傳染病傳播模型

關(guān)于傳染病傳播模型第一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日

傳染病傳播問(wèn)題和自然科學(xué)中一些已經(jīng)有確定規(guī)律的問(wèn)題不同，不可能立即對(duì)它做出恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，建立完善的模型，只能先做出最簡(jiǎn)單的假設(shè)，建立模型，得出結(jié)果，分析是否符合實(shí)際，然后針對(duì)其不合理或不完善處，進(jìn)行修改或補(bǔ)充假設(shè)，逐步得到較為合理的模型。

第二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日模型

1（SI模型）

假設(shè)條件

(1)人群分為易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類，以下簡(jiǎn)稱健康者和病人。時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別記為s(t)和

i(t)。

(2)在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，并且時(shí)間以天為計(jì)量單位。

(3)每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者有效接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪?。第三?yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日

根據(jù)假設(shè)，每個(gè)病人每天可使s(t)個(gè)健康者變?yōu)椴∪?。因?yàn)椴∪藬?shù)為Ni(t)，所以每天共有Ns(t)i(t)個(gè)健康者被感染，即病人數(shù)Ni(t)的增加率為Ns(t)i(t)。于是得到人員流程圖如下第四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日進(jìn)而有再設(shè)初始時(shí)刻（t=0）病人的比例為i0，則由s(t)+i(t)=1，得到初值問(wèn)題Logistic模型第五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日初值問(wèn)題的解為

第六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日可畫出i(t)~t和di/dt~i的圖形為

i(t)~t

的圖形第七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日di/dt~i的圖形第八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日于是可知：①當(dāng)t

時(shí)，i1，即所有人終將被傳染，全變?yōu)椴∪?，這顯然不符合實(shí)際情況。其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會(huì)再變成健康者。第九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日

②然而，這個(gè)模型在傳染病流行的前期還是可用的，可用它來(lái)預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來(lái)：當(dāng)i=1/2時(shí)，di/dt

達(dá)到最大值(di/dt)m，這個(gè)時(shí)刻為這時(shí)病人增加得最快，可以認(rèn)為是醫(yī)院的門診量最大的一天，預(yù)示著傳染病高潮的到來(lái)，是醫(yī)療衛(wèi)生部門關(guān)注的時(shí)刻。第十頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日

③還可以看出，tm

與

成反比。因?yàn)槿战佑|率

表示給定地區(qū)的衛(wèi)生水平，越小衛(wèi)生水平越高，所以改善保健設(shè)施、提高衛(wèi)生水平可以推遲傳染病高潮的到來(lái)。第十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日模型2（不考慮出生和死亡的SIS模型）

有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等治愈后免疫力很低，可以假定無(wú)免疫性，于是病人被治愈后變成健康者，健康者還可以被感染再變成病人，所以在SI模型的基礎(chǔ)上，增加一個(gè)假設(shè)條件就會(huì)得到SIS模型。假設(shè)條件

(1)人群分為易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類，以下簡(jiǎn)稱健康者和病人。時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別記為s(t)和

i(t)。

第十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日(2)在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，并且時(shí)間以天為計(jì)量單位。

(3)每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者有效接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕?/p>

(4)每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù)，稱為日治愈率。病人被治愈后稱為仍可被感染的健康者，1/

稱為這種傳染病的平均傳染期。第十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日如果考慮到假設(shè)條件(4)，則人員流程圖如下

于是有第十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日記初始時(shí)刻的病人的比例i0（i0>0），從而SI模型可以修正為我們稱之為Bernolli（貝努里）方程的初值問(wèn)題，其解析解為第十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日其中

=/。由

和1/

的含義可知，是整個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，稱為接觸數(shù)。于是有第十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日我們畫出di/dt~i和i~t的圖形為

di/dt~i

的圖形（

>1）第十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日i(t)~t

的圖形（

>1）第十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日di/dt~i

的圖形（

1）第十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日i(t)~t

的圖形（

1）第二十頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日模型

3（考慮出生和死亡的SIS模型）

當(dāng)傳染病的傳播周期比較長(zhǎng)時(shí)，若不考慮出生和死亡因素顯然不妥，接下來(lái)考慮帶有出生和死亡情況的SIS模型。假設(shè)條件

(1)人群分為易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類，以下簡(jiǎn)稱健康者和病人。時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別記為s(t)和

i(t)。第二十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日(2)在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)為N，總認(rèn)為人口的出生率與死亡率相同，并且新生嬰兒全為易感染者。記平均出生率為，則人口的平均壽命為1/。

(3)每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者有效接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕?/p>

(4)每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù)，稱為日治愈率。病人被治愈后稱為仍可被感染的健康者，1/

稱為這種傳染病的平均傳染期。第二十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日在上述的假設(shè)條件下，人員流程圖如下

第二十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日于是有第二十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日

記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別是s0（s0>0）和i0（i0>0），從而考慮出生和死亡的SIS模型為第二十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日而由s+i=1有ds/dt=di/dt，于是，上式的第二個(gè)方程變?yōu)楹愕仁?，從而模型?jiǎn)化為

如果令

=/(+)，則仍表示整個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，即接觸數(shù)。于是，以下的求解與討論與不考慮出生和死亡的SIS模型相同。第二十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日模型

4（不考慮出生和死亡的SIR模型）

許多傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），它們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng)。第二十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日

模型的假設(shè)條件為

(1)人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三類，三類人在總?cè)藬?shù)N中占的比例分別為s(t)，i(t)和

r(t)。

(2)病人的日接觸率為，日治愈率為，傳染期接觸數(shù)為

=/。

(3)在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，并且時(shí)間以天為計(jì)量單位。第二十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日在上述的假設(shè)條件下，人員流程圖如下

第二十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日由假設(shè)條件顯然有s(t)+i(t)+r(t)=1

第三十頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日

記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別是s0（s0>0）和i0（i0>0）（不妨設(shè)移出者的初始值r0=0），于是得到SIR模型為如下的初值問(wèn)題第三十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日而由s+i+r=1有dr/dt=di/dtds/dt

，于是，上式的第三個(gè)方程變?yōu)楹愕仁?，從而模型?jiǎn)化為

上述的初值問(wèn)題無(wú)法求出解析解，只能通過(guò)數(shù)值解法求出數(shù)值解。第三十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日

例如，取

=1，

=0.3，i(0)=0.02，s(0)=0.98，則求得數(shù)值解如下表，相應(yīng)的i(t)、s(t)曲線和i~s曲線如下圖。t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398第三十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日SIR模型的i(t)、s(t)曲線

第三十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日SIR模型的

i~s曲線第三十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日

在實(shí)際應(yīng)用SIR模型時(shí)，模型中的參數(shù)經(jīng)常通過(guò)一些統(tǒng)計(jì)資料來(lái)估計(jì)。事實(shí)上，能夠求出解析解的微分方程模型是非常有限的，所以人們經(jīng)常利用定性理論從方程本身推出解的相關(guān)性質(zhì)。對(duì)于上述的SIR

模型，就可以采用相軌線分析的方法，來(lái)獲得i(t)、s(t)的一般變化規(guī)律。（參教案，略）第三十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日模型

5（考慮出生和死亡的SIR模型）

模型的假設(shè)

(1)人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三類，三類人在總?cè)藬?shù)N中占的比例分別為s(t)，i(t)和

r(t)。

(2)病人的日接觸率為，日治愈率為，傳染期接觸數(shù)為

=/。

(3)在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)為N，總認(rèn)為人口的出生率與死亡率相同，并且新生嬰兒全為易感染者。記平均出生率為，則人口的平均壽命為1/。第三十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日在上述的假設(shè)條件下，人員