全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

題號

題號

一～ ～

三

總分得分評卷人復(fù)查人答題時注意：．用圓珠筆或鋼筆作答；．解答書寫時不要超過裝訂線；．草稿紙不上交.一、選擇題（共

小題，每小題

分，共

分.每道小題均給出了代號為A，B，，

的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得

分）（甲）．如果實數(shù)，

b，

在數(shù)軸上的位置如圖 所

b

()bA．B．b．．（乙）．如果

，那么

A． B．

．

．

的值為（）．

≠

與反比例函數(shù)

bb的圖象有兩個交點，其中一個交點的坐標(biāo)為

，，那么另一個交點的坐標(biāo)為（）．A．， B．

，

．

， ．

，

≤

的整數(shù)點坐標(biāo)

，

的個數(shù)為（）．A． B．

．

．（甲）．如果，b為給定的實數(shù)，且

b，那么，

，

b，b

這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對值是（）．A． B．

．

．

A．

pB．

p．

p．

p（乙）．黑板上寫有

L

共

個數(shù)字．每次操作先從黑板上的數(shù)

中，A．

pB．

p．

p．

p（乙）．黑板上寫有

L

共

個數(shù)字．每次操作先從黑板上的數(shù)，，則的長為（）．A．

B． ．

．（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣．小倩對小玲說：“你若給我

元，我的錢數(shù)將是你的n倍”；小玲對小倩說：“你若給我n元，我的錢數(shù)將是你的

倍”，其中n為正整數(shù)，則n的可能值的個數(shù)是（）．A． B． ． ．（乙）．如果關(guān)于的方程

q

（p，q是正整數(shù)）的正根小于，那么這樣的方程的個數(shù)是（）．A． B． ． ．（甲）．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是

，，，，，．?dāng)S兩次骰子，設(shè)其朝上的面上的兩個數(shù)字之和除以

的余數(shù)分別是

，，，的概率為

p，p，p

，p

，則

p，p，p

，p

中最大的是（）． 中選取

個數(shù)，b，然后刪去

，b，并在黑板上寫上數(shù)b，則經(jīng)過

次操作后，黑板上剩下的數(shù)是（）．A． B． ． ．二、填空題（共

小題，每小題

分，共

分）（甲）．按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運行從“輸入一個值”到“結(jié)果是否”為一次操作.如果操作進(jìn)行四次才停止，那么的取值范圍是.

，那么

b

的值為．（乙）.如果，b，

，那么

b

的值為． b b

b

b

（甲）．如圖，正方形

的邊長為

，E、F分別是

、的中點，

與DE、

分別交于點M、N，則△的面積是.（乙）．如圖，⊙的半徑為

，是

⊙上一點。以

為對角線作矩形

，且

.延長，與

⊙分別交于，E兩點，則CE的值等于．（甲）．如果關(guān)于的方程

的兩個實數(shù)根分別為

，

，那么

的值為．（乙）．設(shè)n為整數(shù)，且≤≤.若(

能被

整除，則所有n的個數(shù)為.（甲）．

位八年級同學(xué)和m位九年級同學(xué)一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場．記分規(guī)則是：每場比賽勝者得

分，負(fù)者得

分；平局各得

分.比賽結(jié)束后，所有同學(xué)的得分總和為

分，而且平局?jǐn)?shù)不超過比賽局?jǐn)?shù)的一半，則m的值為.（乙）．如果正數(shù)，，可以是一個三角形的三邊長，那么稱

是三角（，b，）和（，b，）和

，，均為三角形數(shù)，且≤b≤，

則

的與

與

軸交于點E，且 .已知經(jīng)過，C，E三點的圖象是一條拋物線，的點，與

⊙

交于點

E在

DE，BE

的延長線與⊙

交于點F，求證：△∽△

F

．e

的內(nèi)接四邊形

中，，

是它（甲）．如圖，四邊形

內(nèi)接于

⊙，

是 直徑，

.分別延長，

，交點為E.作BF

EC，并與 EC的延長線交于點F.若

，

，則CF的長為.（乙）．已知n是偶數(shù)，且≤≤

．若有唯一 的正整b數(shù)對使得

b

n成立，則這樣的n的個數(shù)為．b三、解答題（共

題，每題

分，共

分）（甲）．已知二次函數(shù)

（m）m

，當(dāng)

時，恒有

；關(guān)于的方程

mm的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和小于

．求m的取值范圍．（乙）．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，

，

，

．△

eq

\o\ac(△,S) 求這條拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式.（甲）．如圖，⊙的直徑為

，

⊙

過點，且與

⊙內(nèi)切于點．C為

⊙上 的對角線，

的中點I

是△的內(nèi)心.求證：（）是△的外接圓的切線；（）

.（甲）．已知整數(shù)，b滿足：

b是素數(shù)，且

是完全平方數(shù).當(dāng)≥時，求的最小值.n邊形中最多有多少個內(nèi)角等于？ 并說明理由．

L

n.（乙）．將，，，

≥

任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)且

L

n.（乙）．將，，，

≥

任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)

L（甲）．求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)，，，

，滿足

L

，L

L，b，（可以相同）使得b，求n的最小值．

一、選擇題（甲）．解：由實數(shù)，b，在數(shù)軸上的位置可知b，且

b

，所以

b

bbb

．（乙）．B

．

（甲）．解：由題設(shè)知，

，

b，所以

b.

得

，

，

；

解方程組

，，

b

b

b，注：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對稱性，可知兩個交點關(guān)于原點對稱，因此另一個交點的坐標(biāo)為

，

.（乙）．B解：由題設(shè)

≤

，得≤

(

(

≤.因為均為整數(shù)，所以有解得.以上共計

對.（甲）．解：由題設(shè)知，

b

b，所以這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 中位數(shù)為

b

b， 于是

b

b

. （乙）．B為邊作等邊

△CDE

.由于

，

CE，DCE，

，，，，所以

的值只能為

，所以△≌△

，，，，所以

的值只能為

，.又因為°，所以°.在△中，

，，于是DE

，所以

DE

.（甲）．解：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為元、小玲所有的錢數(shù)為元，均為非負(fù)整數(shù).由題設(shè)可得消去得

，n

.

因為

為正整數(shù)，所以

的值分別為，，．從而n的值分別為

，，，；的值分別為

，，，．（乙）．解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知，兩根的乘積為

q

，故方程的根為一正

q

時，

pq

pq

.由于

pq都是正整數(shù)，所以

p

，

q；或

p

，

q，此時都有

p

q

.于是共有

組pq符合題意．（甲）．解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對共有

個，其和除以

的余數(shù)分別是

，，，

的有序數(shù)對有

個，

個，

個，

個，所以

p

p

p

p

p

p

（乙）．解：因為b

b

，所以每次操作前和操作后，黑板上的每個數(shù)加后的乘積不變．設(shè)經(jīng)過

次操作后黑板上剩下的數(shù)為，則

，g

解得

，

．二、填空題（甲）．

≤解：前四次操作的結(jié)果分別為，

，

，

由已知得解得

≤.容易驗證，當(dāng)

≤時，≤

，故的取值范圍是

≤．（乙）．解：由已知可得（甲）．

．

AN

，于是

.

，解：連接DF，記正方形

的邊長為

.由題設(shè)易知

△∽△

，所以

AN

，于是

.

， BF 由此得

，所以

AN

.在△中，因為

，BF

，所以

BF

，

由題設(shè)可知△≌△，所以

o.于是

AM

AM

，

AM

，

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

，所以eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

.eq

\o\ac(△,S) 又 因為

，所以 .△（乙）．

解：如圖，設(shè)

DE的中點為M

，連接

，則

DE．因為

，所以

，

．

．

.

≥

.

≥，

（乙）． （甲）．解：根據(jù)題意，關(guān)于的方程有 由此得

．又

，所以

，從而

.此時方程為

，解得

. 故

．

解：因為(

=n

n

=(

.當(dāng)n被

除余數(shù)是

或

時，

或

能被

整除，則(

能被

整除；當(dāng)n被

除余數(shù)是

或

時，n

能被

整除，則(

能被

整除；當(dāng)n被

除余數(shù)是

時，(

不能被

整除.所以符合題設(shè)要求的所有n的個數(shù)為

．（甲）．解：設(shè)平局?jǐn)?shù)為，勝（負(fù)）局?jǐn)?shù)為b，由題設(shè)知b

，由此得≤b≤

.又b

m

m，所以b

m

m.于是b

m

m

，m

m，由此得m，或m.當(dāng)m時，b

，

；當(dāng)m時，b，

，

b

，不合題設(shè). 故m．（乙）．（乙）． 解：由題設(shè)得

所以

所以

，

，

由二次函數(shù)

的圖象及其性質(zhì)，得又因為

，所以 b 即

. 整理得

.

.（甲）．

解：如圖，連接，

，..由

是e

的直徑知°.依題設(shè)BFC

°，四邊形

是e

的內(nèi)接四邊形，所以BCF

，所以△BCF∽△

，因此

.CF 因為是e

的半徑，

，所以垂直平分

，

∥，于是

DE

.因此 DE

，CE

.由△

∽△

CEB，知DEEC

BE．因為

BE

， 所以

，

，故CF

BC

.（乙）解：由已知有

b

b

，且n為偶數(shù)，所以b，b同為偶數(shù)，于是n是

的倍數(shù)．設(shè)m，則≤m≤

．（Ⅰ）若m

，可得b，與b是正整數(shù)矛盾．（Ⅱ）若m至少有兩個不同的素因數(shù)，則至少有兩個正整數(shù)對b滿足b

b

m；若m恰是一個素數(shù)的冪，且這個冪指數(shù)不小于

，則至少有兩個正整數(shù)的關(guān)系得對b滿足

bb

m．的關(guān)系得 （Ⅲ）若m是素數(shù)，或m恰是一個素數(shù)的冪，且這個冪指數(shù)為，則有唯一的正整數(shù)對b滿足

bb

m． 因為有唯一正整數(shù)對b，所以m

的可能值為

，，，，，，，，，，，，共有

個．三、解答題（甲）．解：因為當(dāng)

時，恒有

，所以

m

m 即m

，所以m

．…………（

分）當(dāng)

時，

；當(dāng)

時，

，即(

(mm≤

，且

mm≤

，解得m≤

．…………（

分）設(shè)方程mm

的兩個實數(shù)根分別為，

，由一元二次方程根與系數(shù)

m，

m

．

因為

因為

，所以m

， 解得m

，或m．因此m

．

m

…………（

分）（乙）．解：因為

，

，所以 由勾股定理，得

.易知△

≌△，因此

.于是

，，

，

，C，.設(shè)點的坐標(biāo)為

設(shè)點的坐標(biāo)為

m，

，由，得

|

， 解得.

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

n

n

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

.所以為.因此為

的中點，點的坐標(biāo)為

為.…………（

分）因此，

分別為

，的兩條中線，點E為△的重心，所以點E的坐標(biāo) 設(shè)經(jīng)過，C，E三點的拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為

.將點E的坐標(biāo)代入，解得

.故經(jīng)過，C，E三點的拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為

.

…………（

分）

DE△CBE是等腰三角形．

所以

，所以…………（

，所以…………（

分）△∽△

F．…………（

分）由BC

，知

.設(shè)與

交于點M，連接

，則

．又 因為

DBF

F．又因為，

F

分別是等腰△，等腰△

F的頂角，所以 （乙）．證明：（）如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性 質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)知所以CI

．同理，CI

.故點C是△的外心.連接

，，因為I

是

的中點，且，所以

，即

CI.故是△外接圓的切線.…………（

分）（）如圖，過點I

作IE

于點E，設(shè)與

交于點F.? ?因為CBF

IAE，

CI

，所以eq

\o\ac(△,Rt) BCF≌eq

\o\ac(△,Rt) AIE，所以BF

.又因為I

是△的內(nèi)心，所以故

．

.…………（

分）（甲）．解：設(shè)bm（m是素數(shù)），n

（n是正整數(shù)）.因為b

b

，所以m

m，…………（

分）因為m與m都是正整數(shù)，且mmm為素數(shù)，所以mn

m，m

.m

m

， m

.

n

于是bm

m

.又≥，即

m

.

…………（

分）又因為m是素數(shù)，解得m

≥

.此時，≥

當(dāng)

時，m，b

，.因此，的最小值為

.…………（

分）n邊形中有個內(nèi)角等于°°的內(nèi)角有個．（）若

，由°

°，得

，正十二邊形的

個內(nèi)角都等于°；…………（

分） （）若

，且

≥

，由°

°

°，可得

，即≤ 當(dāng)

時，存在凸n邊形，其中的

個內(nèi)角等于°，其余個內(nèi)角都等于

，

°．

nn

n

…………（

分）

≥

，

≥，…，≥

．

≥

，

≥，…，≥

．…………（

分）當(dāng)

時，設(shè)另一個角等于

．存在凸n邊形，其中的

個內(nèi)角等于°，另 一個內(nèi)角

°

°

( 由≤可得

n

；由

≥

可得

n

，且

…………（

分）（）若

，且

≤≤，由（）可知≤

．當(dāng)

時，存在凸n邊形，其中個內(nèi)角等于°，另兩個內(nèi)角都等于

°．綜上，當(dāng)