4-第3章 有限元分析的力學(xué)基礎(chǔ)

3章有限元分析的力學(xué)基礎(chǔ)由固體材料組成的具有一定形狀的物體在一定約束邊界下（外力、溫度、位移約束等）變形本章的主要內(nèi)容就是彈性力學(xué)中的基礎(chǔ)部分。變形體的描述、變量定義、分量表達(dá)變形體在外力的作用下，若物體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間發(fā)生相對(duì)移動(dòng)，這樣的物體叫做變形體(deformedbody)狀變形體和。簡(jiǎn)單變形體如桿、、柱等，材料力學(xué)和研究的主要對(duì)象就是簡(jiǎn)單變形體，而有限元方法和?；咀兞?位移應(yīng)該是最直接的變量，它將受3.1所示。在外部力和約束作用下的變形體在外部力和約束作用下的變形體位移的描述形狀改變的描述力的描述材料的描述圖3.1 變形體的描述描述位移是最直接的，因?yàn)榭梢灾苯佑^測(cè)，描述力和材料特性是間接的，需要我們?nèi)ザx新的變量，如圖3.2所示，可以看出應(yīng)包括位移、變形程度、受力狀態(tài)這三個(gè)方面的變量，當(dāng)然，還應(yīng)有材料參數(shù)來(lái)描述物體的材料特性。27位移位移物體變形后的位置應(yīng)變物體的變形程度應(yīng)力物體的受力狀態(tài)材料參數(shù)物體的材料特性圖3.2變形體的描述及所需要的變量總之，在材料確定的情況下，基本的力學(xué)變量應(yīng)該有：·位移(displacement)(描述物體變形后的位置)·應(yīng)變(strain)()·應(yīng)力(stress)()對(duì)于任意形狀的變形體，我們希望建立的方程具有普遍性和通用性，因此，采用 微小體元(representativevolume)dxdydz的分析方法來(lái)定義位移、應(yīng)變、應(yīng)力這三類變量?；痉匠蘢xdydz：·受力狀況的描述：平衡方程(equilibriumequation)·變形程度的描述：幾何方程(strain-displacementrelationship)·物理方程(應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系或本構(gòu)方程)(stress-strainrelationshiporequation)彈性體的基本假設(shè)為突出所處理問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，并使問(wèn)題有得以簡(jiǎn)單化和抽象化，在彈性力學(xué)中，提出以下五個(gè)基本假定本假定。(continuity)象。(homogeneity)各個(gè)位置材料的描述是相同的。力學(xué))(isotropy)上具有相同特性，因此，同一位置材料在各個(gè)方向上的描述是相同的。(linearelasticity)恢復(fù)原狀，因此，描述材料性質(zhì)的方程是線性方程。小變形(small)假定，即物體變形遠(yuǎn)小于物體的幾何尺寸，因此在建立方程時(shí)，可以忽略高28階小量()。以抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。平面問(wèn)題的基本力學(xué)方程平面問(wèn)題(2-dimensionalproblem)，簡(jiǎn)稱2D問(wèn)題。狀況)。如前所述，描述這樣的對(duì)象需要三大類變量、三大類方程和邊界條件。三大類方程為·)·)·材料的物理方程(變形體的內(nèi)部、邊界)邊界條件為·)·)三大類方程之一：力的平衡方程微小體元上的平面應(yīng)力分量平面空間特殊方向(z)上，因此，認(rèn)為在沿厚(adxdy_t(t)，如圖3.4()x方向和沿y((normalstress))(shearstress)3.4邊tbc_tad_txdxcd_tab_tydy的距離。下面給出各個(gè)側(cè)面上的應(yīng)力定義：P lim x

(3.1)yx A0Ayy其中Ay

表示法線方向沿y軸的平面，P

為作用在A

x方向的分量，若用指標(biāo)符號(hào)來(lái)表示，可寫(xiě)成

。若改變(3.1)式中的下標(biāo)，可以得到各個(gè)側(cè)面上沿各個(gè)方向的應(yīng)力。xyyx 21xy3.4bx和byx方向和y方向的(bodyforce)。29xy受力面的法線方向 力的方向圖3.3應(yīng)力符號(hào)的含義圖3.4 空間坐標(biāo)系中的平面問(wèn)題(z方向無(wú)任何力，其等厚度為在推導(dǎo)平衡方程之前，做好以下準(zhǔn)備。準(zhǔn)備1：應(yīng)力的增量計(jì)算在推導(dǎo)平衡方程時(shí)，需要計(jì)算不同位置截面上的應(yīng)力，不同截面的幾何位置將有一個(gè)dx或dy的差別，以xx為例，由高等數(shù)學(xué)中的Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，有 (xdx,y)

(x,y)

(x,y) 2xx dx xx

(x,y)

(dx)2

(3.2)xx xx略去二階以上微量，有

x 2x2(x,y) (xdx,y)xx

(x,y) xx dxx

(3.3)對(duì)應(yīng)于bc_t 對(duì)應(yīng)于ad_t側(cè)面上的正應(yīng)力側(cè)面上的正應(yīng)準(zhǔn)備2：應(yīng)考慮各個(gè)方向合力的平衡在表達(dá)各個(gè)面上的合力時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①有四個(gè)側(cè)面，在平衡方程中，應(yīng)考慮所有合力的平衡；②應(yīng)力在經(jīng)過(guò)dx或dy變化后的位置上有增量表達(dá)；③約定：正應(yīng)力沿外法線方向?yàn)檎?，剪?yīng)力的正方向如圖3.4所示；④應(yīng)力在各個(gè)側(cè)面上為均勻分布。微小體元的幾個(gè)平衡關(guān)系對(duì)如圖3.4所示的微小體元dxdy_t(平面問(wèn)題)，應(yīng)考慮以下平衡關(guān)系：①沿x方向所有合力的平衡；30②沿y方向所有合力的平衡；③所有合力關(guān)于任一點(diǎn)的力矩平衡。就平衡關(guān)系①，有F 0 (3.4)x具體地，有 (xy)dytxx

(x,y)dytxx

(x,ydy)dxtyx

(x,y)dxtbyx

dxdyt0bc_t側(cè)面上x(chóng)方向的合力 ad_t側(cè)面上x(chóng)方向的合力bc_t側(cè)面上x(chóng)方向的合力ad_t側(cè)面上x(chóng)方向的合力cd_t側(cè)面上x(chóng)方向的合力ab_t側(cè)面上x(chóng)方向的合力體積合力(x方向)其中b和b分別為沿x方向和y方向的單位體積力。利用(3.3)式，上式化為x y

xx

xxdxdyt dyt xx yx

yxdydxt x dxtbyx

dxdyt0

(3.5)進(jìn)一步化簡(jiǎn)后，有 xx yxb 0

(3.6)x y x同理，就平衡關(guān)系②，由Fy0，有yyxyb

0 (3.7)y x y就平衡關(guān)系③(力矩平衡)，對(duì)微小體元dxdy_t的中心點(diǎn)求力矩，由Mo0，得

dy dy yx

dy dxt dxtyx y

2 2 dx dx

(3.8) xy

xydx dyt dyt 0 xy x 2 2略去高次項(xiàng)后，有 (3.9)xy yx(reciprocaltheoremofshearstress)程中去。微小體元的平衡方程歸納以上的推導(dǎo)，平面問(wèn)題的平衡方程為31xx

b 0xyyxy

b 0y

(3.10) xy yx如果代換其中的第三式，則(3.10)式可寫(xiě)為兩個(gè)方程，即xx

b 0x x y

(3.11)yyxyb

0y

y 三大類方程之二：變形的幾何方程設(shè)一個(gè)變形體微小體元的平面直角在變形前為APB，而變形后為APB，P點(diǎn)變形到P點(diǎn)的x方向位移為u，y方向位移為v，如圖3.5所示。圖3.5 平面問(wèn)題中的變形表達(dá)應(yīng)變的定義從圖3.5可以看出，平面物體在受力后，其幾何形狀的改變主要在兩個(gè)方向：沿各個(gè)方向上的長(zhǎng)度變化以及夾角的變化，下面給出具體的描述。x方向的相對(duì)伸長(zhǎng)量為uPAPAxdxu

(3.13)xx PA dx xy方向的相對(duì)伸長(zhǎng)量為vPBPB dy

(3.14)yy PB dy 定義夾角的變化PA線與PA線的夾角為 vdxv

(3.15)dx PB線與PB線的夾角為32 u u

dyy

u

(3.16)dy y則定義夾角的總變化為

(3.17)xy 平面變形體的幾何方程歸納以上方程，則平面問(wèn)題中定義應(yīng)變的幾何方程為 uxx x vyy y

(3.18)xy y 寫(xiě)成指標(biāo)形式 1ij 2

i,j

u j,i

(3.19)由幾何方程可以看出，就平面問(wèn)題，如果已知2uv(3.18)式惟一求出332個(gè)位移分量u和3個(gè)應(yīng)變分量滿足一定的關(guān)系(compatibility其物理意義是，材料在變形過(guò)程中應(yīng)是整體連續(xù)的，不應(yīng)出現(xiàn)“撕裂”和“重疊”現(xiàn)象，如圖3.6所示。(a)變形前 (b)變形后的“撕裂”現(xiàn)象 (c)變形后“重疊”現(xiàn)象(d)協(xié)調(diào)的變形狀圖3.6 變形的協(xié)調(diào)性基于幾何方程，可以推導(dǎo)出變形協(xié)調(diào)條件為xxy2

yyx2

3uy2

3vx2y

(3.20)2 u v 2

xyy x 2即 xx

2

2 xy

(3.21)y2

x

xy只有滿足了變形協(xié)調(diào)條件(3.21)的應(yīng)變分量或應(yīng)力分量(該方程也可通過(guò)物理方程用應(yīng)力分量來(lái)表33達(dá))，才能惟一確定變形體的連續(xù)位移場(chǎng)。三大類方程之三：材料的物理方程材料的物理方程也叫做材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系或本構(gòu)方程。根據(jù)廣義 Hooke定律Hookelaw)，平面應(yīng)力情況下的物理方程為E 1Exx xx 1yy E

yy xx

(3.22) 1xy G xy 寫(xiě)成矩陣形式為：

1 E E 1

0 0 x y E E

yxy 0

0

)

xy或逆形式

E E xx 12

xx yy Eyy 1

yy xx

(3.23) xy

xy 其中E(elasticmodulus)modulus)，G(Shearmodulus)，為泊松比(Poission’sratio)，且有關(guān)系G E2)

(3.24)邊界條件Su p 邊界條件(boundaryBC=S+S，其中SSu p p位移邊界條件在平面問(wèn)題中，有關(guān)于x方向和y方向的位移邊界條件，即34uu

在S上 (3.25)vv u其中u和vSuxy為給定的位移邊界。力的邊界條件對(duì)于如圖3.7所示的力邊界條件，p和p 可分為所作用的沿x方向和y方向的面力在力的邊x y界上取微小體元dxdy_t(平面問(wèn)題)并考察它的平衡問(wèn)題。圖3.7 邊界條件由微小體元的x方向合力平衡，有 dytxx

dxtpx

dst0 (3.26)注意ds為邊界上斜邊的長(zhǎng)度，邊界外法線n的方向余弦為n dy/ds，n dx/ds，則上式簡(jiǎn)化為x y nxx x

n pyx y x

(3.27)同樣，可建立y方向合力和力矩的平衡方程；將微小體元的三個(gè)平衡方程匯總，有 nxx x

nyx

pxnyy y

nxy

p 在S上y p

(3.28)xy yx其中S為給定的力邊界，由于 ，則重寫(xiě)上式，有p xy yx nxx x

nyx

px 在S上

(3.29) nyy y

nxy

p py邊界條件匯總將位移邊界條件記為BC(u)，將力邊界條件記為BC(p)。綜上所述，將邊界條件寫(xiě)成指標(biāo)形式。BC(u)

u u 在S上i i u

(3.30)BC(p)

n pij j

在S上p

(3.31)n其中為邊界一點(diǎn)上外法線的方向余弦。nj35空間問(wèn)題的基本力學(xué)方程空間問(wèn)題(3-dimensionalproblem)，簡(jiǎn)稱3D問(wèn)題。可將2D問(wèn)題的基本方程推廣到3D問(wèn)題，圖3.8為3D情形下的應(yīng)力分量。圖3.8 空間問(wèn)題中的應(yīng)力分量空間問(wèn)題的基本力學(xué)變量xy方向、zv，w)，而應(yīng)力分量有9個(gè)，見(jiàn)圖3.8，由剪應(yīng)力互等，有 ， ， ，因此獨(dú)立xy yx yz zy zx xz的應(yīng)力分量為6個(gè)，應(yīng)變分量的情況與應(yīng)力相同，空間問(wèn)三大類變匯總?cè)缦挛灰品至縱 w應(yīng)變分量：xx應(yīng)力分量：xx

yy zzyy

xyxy

yzyz

zxzx空間問(wèn)題的三大類力學(xué)方程和邊界條件可以完全按平面問(wèn)題的推導(dǎo)方法，或直接將2D情形下的方程進(jìn)行擴(kuò)展得到以下方程。平衡方程xx

b 0 xx y z xyyyzy

0

(3.32)x y z y xz

zzb 0 x y z z 幾何方程36 u, xx x

v, y

w z v u w v w u

(3.33) , , xy x y yz y z zx x z) 1xx E

yy

zz1 yy E

xx

zz 1

(3.34) zz E

xx yy 1 ,xy G xy

1 , G yz

1 G zx 或?qū)懗闪硪环N形式 Exx 12 Eyy 12 E

xx yyyy xx

zz zz

(3.35)zz 12 zz xx yy G ,xy xy

G , yz

G zx(BC)位移邊界條件BC(u)uuvvww

在S上 u

(3.36)力邊界條件BC(p) n nxx x yx

n p zx z xnxy x

nyy

n p zy z y

在S上 (3.38)pnxz x

n yz y

n pzz z z以上變量和方程是針對(duì)從任意變形體中所取出來(lái)的dxdydz微小體元來(lái)建立的，因此，無(wú)論所研究對(duì)象)和邊界條件BC(u)及BC(p)如何處理變形體的幾何形狀和邊界條件。37彈性問(wèn)題中的能量表示彈性問(wèn)題中的自然能量包括兩類：①施加外力在可能位移上所做的功，②變形體由于變形而存儲(chǔ)的能量。(余能()等，下面分別給出具體的表達(dá)式。外力功的和(workbyforce)包括這兩部分力在可能位移上所做的功。①在力邊界條件上，由外力(面力)p在對(duì)應(yīng)位移u上所做的功(在S上)。i i p②在問(wèn)題內(nèi)部，由體積力b在對(duì)應(yīng)位移u上所做的功（在內(nèi)）i i則外力的總功為W

(bubx

vby

w)dpupS x p

vpz

wdA

(3.39) bu i i

d

pudAS i ip應(yīng)變能)(strain。3D與應(yīng)變的對(duì)應(yīng)關(guān)系為 xx

zz xy

zx xx yy

xy yz zx變的應(yīng)變能。下面分別討論這兩種情形下應(yīng)變能計(jì)算。對(duì)應(yīng)于正應(yīng)力與正應(yīng)變的應(yīng)變能3.9Oxy平面內(nèi)考察由于主應(yīng)力和主應(yīng)變的作用所產(chǎn)生的應(yīng)變能。設(shè)在微小體元d=dxdydz上只作用 與，這時(shí)微體的厚度為dz，則由圖3.9中的力與位移的關(guān)系，即F~uxx xx曲線(可由試驗(yàn)所得)，可求得微體上的應(yīng)變能為U(,)

1Fu12 2

xx

dx)1xx 2

dxx xx

(3.40)則在整個(gè)物上， xx

所產(chǎn)生的應(yīng)變能為U

1 d

(3.41)(,)

(,)

2 xx xx38圖3.9 正應(yīng)力與正應(yīng)變產(chǎn)生的應(yīng)變能(另外兩個(gè)方向上的主應(yīng)力和主應(yīng)變(yy

，yy

所產(chǎn)生的應(yīng)變能與上面的計(jì)算公式類似。)zz)對(duì)應(yīng)于剪應(yīng)力與剪應(yīng)變的應(yīng)變能xy3.10dxdydzxy

與，這xydz時(shí)微體的厚度為，由于dzxy

是剪應(yīng)力對(duì)，即為xy

和，將其分解為兩組情況分別計(jì)算變形能，如圖yx3.10所示。由 與 的作用，在微體上產(chǎn)生的應(yīng)變能力xy xyU(,)xy

12

dxdzyx

12

dydzdxxy

(3.42)12

yx

1 d2 xy xy圖3.10 剪應(yīng)力與剪應(yīng)變產(chǎn)生的應(yīng)變能在整個(gè)物體上，xy

與 所產(chǎn)生的應(yīng)變能為xyU 1

d (3.43),)xy 2 xy xy另外的剪應(yīng)力和剪應(yīng)變( 與 ， 與 )所產(chǎn)生的應(yīng)變能與上面的計(jì)算公式類似。yz yz zx zx整體應(yīng)變能由疊加原理，將各個(gè)方向的正應(yīng)力與正應(yīng)變、剪應(yīng)力與剪應(yīng)變所產(chǎn)生的應(yīng)變能相加，可得到整體應(yīng)變能U1 2

xxxx

yy

zz

xy

zx

yz yz

(3.44)若用指標(biāo)形式來(lái)寫(xiě)變形體的應(yīng)變能，則有

(3.45)39系統(tǒng)的勢(shì)能對(duì)于受外力作用的變形體，基于它的外力功(3.39)和應(yīng)變能(3.44)的表達(dá)，定義系統(tǒng)的勢(shì)能(Potentialenergy)為IIUW12

xxxx

yy

zz

xy

yz

du x

vby

ux Sp

vp

wdAz

(3.46)1dbudpudA2 ij

i

S ii3.6 虛功方程條件的任何可能的無(wú)限小位移，虛位移不改變物體上原有外力的作用。物體上的外力在虛位移上所。對(duì)于剛體，作用在其上的平衡力系在任意虛位移上的總虛功必等于零，這就是剛體的虛位移原理。實(shí)際上，它是以功的形式表達(dá)的剛體平衡條件。方程推導(dǎo)出來(lái)的，因此，理解虛功方程的實(shí)質(zhì)，對(duì)于今后理解、推導(dǎo)單元的剛度矩陣、載荷向節(jié)點(diǎn)的移置等很有幫助。vx3.11所示。該物體是在體積力分量F、vxFF 的作用下、在自由邊界c上所受表面上的分量為F、F 、F的作用下、在約束邊界c的vy vz 1 x y z 2作用下，處于平衡狀態(tài)?？梢韵胂螅谝陨陷d荷作用下，物體肯定發(fā)生了變形，在物體內(nèi)部肯定引起了真實(shí)的應(yīng)力： x y

z xy

yz zx

T。顯然，物體就是在這樣一種條件下，處于平衡狀態(tài)，每個(gè)微單元體上的力系也都是一個(gè)平衡力系。40圖3.11 現(xiàn)在設(shè)想該變形體發(fā)生了任意的虛位移{f*}u* v* w*T，相應(yīng)的虛應(yīng)變 *}**x y

** *z xy yz

*Tzx

，我們來(lái)計(jì)算相應(yīng)的虛功。我們可以從兩個(gè)方面著手來(lái)計(jì)算虛功。一個(gè)是從整體的角度，計(jì)算變形體上的外力在相應(yīng)的虛位移上的虛功；另一個(gè)是從微觀的角度，計(jì)算每一個(gè)微單元體上的力在相應(yīng)的虛位移上的虛功，然后積分求和，得到總的虛功，再根據(jù)從這兩個(gè)角度計(jì)算得到的虛功相等這一條件來(lái)得到虛功方程。整體的角度：作用在微單元體上的平衡力系中有體積力和各側(cè)面上的應(yīng)力組成的力系，因此，作用在所有微單元體上的力系的虛功之總和W*也相應(yīng)地由兩部分組成：總W*W*總 體

W*側(cè)面力F式中，體力的總虛功W* F

u*F v*F

w*

；微單元體各側(cè)面力的總虛W* 。又體力 V

vy vz

側(cè)面力可分為兩部分：一部分是物體內(nèi)部相鄰單元體公共側(cè)面上的側(cè)面力的總虛功，另一部分是物體邊界c2上的虛位移為零，所以相應(yīng)的側(cè)面力的虛功也

用的自由邊界c1 上的表面力虛功不為零，故有W*

Fu*

Fv*

Fw*dA。因此：側(cè)面力

x y z W*(Fu*Fv*Fw*)dVFu*Fv*F

w*dA(3.47)總 V vx vy vz x y z微觀的角度：因?yàn)槊總€(gè)微單元體的虛位移可以分解剛體虛位移和變形虛位移兩部分，所以W*也總相應(yīng)地由兩部分組成：W*W*總 剛

W*變形式中，平衡力系在剛體虛位移上的總虛功W*剛體

0，只有在變形虛位移上的總虛功W*變形

0。3.12aydxdzy向虛變形位移*dy上所作的虛變形功為

y*dxdydzxz方向還有y

y*dxdydz和x x

y*dxdydz。由圖3.1