數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)：第二章 行 波 法1

第二章

行波法

但在少數(shù)情況下，可以求出方程的通解（含有任意函數(shù)的解），并可由給定條件求出特解。求解偏微分方程時(shí)，一般不能先求出方程的通解,然后根據(jù)給定的條件確定特解?！?.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式初始位移，初始速度的無(wú)界弦的自由振動(dòng)初值問(wèn)題

(Cauchy問(wèn)題)(2)我們可以求出方程(1)

的通解,考慮變量代換利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得為什么？(4)同理可得將(4),(5)代入到(1),

可以得到連續(xù)積分兩次得其中是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，即有注：是方程的通解,它包含兩個(gè)任意函數(shù)。對(duì)無(wú)限長(zhǎng)的自由振動(dòng),如果初始狀態(tài)滿足條件

(2),則兩端對(duì)x積分，可得由此即得原定解問(wèn)題的解:無(wú)限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)的達(dá)朗貝爾(D’Alembert)公式.方程解的物理意義首先考慮假定的圖形已經(jīng)給定，那么，隨著時(shí)間t

的推移，的圖形以速度a

向x

軸正方向平行移動(dòng),故稱齊次波動(dòng)方程形如的解為右行波。u2xt=0u2xt=1/2u2xt=2隨著時(shí)間t的推移u2的圖形以速度a

向x軸正向移動(dòng).u2xt=1弦上的任意振動(dòng)總是以行波形式分別向兩個(gè)方向傳播出去,其傳播速度恰好是常數(shù)a，因而這個(gè)方法稱為行波法。

下面進(jìn)一步分析達(dá)朗貝爾公式的物理意義。同理,表示一個(gè)以速度a

向x

軸負(fù)方向傳播的行波，且傳播過(guò)程中，波形也不變化。

稱為左行波。（1）依賴區(qū)間由D’Alembert

公式

僅依賴于

上的初值，稱區(qū)間

為點(diǎn)

的依賴區(qū)間。依賴區(qū)間是討論時(shí)空平面上任一點(diǎn)

的

將依賴于哪些點(diǎn)的初值的問(wèn)題。(x,t)x-atx+atxtO依賴區(qū)間（2）影響區(qū)域

由左、右行波疊加而得。上的初始振動(dòng)，在時(shí)刻，右行波傳到

左行波傳到

,初始振動(dòng)傳播的范圍是

為區(qū)間

的影響區(qū)域。稱區(qū)域Axt(3)決定區(qū)域考慮區(qū)間xtB稱三角區(qū)域B

為區(qū)間

的決定區(qū)域。進(jìn)一步的分析其物理意義表明,在xot

平面上斜率為的兩族直線對(duì)一維波動(dòng)方程研究起重要作用，稱這兩族直線為一維波動(dòng)方程的特征線。波動(dòng)沿特征線傳播。稱為特征變換,行波法也叫特征線法。自變量變換注1：容易看出,一維波動(dòng)方程的兩族特征線

恰好是常微分方程的解。這個(gè)常微分方程稱為波動(dòng)方程的特征方程。定義：二階線性偏微分方程的特征方程為這個(gè)常微分方程的積分曲線(解)稱為偏微分方程(*)的特征曲線。如果方程在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的每點(diǎn)都是雙曲型、拋物型或橢圓型的，那么就稱方程在這個(gè)區(qū)域內(nèi)是雙曲型、拋物型或橢圓型。一個(gè)方程在點(diǎn)稱為是雙曲型、拋物型或橢圓型的，為正、為零或者為負(fù)而確定的。

是根據(jù)式子回憶：兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的分類注2：行波法適用于雙曲型方程。例求下面問(wèn)題的解:解先確定所給方程的特征曲線。特征方程為或者它的兩族積分曲線為做特征變換容易驗(yàn)證，經(jīng)過(guò)變換原方程化成它的通解為其中是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，即有把這個(gè)函數(shù)代入到條件代入到得原問(wèn)題的解為：例求下面方程的通解

解：特征方程為積分曲線為經(jīng)過(guò)變換原方程化成所以,令為原問(wèn)題的通解，其中是任意二次連續(xù)可微函數(shù)。練習(xí)解定解問(wèn)題:解

解

(I)其中

一條線密度為的無(wú)界弦，初位移、初速度為0，受外力作用做強(qiáng)迫振動(dòng)。

§2.2齊次化原理齊次化原理：為非齊次Cauchy問(wèn)題(I)的解。

(II)的解，其中是參數(shù)，則驗(yàn)證如下：令，則問(wèn)題(II)變?yōu)?(II)所以問(wèn)題(I)的解為:由D’Alembert公式得再考慮一般非齊次一維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題：利用疊加原理

(i)其中(ii)對(duì)于(