《高等數(shù)學(xué)一》期末復(fù)習(xí)題及答案

《 高 等 數(shù) 學(xué) （ 一 ） 》 期 末 復(fù) 習(xí) 題一、選擇題x2x2xx

x)的結(jié)果是（ C）（A）0 （B） （C）

1（D）不存在22、方程x33x10在區(qū)間(0,1)內(nèi) （B ）無(wú)實(shí)根 （B）有唯一實(shí)根 （C）有兩個(gè)實(shí)根（D）有三個(gè)實(shí)根3、f(x)是連續(xù)函數(shù),則3、f(x)是連續(xù)函數(shù),則f(x)dx是f(x)的（C）（A）一個(gè)原函數(shù)；(B)一個(gè)導(dǎo)函數(shù)；(C)全體原函數(shù)；(D)全體導(dǎo)函數(shù)；4ysinx(0xy0所圍的面積是（C）（A）1/2(B)1(C)2(D)5yx2y|x02的特解是(D)（A）x3（B）13x3（C）x32（D）13x326、下列變量中，是無(wú)窮小量的為（A）(A)lnx(x(B)ln (x0)1x(C)cosx(x0)(D)x2x24(x2)7、極限lim(xsin11sinx)x0（A）0x x（B）1的結(jié)果是（C）（C）1（D）不存在8、函數(shù)yexarctanx在區(qū)間1,1上（A）（A）單調(diào)增加（B）單調(diào)減?。–）無(wú)最大值（D）無(wú)最小值9、不定積分xdx=（D）arctanx2C (B)ln(x21)C

11arctanxC (D) ln(x21)C12 210、由曲線yex(0x和直線y0所圍的面積是（A ）（A）e1 (B)1 (C)2 (D)e11、微分方程dyxy的通解為 （ B ）dx（A）

Ce2x （B）

1x2yCeyCe

yeCx

（D）

yCex212、下列函數(shù)中哪一個(gè)是微分方程y3x20的解( D)yx2

yx3

y3x2

yx313、函數(shù)ysinxcosx1 是 （ C）奇函數(shù)；(B)偶函數(shù)；(C)非奇非偶函數(shù)；(D)既是奇函數(shù)又是偶函14、當(dāng)x0時(shí)，下列是無(wú)窮小量的是 （ B ）（A）e

(B)ln(x(C)sin(x(D) x115、當(dāng)x時(shí)，下列函數(shù)中有極限的是 （ A）x1（A）

cosx

1

arctanxx21 ex16、方程x3px10(p0)的實(shí)根個(gè)數(shù)是（ B）（A）零個(gè) （B）一個(gè)（C）二個(gè)（D）三個(gè)17、( 1

)dx（ B ）（A）

1x21

1（B）

C （C）arctanx （D）arctanxc1x2 1x218、定積分a

f(x)dx是 （ C）一個(gè)函數(shù)族 （B）f(x)的的一個(gè)原函數(shù)（C）一個(gè)常數(shù)（D）一個(gè)非負(fù)常數(shù)19、函數(shù)yln x

x21是（ A ）奇函數(shù) （B）偶函數(shù) （C）非奇非偶函數(shù)（D）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)20、設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間,上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且fx0，則( B(A)f00 (B)ff0 (C)f0 (D)ff021y

21ex

，則下列選項(xiàng)成立的是（ C ）沒(méi)有漸近線 (B)僅有鉛直漸近線(C)既有水平漸近線又有鉛直漸近線 (D)僅有水平漸近22、(cosxsinx)dx( D )（A）sinxcosxC （B）sinxcosxC（C）sinxcosxC （D）sinxcosxC23、數(shù)列

{n(1)nn

的極限為（ （A）1 (B)1 (C)0 (D)不存24、下列命題中正確的是（ B）（A）有界量和無(wú)窮大量的乘積仍為無(wú)窮大量（B）有界量和無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量?jī)蔁o(wú)窮大量的和仍為無(wú)窮大量 （D）兩無(wú)窮大量的差為25、若f(x)g(x)，則下列式子一定成立的有（ C ）(A)f(x)g(x) (B)df(x)dg(x)(C)(df(x))(dg(x)) (D)f(x)g(x)126、下列曲線有斜漸近線的是( C )yxsinx (B)yx2sinx1 1yx二、填空題

yx2sinx x1、lim1cosx 1x0 x2 22、若f(x)e2x2，則f'(0) 2311

(x3cosx5x 24

etdx etxC5、微分方程yy0滿足初始條件y| 2的特解為 y2exx0limx246、x2

x3 07、極限limx2x2 3x2 x24 48、設(shè)yxsinx1,則f() 129、11

(xcosx 210、

31x2

dx 3arctanxC11、微分方程ydyxdx的通解為 y2

x2C1211

5x4dx 2xsin2x13、lim 1x x14、設(shè)ycosx2，則dy 2xsinx2dx15、設(shè)yxcosx3,則f() -116、不定積分

exdex

1e2xC217、微分方程ye2x的通解為 y

e2xC12118、微分方程lnyx的通解是 yexC19、2)3x＝ e6x x20、設(shè)函數(shù)yxx,則y xx(lnx1)1 2 n 121、lim(nn

n2

)的值是n2 2lim

x(x1)(x2) 122、

x

2x3x3 223、設(shè)函數(shù)yxx,則dy xx(lnx1)dx24、

limx0

2x23x1 1x4 425fx)e2

sin6

，則f'(0) 226、a2(1sin5x)dx (a為任意實(shí)數(shù)).a27、設(shè)yln(ex1)，則微分dy ex

dx .ex128

2(cosx2

x31x2

)dx 2三、解答題x12x1（本題滿分9分）求函數(shù)yx12xx102x0x1解得x2所以函數(shù)的定義域?yàn)閇1，2]2（10）fx)xx1)(x2)

的定義域。(x2014)，求f(0)。f(0)x0

f(x)f(0)x01 13（10）y

x3 x23 2

6x1,求曲線在點(diǎn)1處的切線方程。解：方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，得yx2x6將x0代入上式，得y 6(0,1)從而可得：切線方程為y16(x0) 即y6x14（10）yxyx2所圍成的平面區(qū)域的面積。解：作平面區(qū)域，如圖示yx

y1y=x=x2y01x解方程組yx

（，011）x2 x31 1所求陰影部分的面積為：S1(xx2)dx= =0 2 3 603x x5（本題滿分10分討論函數(shù)f(x)x2 x1 在x3x x解： limf(x)limx23f(1)x1 x1fx)x1處是連續(xù)的dy

2x36（本題滿分10分）求微分方程dx 的特解。y|解：將原方程化為dy(2x3)dx

3x1兩邊求不定積分，得

dy

(2x，于是yx23xC將y| 3代入上式，有313C，所以C1，x1yx

3x1。7（本題滿分9分）求函數(shù)y2 x4cos 5x 的定義域。x405x0x4解得x5所以函數(shù)的定義域?yàn)閇4，5]8（10）fx)xx1)(x2)

(xn) (n2)f(0)。f(0)x0

f(x)f(0)x09（10）x

2xy3y

3，求曲線在點(diǎn)（2，1）處的切線方程。x2xyxy6yy0將點(diǎn)（2，1）代入上式，得y 1(2,1)從而可得：切線方程為y1(x2) 即xy3010（本題滿分10分）求由曲線yex及直線y1和x1所圍成的平面圖形的面積（如下圖．解：所求陰影部分的面積為S

1(e0

x x011（10討論函數(shù)fx)ex1 x0

在x0處的連續(xù)性。解： limf(x)limex10f(0)x0 x0fx)x0處是連續(xù)的。12（10求方程y2)dxx2)dy0的通解。由方程y2)dxx2)dy0，得

dy 1y2

dx1x2得arctanyarctanxCarctanyarctanxCytan(arctanxC)13（10）x

7x4在區(qū)間(1,2內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。Fxx57x4，F(xiàn)x在F(1)100，

上連續(xù)由零點(diǎn)定理可得，在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè) ，使得函數(shù)F()5740，x

7x40在區(qū)間(1,2內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。14（10）fx)xx1)(x2)

(x2015)，求f(0)。解：f(0)lim

f(x)f(0)lim(x1)(x2)

(x2015)2015!x0

x0

x015（10）求曲線e

xye在點(diǎn)（0，1）處的法線方程。解：方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，得eyyyxy0將點(diǎn)（0，1）代入上式，得y

(0,1)

1e從而可得： 法線方程為yex1及16（10）ycosxy2,x及22

y=2軸所圍成平面圖形的面積。解：作平面圖形，如圖示 x2S

2(2cosx)dx (2xsinx)20 0 cosx x0

y=cosxx17（10討論函數(shù)fx)x1 x0

在x0處的連續(xù)性。解： limf(x)limcosx1f(0)x0 x0fx)x0處是連續(xù)的。 1xy2xy18（本題滿分10分）求微分方程dx 的特解。y|dy

1x0dy解：將原方程化為dx

y21

1y

(1x)dx兩邊求不定積分，得arctanyx x2C2y

x0

1得到C4

1 1 故原方程的特解為arctanyx x2 或ytan(x x2 ).2 4 2 419（20）曲線a2yx2 (0a1)將邊長(zhǎng)為1的正方形分成A、B兩部分如圖所示其中A 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周得到一旋轉(zhuǎn)體,記其體積為V

，B繞y,記其體積為V.A B問(wèn)當(dāng)a取何值時(shí),V V的值最小.A B解：A由以[0,a為底、高為由切片法可得：

x2的曲邊梯形和a2

ya2yx2F(aF(a)1a或

F(a).BA又F(a)

0, a4a5

4為極小值點(diǎn)，亦最小值點(diǎn)， o5

a1 x20（20）465.22解：由題意可得張角x滿足d60令 0，得到駐點(diǎn)x60dx

(不合題意，舍)及x 60.由實(shí)際意義可知,所求最值存,駐點(diǎn)只一個(gè),故所求結(jié)果就是最好的選擇.即該球員應(yīng)在離底線60米處射門(mén)才能獲得最大的射門(mén)張5.2dx5.2.在距離球門(mén)兩米處射門(mén)張角的變化率為：dtdddtx2

ddxddx

dxdtdxdt

24016 5.2)0.28/(436)(4100)21（10）fx)

ln(1t)xdt (x

0)fx

1f( )dtx dt1dtx dt1f( F(x)f(x)1f(

1 xln(1t)

ln(1t

F(1)01

xln(1t)

1令t1u

t 1ln(11)x u

txln(1

xlnu2

f( ) xx 1

dt t 1

duu 1

du duu 1 uxlntd(lnt)

1 xln2t

ln2x .11 2 1 2122、證明題（本題滿分10分）f(x在上連續(xù),在0,3內(nèi)可導(dǎo),f(0)f(1)f(2)3f(3)1。試證必存在一點(diǎn)0,3f0.證明:f(x)在上連續(xù)，故在0,2上連續(xù)，且在0,2上有最大值M 和最小值m，故f(0)f(1)f(2)mf(0),f(1),f(2)Mm M30,2f

f(0)f(1)f(2)13ff(3)1f(x在,3上連續(xù),在,3內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理可知，必存在(0,3)f023、（本題滿分20分）一火箭發(fā)射升空后沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，在距離發(fā)射臺(tái)4000m處裝有攝像機(jī)，攝像機(jī)對(duì)準(zhǔn)火箭。用h表示高度，假設(shè)在時(shí)刻t0

，火箭高度h=3000m，運(yùn)動(dòng)速度等于300m/s,（1）用L表示火箭與攝像機(jī)的距離，求在t0

時(shí)刻L的增加速度.（1）設(shè)時(shí)刻t高度為h(t，火箭與攝像機(jī)的距離為L(zhǎng)(tL(t)

h2(t)40002h240002dth240002dtdt

h dhdh dL代入h=3000m， =300m/s，得 180m/sdt dt（2）用表示攝像機(jī)跟蹤火箭的仰角（弧度，求在t0時(shí)刻??（2）設(shè)時(shí)刻t攝像機(jī)跟蹤火箭的仰角（弧度）為(t)，則有tan h4000兩邊關(guān)于t求導(dǎo)得sec2

d 1 dt 4000dth=3000msec5dh=300m/s，故

d0.048rad/s d

6 rad/s)4 dt dt dt 125《高等數(shù)學(xué)（一）》期末復(fù)習(xí)題答案一、選擇題1、C解答：第一步，先分子有理化；第二步，分子利用平方差公式，第三步，分子分母同時(shí)除以第四步化簡(jiǎn)即可。2、Bfx)x33x1，f(0)1,f(1)1，f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在實(shí)數(shù)fx)3x230，可知函數(shù)具有單調(diào)性，所以有唯一的實(shí)根。3、C本題考察不定積分的概念，不定積分是所有原函數(shù)的全體。4、C解答：利用定積分的幾何意義，所求面積為sinxdx2015、D解答：直接積分法y1

3x3C，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)可得C26、A解答：因?yàn)閘imlnxln10，所以此時(shí)是無(wú)窮小量。x17、Clim(xsin11sinx011x0 x x18、Ayex

1x2

0，所以單調(diào)增加。9、D解答： x

dx1

dx21

1 d(x21)

ln(x21)C11x21 2 x21 2 x21 21110、A解答：利用定積分的幾何意義，所求面積為1exdxex0

1e1011、B解答：先分離變量，兩端再積分yCe1x2所求通解為 212、D解答：直接積分法yx3C，當(dāng)C0時(shí)有yx313、C解答：ysinxcosx1是奇函數(shù)加上偶函數(shù)，所以是非奇非偶函數(shù)。14、B解答：limln(x1)ln10，所以此時(shí)是無(wú)窮小量。x015、A解答：limx1lim x1 lim 1 0 其它三項(xiàng)極限都不存在。xx21 x(x1)(x1) x(x1) ，16B解答：f(x)x3px1f(0)1,f(1)p0，f(x在區(qū)間(1,0)內(nèi)存f(x3x2p0，可知函數(shù)具有單調(diào)性，所以有唯一的實(shí)根。17、B解答：求導(dǎo)與求積分是互逆的運(yùn)算，先求導(dǎo)再求積分，是所有原函數(shù)所以選B18、C解答：考察定積分的概念，定積分計(jì)算完以后是一個(gè)確切的常數(shù)，可能是正數(shù)，也可能是0可能是負(fù)數(shù)。 yf(xln x x21 則20、Bfx0ff021、C解答：lim

2 =2y2 lim

2 =x0x是鉛直漸近線。

1ex2

x01ex222、D(cosxsinxdxsinxcosxCn(1)n23、A解答：分子分母同時(shí)除以n可以得到lim 1n n24、B解答：考查無(wú)窮小量的重要性質(zhì)之一，有界量和無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量，其它選項(xiàng)都不一定正確。25、Cf(xg(xdf(xdg(x(df(x))(dg(x))，其它選項(xiàng)都有反例可以排除。26、C解答：有求解斜漸近線的方法可得xsin1yxsin1klimylim

xlim101x xx x

xblim(ykx)lim(xsin1x)

10，所求斜漸近線為yx。其它選項(xiàng)都沒(méi)有。x x二、填空題

x x x1 1cosx

12x2 11、 解答：1cosx~1x2 lim lim 2 2 x0

x2x0

x2 2或者用羅比達(dá)法則也可以求解。2、2 解答： f(x)e2x2，則f(x)2e2xf(0)23、2 解答：應(yīng)用奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分為04、etxC 分析：被積函數(shù)et

相對(duì)于積分變量來(lái)說(shuō)是常數(shù)，所以

etdxetxC5、y2exy2ex

解答：yy0yCex代入初始條件y| 2得到2x0

C2所求特解為6、0解:limx24lim224lim00x2x3 x223 x2537、 解:

x2x2lim(x2)(x1)

lim(x1)

lim2134 x2

x24

x2(x2)(x2) x2(x2) x222 48、1yxsinx1ysinxxcosx則

f( 2

sin2

cos 2 29、2解：應(yīng)用性質(zhì)，奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分為0103arctanxC解：由基本的積分公式

31x2

dx3arctanxC11y2

x2C解對(duì)方程ydyxdx兩端積分ydyxdxy2x2C12、2解：利用偶函數(shù)的積分性質(zhì)

15x4dx215x4dx2x1 0

12013、1 解：

xsin2x

1sin2xx lim101x

x 1

x 1142xsinx2dx解：由微分的定義dyydx，先求出導(dǎo)數(shù)，再求微分15、1 解：yxcosx3ycosxxsinxf()cossin116、

1e22

C 解：將ex看成一個(gè)整體，利用湊微元法得exdex e2xC12117y

e22

C 解：先分離變量，再積分得通解18、yex

C 解：先整理，再分離變量求通解e6

2 2(x)(6)19、

解：利用重要極限進(jìn)行恒等變形，再求解lim(1 )3xlim(1 ) 2

e6x x x x20、xx(lnx1) 解：本題是冪指函數(shù)，利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法來(lái)求導(dǎo)數(shù)121、2

解：分母相同，分子先通分，分子分母最高次冪都是

次冪，自變量趨于無(wú)窮大，極限等于最高次冪的系數(shù)之比122、2

解：分子分母最高次冪都是3次冪，自變量趨于無(wú)窮大，極限等于最高次冪的系數(shù)之比limx

x(x1)(x2)12x3x3 23、xx(lnx1)dx解：由微分的定義dyydx，先求出導(dǎo)數(shù)，再求微分，本題是冪指函數(shù)可以利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法來(lái)求導(dǎo)數(shù)1 2x23x1 01 124、 解：lim lim 4 x0

x

x004 425、2 解：先求導(dǎo)數(shù)，再代入具體數(shù)值f(x)2e2xf(0)2e0226、2 解：利用奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)a2(1sin5x)dxa21dx227、

ex dx

解：由微分的定義

dy

a a，先求出導(dǎo)數(shù)，再求微分ex128、2 解：利用奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)2(cosx2

x31x

)dx222

cosxdx2

2cosxdx2.0三、解答題1（9）x10解：由題意可得，2x0x1解得x2所以函數(shù)的定義域?yàn)閇2（10）f(0)x0

f(x)f(0)x03（10）解：方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，得yx2x6將x0代入上式，得y(0,1)6從而可得：切線方程為y16(x0) 即y6x14（10）解：作平面區(qū)域，如圖示yx

y1y=x=x2y0 1x解方程組yx2（，011）x2 x31 10所求陰影部分的面積為：S1(xx2)dx= =005（10）

2 3 6解： limf(x)limx23f(1)x1 x1fx)x16（10）解：將原方程化為dy(2x兩邊求不定積分，得

dy

(2x，于是yx23xC將y| 3代入上式，有313C，所以C1，x1yx23x17（9）x405x0x4解得x5所以函數(shù)的定義域?yàn)閇8（10）f(0)x0

f(x)f(0)x09（10）x2xyxy6yy0將點(diǎn)（2，1）代入上式，得y 1(2,1)從而可得：切線方程為y1(x2) 即xy3010（10）解：所求陰影部分的面積為S11（10）

1(ex1)dx0解： limf(x)limex10f(0)x0 x0fx)x012（10）由方程y2)dxx2)dy0，得

dy1y

dx1x2得arctanyarctanxCarctanyarctanxCytan(arctanxC)13（10）Fxx57x4，F(xiàn)x在F(1)100，

上連續(xù)由零點(diǎn)定理可得，在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè) ，使得函數(shù)F()5740，x57x40在區(qū)間(1,2內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。14（10）解：f(0)lim

f(x)f(0)lim(x1)(x2)

(x2015)2015!x0

x0

x015（10）解：方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，得eyyyxy0將點(diǎn)（0，1）代入上式，得y

(0,1)

1e從而可得： 法線方程為yex116（10）解：作平面圖形，如圖示17（本題滿分10分） 2解： limf(x)limcosx1f(0)

y=2x2x0

x0

y=cosxx∴f(x)在x0處是連續(xù)的。 018（10）dy dy解：將原方程化為d