2020屆江蘇省鹽城市2017級高三四?？荚嚁?shù)學(xué)試卷及答案(含附加題)

2020屆江蘇省鹽城市2017級高三四?？荚嘙ff■?"?/>數(shù)學(xué)試卷★?？荚図樌?020．6第I卷(必做題，共160分)TOC\o"1-5"\h\z一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分,請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上．)1■若集合人=(x|x<m},B=(x|x>-1),且AIB={m}，則實(shí)數(shù)m的值為.2■已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z(3+i)=10，則|z|的值為.3．從數(shù)字0,1,2中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù),則所得的兩位數(shù)大于10的概率為.4.如圖所示，一家面包銷售店根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，圖中小矩形從左向右所對應(yīng)的區(qū)間依次為[0,50),[50,100),[100,150),[150,200),[200,250]■若一個(gè)月以30天計(jì)算，估計(jì)這家面包店一個(gè)月內(nèi)這種面包的日銷售量少于100個(gè)的天數(shù)為匚X天.5■執(zhí)行如圖所示的流程圖，輸出k的值為第4題第5題6■若雙曲線乂-蘭=1(a>0,b>0)的漸近線為y=±2x，則其離心率的值為.a2b27■若三棱柱ABC—ABC的體積為12，點(diǎn)P為棱AA上一點(diǎn)，則四棱錐P—BCCB的體積為.1111118■“①=2”是“函數(shù)f(x)=singx+-)的圖象關(guān)于點(diǎn)(竺,0)對稱”的條件.(選填612“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)．9■在△ABC中，C=B+-,AB=3^2AC,則tanB的值為TOC\o"1-5"\h\z4410■若數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S,a=2n-i+(-1)n(2n-1)，則2a-S的值為.nnn10010011.若集合P={x,y)x2+y2—4x=o},Q=](x,y)nJT5[，則PIQ表示的曲線的長度為.12■若函數(shù)f(x)=|m+x>0的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的相異兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的最大值[e2x-1,x<0是-13■在△ABC中,AB=10,AC=15,ZA的平分線與邊BC的交點(diǎn)為D,點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，若uuuruuuruuuruuurAB-AD=90,則AB-AE的值是.14■若實(shí)數(shù)x,y滿足4x2+4xy+7y2=l,則7x2-4xy+4y2的最小值是.二、解答題(本大題共6小題,共計(jì)90分,請?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)15．(本小題滿分14分)若函數(shù)f(x)=Msin(①x+申)(M>0,?>0,0V申V兀)的最小值是-2,最小正周期是2兀,且圖象經(jīng)過點(diǎn)N(-,1).3求f(x)的解析式；810在厶ABC中，若f(A)=5,f(B)=右，求cosC的值.16．（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是菱形,PC丄BC,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，且平面PBC丄平面ABCD■求證：（1）求證:PA〃平面BDE；（2）求證：平面PAC丄平面BDE.17．（本小題滿分14分）如圖，在一旅游區(qū)內(nèi)原有兩條互相垂直且相交于點(diǎn)0的道路I,1，一自然景觀的邊界近似12為圓形，其半徑約為1千米，景觀的中心C到1,1的距離相等，點(diǎn)C到點(diǎn)0的距離約為10千12米.現(xiàn)擬新建四條游覽道路方便游客參觀，具體方案：在線段0C上取一點(diǎn)P,新建一條道路0P,并過點(diǎn)P新建兩條與圓C相切的道路PM,PN（M,N為切點(diǎn)），同時(shí)過點(diǎn)P新建一條與0P垂直的道路AB（A,B分別在I,1上）.為促進(jìn)沿途旅游經(jīng)濟(jì)，新建道路長度之和越大越好，求新建道路12長度之和的最大值．（所有道路寬度忽略不計(jì)）18．(本小題滿分16分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：蘭+蘭=1(a>b>0)的短軸長為2,F,F分別是a2b212橢圓C的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的動(dòng)直線與橢圓交于點(diǎn)P,Q,過點(diǎn)F與PQ垂直的直線與橢圓C交22于A、B兩點(diǎn)■當(dāng)直線AB過原點(diǎn)時(shí),PF=3PF.12(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2(2)若點(diǎn)H(3,0),記直線PH,QH,AH,BH的斜率依次為k,k,k,k■①若k+k=—，求12341215直線PQ的斜率；②求(k+k)(k+k)的最小值.123419．(本小題滿分16分)如果存在常數(shù)k使得無窮數(shù)列｛a｝滿足a=kaa恒成立，則稱為P(k)數(shù)列.nmnmn若數(shù)列｛a｝是P(1)數(shù)列，a=1,a=3，求a;n6123若等差數(shù)列｛b｝是P(2)數(shù)列,求數(shù)列｛b｝的通項(xiàng)公式；nn是否存在P(k)數(shù)列｛c｝，使得c,c,c,…是等比數(shù)列？若存在，請求出所有滿n202020212022足條件的數(shù)列｛c｝;若不存在，請說明理由.n20．(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)f(x)=-31nx+x3+ax2一2ax.若a=0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；若函數(shù)f(x)在x=1時(shí)取極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;設(shè)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為m,試求m的最大值.

第II卷（附加題,共40分）21.【選做題】本題包括A,B,C三小題，請選定其中兩題作答,每小題10分共計(jì)20分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟．A.選修4一2：矩陣與變換已知矩陣A=a已知矩陣A=a2b1_ur,若矩陣A屬于特征值3的一個(gè)特征向量為a二,求該矩陣屬于另一個(gè)特征值的特征向量.B■選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，已知直線I:pcos9+2psin9=m（m為實(shí)數(shù)）,曲線C：p=2cos9+4sin9,當(dāng)直線I被曲線C截得的弦長取得最大值時(shí),求實(shí)數(shù)m的值.C■選修4一5：不等式選講已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y+2z=1,求X2+y2+z2的最小值【必做題】第22題、第23題,每題10分,共計(jì)20分,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟．22．(本小題滿分10分)如圖,拋物線C：y2二2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)P(2,0)作直線I與拋物線交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)直線I與x軸垂直時(shí)AB的長為4邁.(1)求拋物線的方程；(2)若厶APF與厶BPO的面積相等,求直線I的方程.23．(本小題滿分10分)若有窮數(shù)列｛a｝共有k項(xiàng)(k$2)，且a=1,4二2(r-k)，當(dāng)1WrWk-1時(shí)恒成立■設(shè)n1ar+1r1)求T，T；232)求T．k2020屆江蘇省鹽城市2017級高三四?？荚嚁?shù)學(xué)參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分．1.-12.須3.344.125.46.57.88.充分不必要9.210.2992兀11■-12.1+e213.175314._328二、解答題：本大題共6小題，計(jì)90分?解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟,

請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．15■解析：(1)因?yàn)閒(x)的最小值是一2,所以M=2.2分因?yàn)閒(x)的最小正周期是2兀，所以1,4分sin(3+申)=2，又由f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)N(|,1)sin(3+申)=2，6分所以葉3=2k吩或申+3=2k冗+￥6分又0<p<冗，故f(x)即f(x)=2cosx22⑵由⑴知f(x)=2cosx，又f(A)=I,f(B)=13故2cosA=8,2cosB=10,即cosA=4,cosB=—513513又因?yàn)椤鰽BC中,A,Be(0,兀),所以sinA=<1一所以sinA=<1一cos2A==3,sinB=\1-cos2B=、.1-5I121310分所以cosC=cos[兀-(A+B)]=-cos(A+B)TOC\o"1-5"\h\z=-(cosAcosB-sinAsinB)=-(4x—-3x^2)=16.14分5135136516■證明：⑴設(shè)ACIBD=O，連結(jié)OE,因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，故O為BD中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以AP//OE.2分又因?yàn)镺Eu平面BDE,APu平面BDE,所以AP//平面BDE.6分(2)因?yàn)槠矫鍼BC丄平面ABCD,PC丄BC，平面PBCI平面ABCD=BC,PCu平面PBC,所以PC丄平面ABCD-又BDu平面ABCD,所以PC所以PC丄平面ABCD-又BDu平面ABCD,所以PC丄BD■TABCD是菱形，二AC丄BD,又PC丄BD,ACIPC=C,ACu平面PAC,PCu平面PAC,9分所以BD丄平面PAC．………………12分又BDu平面BDE,所以平面PAC丄平面BDE■14分17■解析：連接CM，設(shè)ZPCM=9，則PC=-^-,PM二PN二tan9,cos0OP=OC-PC=10-——,AB=2OP=20-——,cos9cos93設(shè)新建的道路長度之和為f(9),則f(9)=PM+PN+AB+OP=2tan9-一-+30,……6分cos9由1<PC<10得10<cos9<1，設(shè)cos9o=￡,90則9g(0,9],sin9=—,f，(9)=2-汽9，令f'(9)=0得sin9=-,0010COS2932設(shè)sin9=-,9g(0,9],131010分9，廣(9),f(9)的情況如下表:9(0，9)191(9,9]10f'(9)+0—f(9)z極大由表可知9=9時(shí)f(9)有最大值此時(shí)sin9=2，cos9=#，tan9=總，f(9)=3°r5-13分答：新建道路長度之和的最大值為30-J5千米.14分注：定義域擴(kuò)展為(0,2)，求出最值后驗(yàn)證也可.218■解析:(1)因?yàn)闄E圓C:-+—=1(a>b>0)的短軸長為2,所以b=l,a2b2

當(dāng)直線AB過原點(diǎn)時(shí)，PQ丄x軸，所以APFF為直角三角形，1231由定義知PF+PF=2a，而PF=3PF,故PF=—a,PF=—a,12121222TOC\o"1-5"\h\z9——由PF2=PF2+FF2得a2=a2+4c2=a2+4(a2-1)，化簡得a2=2,—2—2444故橢圓的方程為乂+y2=1.4分2(2)①設(shè)直線PQ：y=k(x——，代入到橢圓萬程得：(1+2k2)x2—4k2x+(2k2—2)=0，設(shè)P(x—,",Q(X2設(shè)P(x—,",Q(X2,y2)，則X—+X24k2,xx1+2k2—22k2—21+2k26分kyyk[(x—1)(x—3)+(x—1)(x—3)]所以k+k2=匚+咕=12212x—3x—3122k2化簡可得k+k=蘭=2,128k2+7157解得：k=1或k=，即為直線PQ的斜率.8(x—3)(x—3)1210分12分②當(dāng)這兩條直線中有一條與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，￡+屮+k)=0,4當(dāng)兩條直線與坐標(biāo)軸都不垂直時(shí),2k—2k14分由①知k+k=-2k，同理可得k+k=-~214分128k2+7348+7k2—4k2—4k2故(ki+k2)(k3+k4)=56k4+56+113k2—456(k2+p11356x卡—4=—4~225,2X+113k2162162分當(dāng)且僅當(dāng)k2=右即k=±】時(shí)取等號?4綜上，(冒k2)(k—+k4)的最小值為-厲19?解析:⑴由數(shù)列｛?｝是P(1)數(shù)列得a6=a2a3=1，a12=a2a6=3，可得=1⑵由｛b｝是P(2)數(shù)列知b=2bb恒成立，取m=1得b=2bb恒成立,nmnmnn1n當(dāng)b=0,b=0時(shí)滿足題意，此時(shí)b=0,1nn當(dāng)b豐0時(shí)，由b=2b2可得b=，取m=n=2得b=2b2,1111242

設(shè)公差為d,則*3d2(2d)2解得d0或者d2,1n綜上，b0或b石或b石，經(jīng)檢驗(yàn)均合題意.8分nn2n2⑶方法一：假設(shè)存在滿足條件的PS)數(shù)列｛c｝,不妨設(shè)該等比數(shù)列ccc…的公比n202020212022為q.則有c20202020kc2020c2020cq則有c20202020kc2020c2020cq2020202020202020kcc,可得q202020202020202020202020ckcc2020202120202021c2020q202020212020kc2020cq,可得q202020212021kc,②20202020綜上①②可得q綜上①②可得q1,10分故cc,代入c20202020202020202020又Ckccc2020120201kkc20202020得c2020則當(dāng)n2020時(shí)cknk12分當(dāng)故cc,代入c20202020202020202020又Ckccc2020120201kkc20202020得c2020則當(dāng)n2020時(shí)cknk12分當(dāng)1n2020時(shí),不妨設(shè)ni2020,N且i為奇數(shù),由Cni而Sickcnni1nf,所以1kkckcni1nki1(c)i,n綜上條件的cnni2(c)inP(k)k2(c)2nk八,cn數(shù)列cni21k,ki1(c)i,n{c}n無窮多個(gè),其通項(xiàng)公式為16分1cnk16分方法二:同方法一得，當(dāng)n2020時(shí)cn當(dāng)1n2020當(dāng)1n2020時(shí)，cn2020kcnc2020，而［20201,ck2020*，故c*，以下同方法一.knk1,ci=k,不妨設(shè)該等比數(shù)列c2020c2021c2022,?…的公比為J當(dāng)11,ci=k,不妨設(shè)該等比數(shù)列c2020c2021c2022,?…的公比為J當(dāng)1n2018時(shí),cn2020ckcnc2020,c(n+1)2020^nif。，兩式相除可得〒c(n+1)2020二q2020cn20202019{c}n列,cq2020(n1)1………………10分11q2020(n1),則Cq2020,Cq6060,由c2k4k4k(c)2得q20201,且當(dāng)2方法三:假設(shè)存在滿足條件的P(k)數(shù)列｛c｝,顯然｛c｝的所有項(xiàng)及k均不為零1<n<201911<n<20191c=—

nk12分則c=kcc202021010=kcc=k厶1=15405kkk^025=l=q5，二q=1,c2020故當(dāng)n>2020時(shí)c綜上,滿足條件的P(綜上,滿足條件的P(k)數(shù)列{c}有無窮多個(gè),其通項(xiàng)公式為n16分16分c=—nk—3x3—120■解析:⑴當(dāng)a二0時(shí)，f(x)=—3lnx+x3，所以f'(x)=+3x2=3(-)，…1分xx由f(x)=0得x=1,當(dāng)xe(0,1)時(shí)，f(x)<0;當(dāng)xe(1,+s)時(shí)，f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+Q.……3分(2)由題意得f'(x)=—+3x2+2ax—2a=_—[x2+(絲+1)x+1],xx3令g(x)=x2+(羊+1)x+1,x>0),則f'(x)=並g(x),3x當(dāng)蘭+1>0即a>—3時(shí)，g(x)>0恒成立，得f(x)在(0,1)上遞減，在(1,+^)上遞增，所以x=1是32函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)；TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)A=(-a+1)2—4<0即-—<a<-時(shí)，此時(shí)g(x)>0恒成立，f(x)在(0,1)上遞減，在(1,+^)上322遞增，所以x=1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)；當(dāng)A=(2a+1)2—4=0即a=—-或a=3時(shí)，易得f(x)在(0,1)上遞減，在(1,+^)上遞增，所以322x=1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)；……6分當(dāng)A=(召+1)2—4>0時(shí)，解得a<——或a>(舍)，3229當(dāng)a<-一時(shí)，設(shè)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x,x，所以xx=1，不妨設(shè)0<x<x，2121212又g(1)=a+3<0，所以0<x<1<x，故f'(x)=(x—x)(x—1)(x—x)，312x12當(dāng)xe(0,x)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)xe(x,1)時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)xe(1,x)時(shí)，f'(x)<0；112

當(dāng)x當(dāng)xG(x,+8)時(shí)，f(x)>0；???f(x)在(0,x)上遞減,在(x,1)上遞增,在(l,x)上遞減,在(x,+8)上遞增；所以x二1是函數(shù)f(x)極大值點(diǎn).29綜上所述a<-9.……10分29(3)①由(2)知當(dāng)a>--時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)2至多有兩個(gè)零點(diǎn)，欲使f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，需f⑴=1-a<0，得a>1,止匕時(shí)f(x)=-3lnx+x3+ax2一2ax>-3lnx一2ax,f(丄)>3lna一2,a當(dāng)a>e時(shí)，f(!)>0，此時(shí)函數(shù)f(x)在(0,1)上恰有1個(gè)零點(diǎn)；……12分a又當(dāng)x>2時(shí)，f(x)=-3lnx+x3+ax(x一2)>-3lnx+x3,由(1)知申(x)=—31nx+x3在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以f(e)>-3+e3>0，故此時(shí)函數(shù)f(x)在(1,+8)恰有1個(gè)零點(diǎn)；由此可知當(dāng)a>e時(shí),函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).……14分9②當(dāng)a<-—時(shí)，由(2)知f(x)在(0,x)上遞減，在(x,1)上遞增，在(1,x)上遞減，在(x,+8)上遞21122增；而0<x<1，所以f(x)=-3lnx+x3+ax(x一2)>0,111111此時(shí)函數(shù)f(x)也至多有兩個(gè)零點(diǎn).綜上①②所述，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)m的最大值為2.……16分ura2丁丁ura2丁丁21A.解：由題意知Aa二b1_1二31，所以，即4分九一1—2所以矩陣A的特征多項(xiàng)式f(九)二，二(九-1)2-4,—2入一18分由f(九)=0,解得九二3或九=-1,8分當(dāng)“T時(shí)［-2：-2y二0'令x二1'則y=_1‘i所以矩陣A的另一個(gè)特征值為J對應(yīng)的一個(gè)特征向量為—.…………10分TOC\o"1-5"\h\z21B.解：由題意知直線l的直角坐標(biāo)方程為x+2y-m=0,2分又曲線C的極坐標(biāo)方程p=2cos0+4sin0，即p2二2pcos0+4psin0,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-4y=0,所以曲線C是圓心為(1,2)的圓，8分當(dāng)直線l被曲線C截得的弦長最大時(shí)，得1+2?2-m=0，解得m=5.10分21C■解：由柯西不等式有(12+12+22)(x2+y2+z2)>(x+y+2z)2=1,6分所以x2+y2+z2>1(當(dāng)且僅當(dāng):=2=￡