanand25其他例子集聚系數(shù)增大不利于網(wǎng)絡(luò)同步【M.Zhao,T.Zhou,B.-H.Wang,arXiv:cond-mat/0510332；X.Wu,B.–H.Wang,T.Zhou,etal,Preprint】網(wǎng)絡(luò)在一定的相關(guān)性區(qū)間內(nèi)比較容易同步【陳關(guān)榮，10月會(huì)議報(bào)告】群落結(jié)構(gòu)會(huì)影響傳播行為【劉宗華，10月會(huì)議報(bào)告】群落結(jié)構(gòu)會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)同步【Y.-C.Lai，10月會(huì)議報(bào)告】權(quán)重的非均勻分布會(huì)使得網(wǎng)絡(luò)傳播變慢【G.Yan,T.Zhou,etal,Chin.Phys.Lett.22,510(2005)】其他例子集聚系數(shù)增大不利于網(wǎng)絡(luò)同步【M.Zhao,T.26因理論興趣或具體應(yīng)用背景而改變動(dòng)力學(xué)規(guī)則或設(shè)計(jì)特別的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境因理論興趣或具體應(yīng)用背景而改變動(dòng)力學(xué)規(guī)則或設(shè)計(jì)特別的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境27傳播：如果可以屠殺Hayashi等人考慮了線性增長的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，發(fā)現(xiàn)如果想要控制疾病流行，就必須控制種群數(shù)量的增長。這個(gè)結(jié)果對于控制類似于禽流感、口蹄疫等動(dòng)物疾病有明顯的指導(dǎo)意義。Y.Hayashi,arXiv:cond-mat/0307135.Y.Hayashi,etal,Phys.Rev.E,69,016112(2004).傳播：如果可以屠殺Hayashi等人考慮了線性增長的無標(biāo)度網(wǎng)28為了討論同步專門采用的傳播模型Kuperman和Abramson研究了WS網(wǎng)絡(luò)上的SIRS模型，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)斷鍵重連概率很小(p=0.01)的時(shí)候，疾病可以在網(wǎng)絡(luò)中長期存在，但患病比率很小切波動(dòng)不大，可以近似地看作收斂到一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；而當(dāng)斷鍵重連概率很大(p=0.9)的時(shí)候，患病人數(shù)會(huì)出現(xiàn)周期性的波動(dòng)。他們進(jìn)一步研究了WS網(wǎng)絡(luò)上傳播行為的同步效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)了隨著的增長，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)從非同步相到同步相的相變。M.KupermanandG.Abramson,Phys.Rev.Lett.,86,2909(2001).

為了討論同步專門采用的傳播模型Kuperman和Abrams29利用HH神經(jīng)動(dòng)力學(xué)方程討論小世界網(wǎng)絡(luò)的快速響應(yīng)和相干振蕩L.F.Lago-Fernández,etal,Phys.Rev.Lett.84,2758(2000)利用HH神經(jīng)動(dòng)力學(xué)方程討論小世界網(wǎng)絡(luò)的快速響應(yīng)和相干振蕩L.30考慮如何增強(qiáng)或減弱某種動(dòng)力學(xué)的特征，如同步能力交通能力等?？紤]如何增強(qiáng)或減弱某種動(dòng)力學(xué)的特征，如同步能力交通能力等。31在GlobalRouting框架下如何提高無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的交通能力G.Yan,T.Zhou,etal,arXiv:cond-mat/0505366在GlobalRouting框架下如何提高無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的交通32在LocalRouting框架下如何提高無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的交通能力C.Y.Yin,B.H.Wang,W.X.Wang,T.Zhou,H.J.YangPhys.Lett.A(InPress)(arXiv:physics/0506204)在LocalRouting框架下如何提高無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的交通能33能否通過接種疫苗控制傳染?。渴熳R(shí)者免疫的策略——從空白處挖掘信息【R.Cohen,S.HavlinandD.ben-Avraham,Phys.Rev.Lett.,91,247901(2003).】目標(biāo)免疫——效果雖好要求過高【Pastor-SatorrasRetal,Phys.Rev.E

65,036104(2002)】比例優(yōu)先免疫【Z.Dezs?andA-L.Barabási,Phys.Rev.E,65,055103(2002).】能否通過接種疫苗控制傳染??？熟識(shí)者免疫的策略——從空白處挖掘34控制級(jí)聯(lián)——從邊緣節(jié)點(diǎn)入手A.E.Motter,Phys.Rev.Lett.93,098701(2004)控制級(jí)聯(lián)——從邊緣節(jié)點(diǎn)入手A.E.Motter,Ph35控制級(jí)聯(lián)——從中心節(jié)點(diǎn)入手T.ZhouandB.-H.Wang,Chin.Phys.Lett.22,1072(2005)控制級(jí)聯(lián)——從中心節(jié)點(diǎn)入手T.ZhouandB.-36通過調(diào)節(jié)耦合強(qiáng)度提高網(wǎng)絡(luò)同步能力——同步與交通的內(nèi)在聯(lián)系E.Motteretal．Phys．Rev．E71,016116(2005)SeealsoM.Chavezetal,Phys.Rev.Lett.94,218701(2005)

通過調(diào)節(jié)耦合強(qiáng)度提高網(wǎng)絡(luò)同步能力——同步與交通的內(nèi)在聯(lián)系E.37通過結(jié)構(gòu)微擾提高網(wǎng)絡(luò)的同步能力M.Zhao,T.Zhou,B.H.Wang,andW.X.Wang,Phys.Rev.E72,057102(2005)通過結(jié)構(gòu)微擾提高網(wǎng)絡(luò)的同步能力M.Zhao,T.Zho38研究局域動(dòng)力學(xué)，以及網(wǎng)絡(luò)中地位不同的節(jié)點(diǎn)不同的局域動(dòng)力學(xué)性質(zhì)研究局域動(dòng)力學(xué)，以及網(wǎng)絡(luò)中地位不同的節(jié)點(diǎn)不同的局域動(dòng)力學(xué)性質(zhì)39例子雖少，前景看好高集聚性的網(wǎng)絡(luò)局部同步能力很好，但全局同步能力較差【P.N.McGrawandM.Menzinger,Phys.Rev.E72015101(2005)】Motif-Modular-Network的多級(jí)結(jié)構(gòu)可以顯著的改變網(wǎng)絡(luò)的局域動(dòng)力學(xué)性質(zhì)【本研究小組的觀察事實(shí)，尚未成文】例子雖少，前景看好高集聚性的網(wǎng)絡(luò)局部同步能力很好，但全局同步40動(dòng)力學(xué)的魯棒性問題主要指網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化對相應(yīng)動(dòng)力學(xué)的影響。

動(dòng)力學(xué)的魯棒性問題主要指網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化對相應(yīng)動(dòng)力學(xué)的影響。41無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的同步魯棒性WangXFandChenG．IEEETrans．CircuitsSyst．I．2002，49(1)：54-62．無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的同步魯棒性WangXFandChenG42網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的運(yùn)籌與優(yōu)化問題，采用優(yōu)化算法提高某種動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。

網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的運(yùn)籌與優(yōu)化問題，采用優(yōu)化算法提高某種動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。43通過優(yōu)化度分布熵改變

網(wǎng)絡(luò)的魯棒性B.Wang,H.W.Tang,C.H.Guo,Z.L.Xiu,PhysicaADoi:10.1016/j.physa.2005.08.025通過優(yōu)化度分布熵改變

網(wǎng)絡(luò)的魯棒性B.Wang,H.W44利用爬山算法優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)效率，

保持平均度不變比較優(yōu)化的網(wǎng)絡(luò)具有少量的中心節(jié)點(diǎn)和整體的類星結(jié)構(gòu)；大的簇系數(shù)模塊化程度高B.Wang,H.–W.Tang,Z.–L.Xiu,C.–H.Guo,andT.Zhou,arXiv:cond-mat/0509711利用爬山算法優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)效率，

保持平均度不變B.Wang,45在平均度一定的情況下優(yōu)化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的魯棒性J.G.Liu,etal,Mod.Phys.Lett.B19,785(2005)在平均度一定的情況下優(yōu)化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的魯棒性J.G.Liu46利用全局尋優(yōu)算法優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)同步能力，保持各節(jié)點(diǎn)度不變比較優(yōu)化的網(wǎng)絡(luò)具有負(fù)相關(guān)性；小的集聚系數(shù)；低的模塊化程度；較少的低階環(huán)；B.Wang,H.–W.Tang,T.Zhou,andZ.–L.Xiu,Preprint利用全局尋優(yōu)算法優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)同步能力，保持各節(jié)點(diǎn)度不變比較優(yōu)化的47無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)攻擊下的魯棒性優(yōu)化，保持平均度不變J.G.Liu,etal,Mod.Phys.Lett.B(InPress)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)攻擊下的魯棒性優(yōu)化，保持平均度不變J.G.48針對具體的工程問題設(shè)計(jì)相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)，關(guān)注網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響針對具體的工程問題設(shè)計(jì)相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)，關(guān)注網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響49電力系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)故障

——一個(gè)典型的例子最優(yōu)潮流方法模型【CarrerasBA,etal.Chaos,12,985(2002);ibid14,643(2004)】點(diǎn)超載的級(jí)聯(lián)故障模型【AlbertR,etal.Phys.Rev.E,69,025103(2004)】電力網(wǎng)絡(luò)的演化模型【ChassinDPandPosseC.PhysicaA,355,667(2005).】其他例子還有無線傳感網(wǎng)絡(luò)的路由策略，以及牽涉到TCP/IP協(xié)議，包括IPv6的網(wǎng)絡(luò)交通動(dòng)力學(xué)問題電力系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)故障

50…………51結(jié)束語MarkNewman在其綜述中指出：“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究最重要的目標(biāo)之一就是揭示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對動(dòng)力學(xué)的影響”。這種研究的應(yīng)用價(jià)值也是明顯的，因?yàn)槲覀兛梢酝ㄟ^這種研究找到改變網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)從而改變其上動(dòng)力學(xué)行為的方法。M.E.J.Newman,SIAMReview45,167(2003)結(jié)束語MarkNewman在其綜述中指出：“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究52結(jié)束語討論網(wǎng)絡(luò)靜態(tài)結(jié)構(gòu)對其上動(dòng)力學(xué)的影響，只是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)研究的第一步，用Newman的話說叫做零階近似。進(jìn)一步應(yīng)該研究網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和其上動(dòng)力學(xué)的相互影響相互作用。朱陳平等,Phys.Rev.Lett.92,218702(2004)王文旭等,Phys.Rev.Lett.94,188702(2005)結(jié)束語討論網(wǎng)絡(luò)靜態(tài)結(jié)構(gòu)對其上動(dòng)力學(xué)的影響，只是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)53王婆賣瓜周濤，柏文潔，汪秉宏，劉之景，嚴(yán)鋼，”復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究概論”，物理,34,31-36,2005周濤，傅忠謙，牛永偉，王達(dá)，曾燕，汪秉宏，周佩玲，”復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳播動(dòng)力學(xué)研究綜述”,自然科學(xué)進(jìn)展，15(5)，513-518，2005汪秉宏，周濤，何大韌，”統(tǒng)計(jì)物理學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)研究最新發(fā)展趨勢分析”，中國基礎(chǔ)科學(xué)，2005（3）：37-43趙明，汪秉宏，蔣品群，周濤，“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上動(dòng)力系統(tǒng)同步的研究進(jìn)展”，物理學(xué)進(jìn)展，25，273-295(2005)柏文潔，汪秉宏，周濤，“從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的觀點(diǎn)看大停電事故”，復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)T.Zhou,Z.–Q.Fu,andB.–H.Wang,“EpidemicDynamicsonComplexNetworks”,Prog.Natl.Sci.(arXiv:physics/0508096)王婆賣瓜周濤，柏文潔，汪秉宏，劉之景，嚴(yán)鋼，”復(fù)54謝謝謝謝55復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的

一般方法論中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代物理系周濤

zhutou@復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的

一般方法論中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代物理系56復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)問題復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)，是指發(fā)生在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)過程，例如傳播與渝滲、交通流與信息流、級(jí)聯(lián)問題、網(wǎng)絡(luò)同步、自旋動(dòng)力學(xué)等。而網(wǎng)絡(luò)自身結(jié)構(gòu)隨著時(shí)間變化的過程有時(shí)候也被稱作網(wǎng)絡(luò)的演化動(dòng)力學(xué)，它與本報(bào)告所指的網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)隸屬不同范疇。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)問題復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)，是指發(fā)生在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上57將動(dòng)力學(xué)問題推廣到網(wǎng)絡(luò)上，或者從隨機(jī)或規(guī)則網(wǎng)絡(luò)推廣到一般網(wǎng)絡(luò)上討論動(dòng)力學(xué)在不同網(wǎng)絡(luò)類上的差別（開始多以定性為主），以及最重要的拓?fù)淞浚ㄆ骄嚯x，度分布特征）對動(dòng)力學(xué)的影響（相變點(diǎn)，臨界指數(shù)等的定量計(jì)算）更細(xì)致的拓?fù)淞?如簇系數(shù),相關(guān)性,群落結(jié)構(gòu),權(quán)重分布對動(dòng)力學(xué)的影響。因理論興趣或具體應(yīng)用背景而改變動(dòng)力學(xué)規(guī)則或設(shè)計(jì)特別的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境考慮如何增強(qiáng)或減弱某種動(dòng)力學(xué)的特征，如同步能力交通能力等。研究局域動(dòng)力學(xué)，以及網(wǎng)絡(luò)中地位不同的節(jié)點(diǎn)不同的局域動(dòng)力學(xué)性質(zhì)針對具體的工程問題設(shè)計(jì)相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)，關(guān)注網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響動(dòng)力學(xué)的魯棒性問題主要指網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化對相應(yīng)動(dòng)力學(xué)的影響。網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的運(yùn)籌與優(yōu)化問題，采用優(yōu)化算法提高某種動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。將動(dòng)力學(xué)問題推廣到網(wǎng)絡(luò)上，或者從隨機(jī)或規(guī)則網(wǎng)絡(luò)推廣到一般網(wǎng)絡(luò)58將動(dòng)力學(xué)問題推廣到網(wǎng)絡(luò)上，或者從隨機(jī)或規(guī)則網(wǎng)絡(luò)推廣到一般網(wǎng)絡(luò)上

將動(dòng)力學(xué)問題推廣到網(wǎng)絡(luò)上，或者從隨機(jī)或規(guī)則網(wǎng)絡(luò)推廣到一般網(wǎng)絡(luò)59同步的例子惠更斯鐘擺，青蛙齊鳴，螢火蟲的同步發(fā)光，心肌細(xì)胞和大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步，劇場中觀眾鼓掌頻率的逐漸同步；兩個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的耦合同步；規(guī)則網(wǎng)絡(luò)（完全連通網(wǎng)絡(luò)）上的動(dòng)力學(xué)同步目前最前沿和系統(tǒng)的專著：鄭志剛，耦合非線性系統(tǒng)的時(shí)空動(dòng)力學(xué)與合作行為，北京，高等教育出版社

同步的例子惠更斯鐘擺，青蛙齊鳴，螢火蟲的同步60同步on小世界網(wǎng)絡(luò)GadePMandHuC-K．Phys．Rev．E2000，62(5)：6409-6413．

同步on小世界網(wǎng)絡(luò)GadePMandHuC-K61同步on小世界網(wǎng)絡(luò)BarahonaMandPecoraLM．Phys．Rev．Lett．2002，89(5)：054101(4)．

同步on小世界網(wǎng)絡(luò)BarahonaMandPeco62同步on無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)WangXFandChenG．IEEETrans．CircuitsSyst．I．2002，49(1)：54-62．同步on無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)WangXFandChen63傳播的例子經(jīng)典傳播模型，對象如流行病、計(jì)算機(jī)病毒、謠言、恐慌情緒等。模型如SIR（腮腺炎，艾滋?。?，SIS（感冒），SI（SARS傳播早期）等方法：微分方程網(wǎng)絡(luò)觀點(diǎn)：完全圖H.W.Hethcote,SIAMReview,42,599(2000).

傳播的例子經(jīng)典傳播模型，對象如流行病、計(jì)算機(jī)64SIRonGeneralNetworks最早提出應(yīng)該討論網(wǎng)絡(luò)上的SIR問題，并證明該問題與鍵渝滲等價(jià)【P.Grassberger,Math.Biosci.,63,157(1983)】SIR在小世界網(wǎng)絡(luò)上【C.MooreandM.E.J.Newman,Phys.Rev.E,61,5678(2000)】SIR在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上【Y.Moreno,J.B.GomezandA.F.Pacheco,Phys.Rev.E,68,035103(2003)】SIRonGeneralNetworks最早提出應(yīng)該討65

SIS/SIonGeneralNetworks利用平均場理論得到一般網(wǎng)絡(luò)上SIS過程的臨界傳播強(qiáng)度，將其應(yīng)用于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，解決了困惑已久的問題【R.Pastor-SatorrasandA.Vespignani,Phys.Rev,Lett.,86,3200(2001)；Phys.Rev.E,63,066117(2001)】SI模型在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)特性【M.Barthelemy,A.Barrat,R.Pastor-SatorrasandA.Vespignani,Phys.Rev.Lett,92,178701(2004)】

SIS/SIonGeneralNetworks利用平66Sandpileonscale-freenetworks

——節(jié)點(diǎn)異質(zhì)K.-I.Goh,etal,Phys.Rev.Lett.91,148701(2003)Sandpileonscale-freenetwor67Sandpileonscale-freenetworks

——節(jié)點(diǎn)同質(zhì)T.ZhouandB.-H.Wang,Chin.Phys.Lett.22,1072(2005)Sandpileonscale-freenetwor68其他例子交通動(dòng)力學(xué)【L.Zhao,etal,Phys.Rev.E

71,026125(2005);T.Zhou,etal,toappearinDynamicsofContinuous,DiscreteandImpulsiveSystems

B】布爾動(dòng)力學(xué)【T.Zhou,etal,Phys.Rev.E72,046139(2005)】博弈問題【M.A.Nowak,Nature428,646(2004)】其他例子交通動(dòng)力學(xué)【L.Zhao,etal69研究最重要的拓?fù)涮卣髁繉?dòng)力學(xué)的影響——相變點(diǎn)位置，臨界指數(shù)計(jì)算，有限尺度效應(yīng)

研究最重要的拓?fù)涮卣髁繉?dòng)力學(xué)的影響——相變點(diǎn)位置，臨界指數(shù)70同步：小世界網(wǎng)絡(luò)中

重連概率的影響HongH，ChoiMY，andKimBJ．Phys．Rev．E2002，65(2)：026139

同步：小世界網(wǎng)絡(luò)中

重連概率的影響HongH，ChoiM71同步：無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布指數(shù)

對同步能力的影響T.Nishikawa,etal．Phys.Rev.Lett.91,014101(2003)

同步：無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布指數(shù)

對同步能力的影響T.Nishi72同步：平均距離與度分布方差對網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響M.Zhao,T.Zhou,B.-H.Wang,arXiv:cond-mat/0510332

同步：平均距離與度分布方差對網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響M.Zhao73布爾動(dòng)力學(xué)：度分布方差越大系統(tǒng)總收益越小T.Zhou,etal,Phys.Rev.E72,046139(2005)布爾動(dòng)力學(xué)：度分布方差越大系統(tǒng)總收益越小T.Zhou,74有限尺度效應(yīng)有限大的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)存在正的傳播強(qiáng)度臨界值【R.M.Mayetal,Phys.Rev.E,64,066112(2001)

；R.Pastor-Satorrasetal,Phys.Rev.E,65,035108(2002)】利用有限尺度效應(yīng)求小世界網(wǎng)絡(luò)同步的耦合強(qiáng)度臨界值【H.Hong,Phys.Rev.E65,026139(2002)】有限尺度效應(yīng)有限大的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)存在正的傳播強(qiáng)度臨界值【R.75更細(xì)致的拓?fù)淞?如簇系數(shù),相關(guān)性,群落結(jié)構(gòu),權(quán)重分布對動(dòng)力學(xué)的影響。

更細(xì)致的拓?fù)淞?如簇系數(shù),相關(guān)性,群落結(jié)構(gòu),權(quán)重分布對動(dòng)力學(xué)76同步：網(wǎng)絡(luò)同步能力的上下界這個(gè)上下界是平凡而稀疏的，有興趣的研究者可以考慮更好的Bounds，或者在某種約束下的BoundsT.Nishikawa,etal．Phys.Rev.Lett.91,014101(2003)

同步：網(wǎng)絡(luò)同步能力的上下界T.Nishikawa,et77同步：最大介數(shù)扮演的角色認(rèn)為可以用最大介數(shù)刻畫網(wǎng)絡(luò)同步能力，或者至少是最恰當(dāng)?shù)牧俊綡.Hongetal,Phys.Rev.E69,067105(2004)】認(rèn)為最大介數(shù)能夠在很大程度上表征網(wǎng)絡(luò)的同步能力【T.Nishikawa,etal．Phys.Rev.Lett.91,014101(2003)】認(rèn)為最大介數(shù)只能在某些特定網(wǎng)絡(luò)中反映網(wǎng)絡(luò)同步能力【M.Zhao,T.Zhou,B.-H.Wang,arXiv:cond-mat/0510332】同步：最大介數(shù)扮演的角色認(rèn)為可以用最大介數(shù)刻畫網(wǎng)絡(luò)同步能力，78傳播：相關(guān)性的影響對于關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，Boguna和Pastor-Satorras給出了SIS模型傳播的臨界值為1/Rmax,其中Rmax為鄰接矩陣的最大特征值。Boguna等人進(jìn)一步證明了當(dāng)度分布二階矩發(fā)散時(shí)，Rmax趨于無窮，亦即在無尺度網(wǎng)絡(luò)中，不管是關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)還是非關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，都不存在正的臨界值。Moreno等人分析了關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)上的SIR模型，也得到了類似的結(jié)論。M.Boguna,etal,Phys.Rev.E,66,047104(2002).M.Boguna,etal,Phys.Rev.Lett.,90,028701(2003)Y.Moreno,etal,Phys.Rev.E,68,035103(2003).

傳播：相關(guān)性的影響對于關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，Boguna和Pastor-79傳播：集聚系數(shù)的影響T.Zhou,G.YanandB.–H.Wang,Phys.Rev.E71,046141(2005)傳播：集聚系數(shù)的影響T.Zhou,G.Yanand80其他例子集聚系數(shù)增大不利于網(wǎng)絡(luò)同步【M.Zhao,T.Zhou,B.-H.Wang,arXiv:cond-mat/0510332；X.Wu,B.–H.Wang,T.Zhou,etal,Preprint】網(wǎng)絡(luò)在一定的相關(guān)性區(qū)間內(nèi)比較容易同步【陳關(guān)榮，10月會(huì)議報(bào)告】群落結(jié)構(gòu)會(huì)影響傳播行為【劉宗華，10月會(huì)議報(bào)告】群落結(jié)構(gòu)會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)同步【Y.-C.Lai，10月會(huì)議報(bào)告】權(quán)重的非均勻分布會(huì)使得網(wǎng)絡(luò)傳播變慢【G.Yan,T.Zhou,etal,Chin.Phys.Lett.22,510(2005)】其他例子集聚系數(shù)增大不利于網(wǎng)絡(luò)同步【M.Zhao,T.81因理論興趣或具體應(yīng)用背景而改變動(dòng)力學(xué)規(guī)則或設(shè)計(jì)特別的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境因理論興趣或具體應(yīng)用背景而改變動(dòng)力學(xué)規(guī)則或設(shè)計(jì)特別的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境82傳播：如果可以屠殺Hayashi等人考慮了線性增長的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，發(fā)現(xiàn)如果想要控制疾病流行，就必須控制種群數(shù)量的增長。這個(gè)結(jié)果對于控制類似于禽流感、口蹄疫等動(dòng)物疾病有明顯的指導(dǎo)意義。Y.Hayashi,arXiv:cond-mat/0307135.Y.Hayashi,etal,Phys.Rev.E,69,016112(2004).傳播：如果可以屠殺Hayashi等人考慮了線性增長的無標(biāo)度網(wǎng)83為了討論同步專門采用的傳播模型Kuperman和Abramson研究了WS網(wǎng)絡(luò)上的SIRS模型，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)斷鍵重連概率很小(p=0.01)的時(shí)候，疾病可以在網(wǎng)絡(luò)中長期存在，但患病比率很小切波動(dòng)不大，可以近似地看作收斂到一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；而當(dāng)斷鍵重連概率很大(p=0.9)的時(shí)候，患病人數(shù)會(huì)出現(xiàn)周期性的波動(dòng)。他們進(jìn)一步研究了WS網(wǎng)絡(luò)上傳播行為的同步效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)了隨著的增長，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)從非同步相到同步相的相變。M.KupermanandG.Abramson,Phys.Rev.Lett.,86,2909(2001).

為了討論同步專門采用的傳播模型Kuperman和Abrams84利用HH神經(jīng)動(dòng)力學(xué)方程討論小世界網(wǎng)絡(luò)的快速響應(yīng)和相干振蕩L.F.Lago-Fernández,etal,Phys.Rev.Lett.84,2758(2000)利用HH神經(jīng)動(dòng)力學(xué)方程討論小世界網(wǎng)絡(luò)的快速響應(yīng)和相干振蕩L.85考慮如何增強(qiáng)或減弱某種動(dòng)力學(xué)的特征，如同步能力交通能力等?？紤]如何增強(qiáng)或減弱某種動(dòng)力學(xué)的特征，如同步能力交通能力等。86在GlobalRouting框架下如何提高無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的交通能力G.Yan,T.Zhou,etal,arXiv:cond-mat/0505366在GlobalRouting框架下如何提高無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的交通87在LocalRouting框架下如何提高無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的交通能力C.Y.Yin,B.H.Wang,W.X.Wang,T.Zhou,H.J.YangPhys.Lett.A(InPress)(arXiv:physics/0506204)在LocalRouting框架下如何提高無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的交通能88能否通過接種疫苗控制傳染??？熟識(shí)者免疫的策略——從空白處挖掘信息【R.Cohen,S.HavlinandD.ben-Avraham,Phys.Rev.Lett.,91,247901(2003).】目標(biāo)免疫——效果雖好要求過高【Pastor-SatorrasRetal,Phys.Rev.E

65,036104(2002)】比例優(yōu)先免疫【Z.Dezs?andA-L.Barabási,Phys.Rev.E,65,055103(2002).】能否通過接種疫苗控制傳染??？熟識(shí)者免疫的策略——從空白處挖掘89控制級(jí)聯(lián)——從邊緣節(jié)點(diǎn)入手A.E.Motter,Phys.Rev.Lett.93,098701(2004)控制級(jí)聯(lián)——從邊緣節(jié)點(diǎn)入手A.E.Motter,Ph90控制級(jí)聯(lián)——從中心節(jié)點(diǎn)入手T.ZhouandB.-H.Wang,Chin.Phys.Lett.22,1072(2005)控制級(jí)聯(lián)——從中心節(jié)點(diǎn)入手T.ZhouandB.-91通過調(diào)節(jié)耦合強(qiáng)度提高網(wǎng)絡(luò)同步能力——同步與交通的內(nèi)在聯(lián)系E.Motteretal．Phys．Rev．E71,016116(2005)SeealsoM.Chavezetal,Phys.Rev.Lett.94,218701(2005)

通過調(diào)節(jié)耦合強(qiáng)度提高網(wǎng)絡(luò)同步能力——同步與交通的內(nèi)在聯(lián)系E.92通過結(jié)構(gòu)微擾提高網(wǎng)絡(luò)的同步能力M.Zhao,T.Zhou,B.H.Wang,andW.X.Wang,Phys.Rev.E72,057102(2005)通過結(jié)構(gòu)微擾提高網(wǎng)絡(luò)的同步能力M.Zhao,T.Zho93研究局域動(dòng)力學(xué)，以及網(wǎng)絡(luò)中地位不同的節(jié)點(diǎn)不同的局域動(dòng)力學(xué)性質(zhì)研究局域動(dòng)力學(xué)，以及網(wǎng)絡(luò)中地位不同的節(jié)點(diǎn)不同的局域動(dòng)力學(xué)性質(zhì)94例子雖少，前景看好高集聚性的網(wǎng)絡(luò)局部同步能力很好，但全局同步能力較差【P.N.McGrawandM.Menzinger,Phys.Rev.E72015101(2005)】Motif-Modular-Network的多級(jí)結(jié)構(gòu)可以顯著的改變網(wǎng)絡(luò)的局域動(dòng)力學(xué)性質(zhì)【本研究小組的觀察事實(shí)，尚未成文】例子雖少，前景看好高集聚性的網(wǎng)絡(luò)局部同步能力很好，但全局同步95動(dòng)力學(xué)的魯棒性問題主要指網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化對相應(yīng)動(dòng)力學(xué)的影響。

動(dòng)力學(xué)的魯棒性問題主要指網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化對相應(yīng)動(dòng)力學(xué)的影響。96無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的同步魯棒性WangXFandChenG．IEEETrans．CircuitsSyst．I．2002，49(1)：54-62．無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的同步魯棒性WangXFandChenG97網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的運(yùn)籌與優(yōu)化問題，采用優(yōu)化算法提高某種動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。

網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的運(yùn)籌與優(yōu)化問題，采用優(yōu)化算法提高某種動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。98通過優(yōu)化度分布熵改變

網(wǎng)絡(luò)的魯棒性B.Wang,H.W.Tang,C.H.Guo,Z.L.Xiu,PhysicaADoi:10.1016/j.physa.2005.08.025通過優(yōu)化度分布熵改變

網(wǎng)絡(luò)的魯棒性B.Wang,H.W9