高數(shù)-5函數(shù)連續(xù)性

第五節(jié)函數(shù)二、函數(shù)的間三、連續(xù)函數(shù)的一、函數(shù)的連連續(xù)的定

fx)在某個(gè)Ux0)上有定義xUx0)自變量的增量（改變量）xxx0,對(duì)應(yīng)y=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-limy0，即lim[fx0xfx0x x那末就稱(chēng)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，x0稱(chēng)為f(x) 續(xù)點(diǎn)ofx)在某個(gè)Ux0上有定義且在點(diǎn)x0不連續(xù)fx)x0點(diǎn)間斷x0fx)的一個(gè)間斷點(diǎn)f(x)在點(diǎn)x連續(xù)lim[f( x)f(x)] x lim[f(x)-f(x0)]xx lim f(x) f(x0xxfx)在點(diǎn)x0連續(xù)定義的語(yǔ)言敘述0,0,x:xx0(xU(x0,))f(x)f(x0)注1o極限定義與連續(xù)定o0xx0xUx0))改為xx0(xU(x0,2ofx)0

連續(xù)的三個(gè)要fx)xx0處及附近有定limfx存在xlimf(x)f(x0x3ofx)0

連續(xù),從運(yùn)算形limf(x)f(x0)f(lim 下列函數(shù)在其定義域中的每一點(diǎn)都連續(xù):

sinxsinx,

0limcosxcosx0,0x

cosx2

x))limxn

xn;lima

a

(ax

xlimlnxlnx0(x0x單側(cè)連續(xù)的定若函數(shù)f(x)在(a,x0內(nèi)有定義,且f(x00) f(x0則稱(chēng)f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)若函數(shù)f(x)在[x0,b)內(nèi)有定義,且f(x00) f(x0則稱(chēng)f(x)在點(diǎn)x0處右連續(xù)定理f(x)在x0連續(xù) f(x)在x0既左連續(xù)又右連續(xù)即fx00fx00fx0例1(1)試證fx

1 xx

x0處連續(xù)

xlimfx)limxsin10f(0),x x f(x)在x0處連續(xù) 證(2)f(x)xD(x)

x,x為有理 x為無(wú)理數(shù)在x0連續(xù)證0,,x

x

f(x)f(0)

xD(x)

x例2討論函數(shù)fx)連續(xù)性

xx

xx

x0處的limfx)limx2)2fx0 x0limf(x)lim(x2)2f f(x)右連續(xù)但不左連續(xù)故函數(shù)fx)在點(diǎn)x0處不連續(xù)例3若函fxx0連續(xù)x0

fx)也證fx)x0連續(xù),則0,x

x

f(x)f(x0

f(x)

f(x0)

f(x0)f(

x

f(x0)

fx0

fxx0連續(xù)fx)在x0局部有界性則0,Mx:xx0(即xUx0f(x)M局部保序性limfx)fx00,xxU(x0,

f(x)f(x0)2連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)f(x)在區(qū)間I的每一點(diǎn)處都連續(xù)，并且I含左（右）端點(diǎn)時(shí)f(x)在該端點(diǎn)處右（左）連續(xù)，則稱(chēng)f(x)I上的連續(xù)函數(shù)，或者說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，并且稱(chēng)If(x的連續(xù)區(qū)間fCI).fx)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)fC(a,b)fx)在(a,b)內(nèi)連續(xù)且在xa右連續(xù)，在x左連續(xù):fC[a,b]f(x)sinxC(,);f(x)lnxC(0,).

f(x)ax(,);x例3討論函數(shù)yx

的連續(xù)性x00x xxx0 y xx00時(shí)連續(xù)，即在(0,上連續(xù)

xxxx0xx

x0

0,yy

x00時(shí)右連續(xù)xx在[0,)上連續(xù)，即在定義域上連續(xù)。xx二、函數(shù)的間f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件(1)fx

0處有定義;(2)limfx)存在x(3)lim f(x)f(xxx0由此尋找函數(shù)的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)的0第一類(lèi)f( 0)全都存在{可去：f(x00)f(0跳躍：fx00)f

0);第二類(lèi)：fx00)不全存在(無(wú)窮大間斷、振動(dòng)間斷、例4求下列函數(shù)間斷點(diǎn)并確定其類(lèi)型12f(x)2e21e

sinxx解fx)在x0處無(wú)定義 limf(x)lim

x

limsinx01

ex1

limf(x)lim2e limsinx21x0

1e

x0 limfx)1故x0為可去間斷點(diǎn) f(x)arctanx,x00, x f(0)limarctan1

limarctan1x0

x0 即f(00f(0x0為第一類(lèi)的跳躍間斷點(diǎn) f(x)

e1

,x0, x1 lime1

0f

fx)在x1右連續(xù)1而lime1 x1為函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)（無(wú)窮大間斷點(diǎn)）例 討x x

0x

y1f(x)

xx

在x1處的連續(xù).1

y 解f(1)1,f(10)2,f(10) limfx)2f(1),x0為fx)的可去間斷點(diǎn)注意可通過(guò)修改函數(shù)在可去間斷點(diǎn)處的定義使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)y如例5中 令f(1)xfx)x

0x

1

x

例6討論函數(shù)fx)sin1x0處的連續(xù)性xysinx解limysinxx0 limsin 都不存在x0 x0為第二類(lèi)間斷點(diǎn)稱(chēng)這種間斷點(diǎn)為的振蕩間斷點(diǎn)例 函數(shù)f(x)

x2n

1x的間斷點(diǎn)及其類(lèi)型n y x x f(x) x x

- x1fx)的跳躍(屬第一類(lèi)間斷點(diǎn)注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只能是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn) yD(x)

當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)0, 當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷，且都是第二類(lèi)間斷點(diǎn)★f(x)

當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)1,當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù)例8判斷下列各間斷點(diǎn)yyf

例9當(dāng)ab取何值時(shí)1ax1

xf(x)

ax 0x1R連續(xù)1 x

x解只要考慮在x0x1的連續(xù)性f(0b,f(1ablimf(x)

1(ax)11lim 1x0 x0 x0 limf(x)lim(axb)x0 x0f(00f(00f(0a2ba2b2limfx)lim(axba limf(x)lim

abab2故當(dāng)且a,b時(shí),fx)2x0和x1處連續(xù) 從而f(x)在R連續(xù)三.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法定理1（函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)性的四則運(yùn)算法則fx、gx)x0處連續(xù)f(x)g(x、f(x)g(x、f(x) (當(dāng)g(x)0時(shí)g(x) 在x0處連續(xù)。注單側(cè)連續(xù)函數(shù)也有與定理1相應(yīng)的四則運(yùn)算推論（區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則fx、gx)在區(qū)間I上連續(xù)，則fx)gxfxgx、fx)g(x)在I上連續(xù)。由此Pxa

(當(dāng)g(x)在 不為0時(shí) xn1aC(,); 有理函數(shù)RxPnx)xD則RxCQn(三角函數(shù)tanxcotxsecxcscx在其定義域連續(xù)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)定理

設(shè)(1u(xxx0連續(xù),且x0u0(2)yf(u在點(diǎn)uu0連續(xù)則復(fù)合函數(shù)yf[x)]xx0也連續(xù)注定理說(shuō)

limf[(x)]f[lim(x x事實(shí)上若對(duì)x的某個(gè)變化過(guò)程，有l(wèi)imx)a,xx0而f(u)在a連續(xù) 則lim f[(x)]f(a)f[lim(x)].xx0 xx0三角函數(shù)在其定義域內(nèi)在三角函數(shù)的最大單調(diào)子區(qū)間上其反函連續(xù)反三角函數(shù)在定義域上連續(xù)。ysinxC[,]yarcsinx 初等函三角函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的sinx,cosxC(,);tanxcotxsecxcscx在其定義域連續(xù)★反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的arcsinx,arccosxarctanx,arccotxC(,)★指數(shù)函數(shù)ya (a0,a在定義域(,)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)★對(duì)數(shù)函數(shù)yloga (a0,a在定義域(0,)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)★yx alogayx,

yx 在(0)內(nèi)連續(xù)在定義區(qū)間上連定理定理.基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間定理4定理4一切初等函數(shù)都在其定義區(qū)間上連續(xù)★冪指函數(shù)的連續(xù)若uxx0連續(xù)vxx0連續(xù)且ux)則ux)vx)x0連續(xù)(ux)vx)evx)lnux),利用復(fù)合函數(shù)連續(xù)性limux)a0,limvx)bx xlimu(x)v(x)abx補(bǔ)充定義ux0