§4二重積分的變量變換

§4

二重積分的變量變換本節(jié)將介紹二重積分的變量變換公式,并用格林公式加以證明.特別對常用的極坐標(biāo)變換方法作了詳細(xì)的討論.

一、二重積分的變量變換公式返回三、二重積分的廣義極坐標(biāo)變換二、二重積分的極坐標(biāo)變換一、二重積分的變量變換公式在定積分的計(jì)算中,我們得到了如下結(jié)論:設(shè)在區(qū)間上連續(xù),當(dāng)從變到時(shí)嚴(yán)格

單調(diào)地從a變到b,且連續(xù)可導(dǎo),則當(dāng)(即)時(shí),記則

利用這些記號,公式(1)又可

寫成當(dāng)(即)時(shí),(1)式可寫成故當(dāng)為嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)可微時(shí),(2)式和(3)式可

統(tǒng)一寫成如下的形式:下面要把公式(4)推廣到二重積分的場合.為此先給出下面的引理.引理

設(shè)變換將

uv

平面

上由按段光滑封閉曲線所圍的閉區(qū)域,一對一地

映成

xy

平面上的閉區(qū)域

D.函數(shù)在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式則區(qū)域

D的面積

(5)證

下面給出當(dāng)在內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

時(shí)的證明.(注:對具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)條件下的一般證明,將在本章§9中給出.)由于

T是一對一變換,且因而

T

把的

內(nèi)點(diǎn)變?yōu)?/p>

D的內(nèi)點(diǎn),所以的按段光滑邊界曲線

也變換為

D的按段光滑邊界曲線.設(shè)曲線的參數(shù)方程為由于按段光滑,因此在上至多除

去有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外,在其他的點(diǎn)上都連續(xù).又

因所以的參數(shù)方程為若規(guī)定從變到時(shí),對應(yīng)于的正向,則根據(jù)格

林公式,取有另一方面,在

uv

平面上其中正號及負(fù)號分別由從變到時(shí),是對應(yīng)于的正方向或負(fù)方向所決定.由(6)及(7)式得到令在uv平

面上對上式應(yīng)用格林公式,得到由于函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),即有因此

于是又因?yàn)榭偸欠秦?fù)的,而在上不為零且

連續(xù),故其函數(shù)值在上不變號,所以定理21.13

設(shè)在有界閉區(qū)域

D上可積,變換將

uv

平面由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域一對一地映成

xy

平面上的閉區(qū)域

D,函數(shù)在內(nèi)分別具有

一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式證

用曲線網(wǎng)把分成

n

個(gè)小區(qū)域,在變換

T

作用

下,區(qū)域

D也相應(yīng)地被分成

n個(gè)小區(qū)域.記及

的面積為及在對

y的則有其中令則作二重積分的積分和加強(qiáng)條件下,由引理及二重積分中值定理,有這個(gè)和式是可積函數(shù)的分割的細(xì)度時(shí),D的

相應(yīng)分割的細(xì)度也趨于零.

因此得到在上的積分和.又由變換

T的連續(xù)性可知,當(dāng)

例1

求其中

D是由解為了簡化被積函數(shù),令所圍的區(qū)域(圖21-23).

即作變換它的函數(shù)行列式為在T的作用下,區(qū)域D的如圖

21-24所示.

原象所以例2

求拋物線和直線所圍區(qū)域

D

的面積解

D的面積為了化簡積分區(qū)域,作

變換它把

xy

平面上的區(qū)域

D

(見圖21-25)對應(yīng)到

uv

平面上的矩形

由于因此例3設(shè)上可積,是由曲線所圍成的區(qū)域在第一象限中的部分.證明:證

令

則

因此二、二重積分的極坐標(biāo)變換當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分,或者被積函數(shù)的形式為時(shí),采用極坐標(biāo)變換

(8)往往能達(dá)到簡化積分區(qū)域或被積函數(shù)的目的.此時(shí),變換

T的函數(shù)行列式為容易知道,極坐標(biāo)變換

T

把平面上的矩形

此對應(yīng)不是一對一的,

例如,xy

平面上原點(diǎn)于平面上兩條直線段

CD

和

EF(圖21-26).又當(dāng)時(shí),因此不滿足定理21.13的條件.

但是仍然有下面的結(jié)論.變換成

xy

平面上的圓域但與平面上直線相對應(yīng),x軸上線段

對應(yīng)定理21.14

設(shè)滿足定理21.13的條件,且在極坐標(biāo)變換

(8)下,平面上的有界閉域

D

與平

面上區(qū)域?qū)?yīng),則成立證

若

為的扇形后所得的區(qū)域(圖21-26(a)),則(圖

21-26(b)).又因在與之間是一一對應(yīng)的設(shè)除去中心角在變換

(8)

下,

對應(yīng)于且上

于是由定理

21.13,有因在

D

上有界,故可設(shè)

于是由同理又有若

D

是一般的有界閉域,則取足夠大的使

即得所以,對

(10)式取極限在中函數(shù)

F

至多在有限條按段光滑曲線上間斷,因此由前述得到其中為平面上矩形區(qū)域由函數(shù)

的定義,

(9)

式對一般的

D也成立.上定義函數(shù)并且在

由定理21.14看到,用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分時(shí),除變量作相應(yīng)的替換外,還須把“面積微元”換

成下面介紹二重積分在極坐標(biāo)系下如何化為累次積分來計(jì)算.1.

常用的是將分解為平面中的型區(qū)域.(i)若原點(diǎn)則型區(qū)域必可表示成(圖21-27)于是有(ii)若原點(diǎn)為

D

的內(nèi)點(diǎn)(圖21-28(a)),D

的邊界的極坐標(biāo)方程為則一般可表示成于是有(iii)

若原點(diǎn)在

D的邊界上(圖21-28(b)),則為:

于是有2.

也可將分解為平面中的型區(qū)域(圖21-29).

(1)令(2)作半徑為的圓穿過

D,按逆時(shí)針方向首先由邊界曲線

穿入,而后由邊界曲線穿出.

則有例4對積分作極坐標(biāo)變換,并表示為

不同次序的累次積分,其中(

見圖21-30(a))解

經(jīng)過極坐標(biāo)變換后,可分解為二個(gè)型區(qū)域:(a)(b)又可分解為四個(gè)型區(qū)域

(

見圖21-30(b)):于是其中例5

計(jì)算其中

D為圓域:解由于原點(diǎn)為

D的內(nèi)點(diǎn),故由

(12)式,有例6

求球體被圓柱面所割下部分的體積

(

稱為維維安尼

(Viviani)

體

).解由所求立體的對稱性(圖21-31),只要求出在第一卦限內(nèi)的部分體積,再乘以4,即得所求立體的體(圖21-32),而曲頂?shù)姆匠虨樗院?由

(13)式便可求得xy

平面內(nèi)由和所確定的區(qū)域

D

積.在第一卦限內(nèi)的立體是一個(gè)曲頂柱體,其底為其中用極坐標(biāo)變換例7

計(jì)算其中

D

為圓域:解利用極坐標(biāo)變換,由公式

(12),

容易求得若不用極坐標(biāo)變換,而直接在直角坐標(biāo)系下化為累次積分計(jì)算,則會遇到無法算出的難題.三、二重積分的廣義極坐標(biāo)變換當(dāng)積分區(qū)域?yàn)闄E圓或橢圓的一部分時(shí),可考慮用如下的廣