八年級數(shù)學(xué)反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題

八年級數(shù)學(xué)反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題八年級數(shù)學(xué)反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題八年級數(shù)學(xué)反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題資料僅供參考文件編號：2022年4月八年級數(shù)學(xué)反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題知識點歸納（一）反比例函數(shù)的概念

1．（）可以寫成（）的形式，注意自變量x的指數(shù)為，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時應(yīng)特別注意系數(shù)這一限制條件；

2．（）也可以寫成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k，從而得到反比例函數(shù)的解析式；

3．反比例函數(shù)的自變量，故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點．

（二）反比例函數(shù)的圖象

在用描點法畫反比例函數(shù)的圖象時，應(yīng)注意自變量x的取值不能為0，且x應(yīng)對稱取點（關(guān)于原點對稱）．

（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)

1．函數(shù)解析式：（）

2．自變量的取值范圍：

3．圖象：

（1）圖象的形狀：雙曲線．

越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直．越小，圖象的彎曲度越大．

（2）圖象的位置和性質(zhì)：

與坐標(biāo)軸沒有交點，稱兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的漸近線．

當(dāng)時，圖象的兩支分別位于一、三象限；

在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?/p>

當(dāng)時，圖象的兩支分別位于二、四象限；

在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．

（3）對稱性：圖象關(guān)于原點對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，

則（，）在雙曲線的另一支上．

圖象關(guān)于直線對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，

則（，）和（，）在雙曲線的另一支上．4．k的幾何意義

如圖1，設(shè)點P（a，b）是雙曲線上任意一點，作PA⊥x軸于A點，PB⊥y軸于B點，則矩形PBOA的面積是（三角形PAO和三角形PBO的面積都是）．

如圖2，由雙曲線的對稱性可知，P關(guān)于原點的對稱點Q也在雙曲線上，作QC⊥PA的延長線于C，則有三角形PQC的面積為．

圖1圖2

5．說明：

（1）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究反比例函數(shù)的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論．

（2）直線與雙曲線的關(guān)系：

當(dāng)時，兩圖象沒有交點；當(dāng)時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點關(guān)于原點成中心對稱．（3）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系．

（四）實際問題與反比例函數(shù)

1．求函數(shù)解析式的方法：

（1）待定系數(shù)法；（2）根據(jù)實際意義列函數(shù)解析式．（五）充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．例題分析

1．反比例函數(shù)的概念

（1）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（）．

A．y=3xB．C．3xy=1D．

（2）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（）．

A．B．C．D．2．圖象和性質(zhì)

（1）已知函數(shù)是反比例函數(shù)，

①若它的圖象在第二、四象限內(nèi)，那么k=___________．

②若y隨x的增大而減小，那么k=___________．

（2）已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則函數(shù)的圖

象位于第________象限．（3）若反比例函數(shù)經(jīng)過點（，2），則一次函數(shù)的圖象一定不

經(jīng)過第_____象限．（4）已知a·b＜0，點P（a，b）在反比例函數(shù)的圖象上，

則直線不經(jīng)過的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函數(shù)圖象上的兩點，

則一次函數(shù)y=kx+m的圖象經(jīng)過（）．

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第二、三、四象限

（6）已知函數(shù)和（k≠0），它們在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（）．

A．B．C．D．7、已知，則函數(shù)和的圖象大致是（）yyxOyxOyxOyxO（A）（B）（C）（D）3．函數(shù)的增減性

（1）在反比例函數(shù)的圖象上有兩點，，且，則的值為（）．

A．正數(shù)B．負(fù)數(shù)C．非正數(shù)D．非負(fù)數(shù)

（2）在函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象上有三個點，，，則函數(shù)值、、的大小關(guān)系是（）．

A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜

（3）下列四個函數(shù)中：①；②；③；④．

y隨x的增大而減小的函數(shù)有（）．

A．0個B．1個C．2個D．3個

（4）已知反比例函數(shù)的圖象與直線y=2x和y=x+1的圖象過同一點，則當(dāng)x＞0時，這個反比例函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而（填“增大”或“減小”）．5、如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像相交于A、B兩點，則圖中使反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值的x的取值范圍是（）．A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜0，或x＞2D．x＜－1，或0＜x＜2AABOxy第4題2123－3－1－213－3－1－24．解析式的確定

（1）若與成反比例，與成正比例，則y是z的（）．

A．正比例函數(shù)B．反比例函數(shù)C．一次函數(shù)D．不能確定

（6）若正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)的圖象有一個交點為（2，m），則m=_____，k=________，它們的另一個交點為________．

（7）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，求的值．

（8）為了預(yù)防“非典”，某學(xué)校對教室采用藥薰消毒法進行消毒．已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例（如圖所示），現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克．請根據(jù)題中所提供的信息解答下列問題：

①藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為___________，自變量x的取值范圍是_______________；藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_________________．

②研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于毫克時學(xué)生方可進教室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過_______分鐘后，學(xué)生才能回到教室；③研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效為什么5．面積計算

（1）如圖，在函數(shù)的圖象上有三個點A、B、C，過這三個點分別向x軸、y軸作垂線，過每一點所作的兩條垂線段與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為、、，則（）．

A．B．C．D．

第（1）題圖第（2）題圖（2）如圖，A、B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點O對稱的任意兩點，AC圖，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=的圖象的兩個交點，直線AB與y軸交于點C．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；(2)求△AOC的面積；(3)求不等式kx+b-<0的解集(直接寫出答案)．7．如圖，已知反比例函數(shù)y＝EQ\F(m,x)的圖象經(jīng)過點A(－1，3)，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過點A和點C(0，4），且與反比例函數(shù)的圖象相交于另一點B．(1)求這兩個函數(shù)的解析式；OCAByOCAByx8、如圖所示，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點為．⑴求的值及這兩個函數(shù)的解析式；⑵根據(jù)圖象，直接寫出在第一象限內(nèi)，使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的的取值范圍．6．綜合應(yīng)用

（1）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例數(shù)的圖象交于A、B兩點：A（，1），B（1，n）．①求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；②根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．（2）如圖所示，已知一次函數(shù)（k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)（m≠0）的圖象在第一象限交于C點，CD垂直于x軸，垂足為D，若OA=OB=OD=1．①求點A、B、D的坐標(biāo)；②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A（2，1）、B（﹣1，﹣2）兩點，與x軸交于點C．（1）分別求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式（關(guān)系式）；（2）連接OA，求△AOC的面積．4．如圖，一次函數(shù)y=x+1與反比例函數(shù)的圖象相交于點A（2，3）和點B．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求點B的坐標(biāo)；（3）過點B作BC⊥x軸于C，求S△ABC．5．已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點，其中A點的橫坐標(biāo)與B點的縱坐標(biāo)都是2，如圖：（1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）求△AOB的面積；（3）在y軸是否存在一點P使△OAP為等腰三角形？若存在，請在坐標(biāo)軸相應(yīng)位置上用P1，P2，P3…標(biāo)出符合條件的點P；（尺規(guī)作圖完成）若不存在，請說明理由．6．如圖，反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=mx+b的圖象交于兩點A（1，3），B（n，﹣1）．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)圖象，直接回答：當(dāng)x取何值時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；（3）連接AO、BO，求△ABO的面積；（4）在反比例函數(shù)的圖象上找點P，使得點A，O，P構(gòu)成等腰三角形，直接寫出兩個滿足條件的點P的坐標(biāo)．