高中數(shù)學(xué)必修五第一章正弦定理

..必修五第一章正弦定理一．選擇題〔共14小題1．已知在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且+=,則b的值為〔A． B．2 C． D．2．已知銳角三角形ABC,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若b2=a〔a+c,則的取值范圍是〔A．〔0,1 B． C． D．3．在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c．若asinBcosC+csinBcosA=b,且a＞b,則B等于〔A． B． C． D．4．已知△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且a=4,b=4,B=,則角A的大小為〔A． B．或 C． D．5．△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,若,則角B的大小為〔A． B． C． D．6．在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對(duì)邊的邊長(zhǎng),若cosC+sinC﹣=0,則的值是〔A．﹣1 B．+1 C．+1 D．27．已知G點(diǎn)為△ABC的重心,設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c且滿足向量,若atanA=λb?sinC,則實(shí)數(shù)λ=〔A．2 B．3 C． D．8．在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊分別是a,b,c,若,c=3,且,滿足題意的△ABC有〔A．0個(gè) B．一個(gè) C．2個(gè) D．不能確定9．在△ABC中,若AB=1,BC=2,則角C的取值范圍是〔A．0＜C≤ B．0＜C＜ C．＜C＜ D．＜C≤10．已知△ABC中,角A,B的對(duì)邊分別為a,b,且,那么滿足條件的△ABC〔A．有一個(gè)解 B．有兩個(gè)解 C．不能確定 D．無(wú)解11．《數(shù)學(xué)九章》中對(duì)已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的求法填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白,與著名的海倫公式完全等價(jià),由此可以看出我國(guó)古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平,其求法是："以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實(shí)．一為從隔,開平方得積．"若把以上這段文字寫成公式,即S=．現(xiàn)有周長(zhǎng)為2+的△ABC滿足sinA：sinB：sinC=〔﹣1：：〔+1,試用以上給出的公式求得△ABC的面積為〔A． B． C． D．12．若三角形ABC中,sin〔A+Bsin〔A﹣B=sin2C,則此三角形的形狀是〔A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形13．在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若此三角形有兩解,則x的取值范圍是〔A．x＞2 B．x＜2 C． D．14．已知△ABC中,滿足b=2,B=60°的三角形有兩解,則邊長(zhǎng)a的取值范圍是〔A．＜a＜2 B．＜a＜2 C．2＜a＜ D．2＜a＜2二．填空題〔共6小題15．已知a,b,c分別是△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=4,b=5,c=6,則=．16．在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,btanB+btanA=﹣2ctanB,且a=8,△ABC的面積為,則b+c的值為．17．在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且sin〔B+=,△ABC的外接圓半徑為,則△ABC周長(zhǎng)的最大值為．18．已知△ABC中,AC=,BC=,△ABC的面積為,若線段BA的延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)D,使∠BDC=,則CD=．19．如圖,在△ABC中,C=,BC=4,點(diǎn)D在邊AC上,AD=DB,DE⊥AB,E為垂足,若DE=2,求cosA=．20．在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知=,b=4a,a+c=5,則△ABC的面積為．三．解答題〔共6小題21．在△ABC中,A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知c﹣b=2bcosA．〔1若a=2,b=3,求c；〔2若C=,求角B．22．已知函數(shù)．〔1求函數(shù)f〔x的單調(diào)遞減區(qū)間；〔2若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,,,sinB=2sinC,求c．23．在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足．〔Ⅰ求角C；〔Ⅱ求的取值范圍．24．已知在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且．〔1求b的值；〔2若,求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．25．已知△ABC中,D為邊AC上一點(diǎn),BC=4,∠DBC=45°．〔1若CD=4,求△BCD的面積；〔2若角C為銳角,AB=8,sinA=,求CD的長(zhǎng)．26．已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且acosC+asinC﹣b﹣c=0．〔1求A；〔2若AD為BC邊上的中線,cosB=,AD=,求△ABC的面積．2018年05月04日必修五第一章正弦定理參考答案與試題解析一．選擇題〔共14小題1．〔2018?XX模擬已知在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且+=,則b的值為〔A． B．2 C． D．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形．[分析]由已知利用正弦定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,三角形內(nèi)角和定理,誘導(dǎo)公式可得：sinA=,結(jié)合sinA≠0,即可解得b的值．[解答]解：∵+=,∴ccosB+bcosC=bc=,∴由正弦定理可得：sinCcosB+sinBcosC=,可得：sinA=,∵A為銳角,sinA≠0,∴解得：b=．故選：A．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了正弦定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,三角形內(nèi)角和定理,誘導(dǎo)公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題．2．〔2018?XX一模已知銳角三角形ABC,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若b2=a〔a+c,則的取值范圍是〔A．〔0,1 B． C． D．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形．[分析]由b2=a〔a+c利用余弦定理,可得c﹣a=2acosB,正弦定理邊化角,在消去C,可得sin〔B﹣A=sinA,利用三角形ABC是銳角三角形,結(jié)合三角函數(shù)的有界限,可得的取值范圍．[解答]解：由b2=a〔a+c,利用余弦定理,可得：c﹣a=2acosB,利用正弦定理邊化角,得：sinC﹣sinA=2sinAcosB,∵A+B+C=π,∴sin〔B+A﹣sinA=2sinAcosB,∴sin〔B﹣A=sinA,∵ABC是銳角三角形,∴B﹣A=A,即B=2A．∵0＜B＜,＜A+B＜π,〔角C為銳角那么：＜A＜,則=sinA∈〔,．故選：B．[點(diǎn)評(píng)]本題考查三角形的正余弦定理和內(nèi)角和定理的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題．3．〔2018?XX二模在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c．若asinBcosC+csinBcosA=b,且a＞b,則B等于〔A． B． C． D．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形．[分析]利用正弦定理與兩角和的正弦公式,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理,求出sinB的值,即可求得角B的大?。甗解答]解：△ABC中,asinBcosC+csinBcosA=b,由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,且sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA=,∴sin〔A+C=；又A+B+C=π,∴sin〔A+C=sin〔π﹣B=sinB=；又a＞b,∴B=．故選：D．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了正弦定理與兩角和的正弦公式以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題．4．〔2018?揭陽(yáng)一模已知△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且a=4,b=4,B=,則角A的大小為〔A． B．或 C． D．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]11：計(jì)算題；34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形．[分析]直接利用正弦定理,轉(zhuǎn)化求解即可．[解答]解：△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且a=4,b=4,B=,a＜b則,A＜B,A+B＜π,,sinA==,所以：A=．故選：D．[點(diǎn)評(píng)]本題考查正弦定理的應(yīng)用,三角形的解法,考查計(jì)算能力．5．〔2017秋?羅莊區(qū)期末△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,若,則角B的大小為〔A． B． C． D．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]38：對(duì)應(yīng)思想；4O：定義法；58：解三角形．[分析]利用正弦定理化為三邊關(guān)系,再由余弦定理求出cosB的值,從而求出角B的大小．[解答]解：△ABC中,,由正弦定理得,=；∴b2﹣a2=ac+c2,即c2+a2﹣b2=﹣ac；由余弦定理得,cosB===﹣；又B∈〔0,π,∴角B的大小為．故選：B．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了正弦、余弦定理的靈活應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題．6．〔2017秋?尋烏縣校級(jí)期末在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對(duì)邊的邊長(zhǎng),若cosC+sinC﹣=0,則的值是〔A．﹣1 B．+1 C．+1 D．2[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；58：解三角形．[分析]sin=2,可得C+=B+=,A,再利用正弦定理即可得出．[解答]解：在△ABC中,sin=2,可得C+=B+=,解得C=B=,∴A=,∴===+1．故選：B．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了正弦定理、三角函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題．7．〔2017秋?廣西期末已知G點(diǎn)為△ABC的重心,設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c且滿足向量,若atanA=λb?sinC,則實(shí)數(shù)λ=〔A．2 B．3 C． D．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；58：解三角形；5A：平面向量及應(yīng)用．[分析]連接AG,延長(zhǎng)交AG交BC于D,由于G為重心,故D為中點(diǎn),CG⊥BG,可得DG=BC,由重心的性質(zhì)得,AD=3DG,即AD=BC,利用余弦定理可得：AC2+AB2=2BD2+2CD2,即b2+c2=5a2,由atanA=λb?sinC,結(jié)合正弦定理,余弦定理即可計(jì)算得解．[解答]解：如圖,連接AG,延長(zhǎng)交AG交BC于D,由于G為重心,故D為中點(diǎn),∵CG⊥BG,∴DG=BC,由重心的性質(zhì)得,AD=3DG,即AD=BC,由余弦定理得,AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC,AB2=AD2+BD2﹣2AD?BDcos∠ADB,∵∠ADC+∠BDC=π,CD=BD,∴AC2+AB2=2BD2+2AD2,∴AC2+AB2=BC2+BC2=5BC2,∴b2+c2=5a2,可得：cosA===,∵atanA=λb?sinC,∴λ====．故選：D．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了余弦定理、三角形重心性質(zhì)、中線長(zhǎng)定理,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題．8．〔2018春?XX期中在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊分別是a,b,c,若,c=3,且,滿足題意的△ABC有〔A．0個(gè) B．一個(gè) C．2個(gè) D．不能確定[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；58：解三角形．[分析]由正弦定理解得sinB,即可判斷三角形的個(gè)數(shù)．[解答]解：,c=3,且,由正弦定理可得sinB===1,由B為三角形的內(nèi)角,可得B=,可得滿足題意的△ABC有一個(gè)．故選：B．[點(diǎn)評(píng)]本題考查正弦定理的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題．9．〔2018春?XX期中在△ABC中,若AB=1,BC=2,則角C的取值范圍是〔A．0＜C≤ B．0＜C＜ C．＜C＜ D．＜C≤[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]11：計(jì)算題．[分析]利用兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊可求得b的范圍,進(jìn)而利用余弦定理表示出cosC的表達(dá)式,根據(jù)b的范圍求得cosC的范圍,進(jìn)而求得C的范圍．[解答]解：因?yàn)閏=AB=1,a=BC=2,b=AC根據(jù)兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊可知1＜b＜3,根據(jù)余弦定理cosC=〔a2+b2﹣c2=〔4+b2﹣1=〔3+b2=+=〔﹣2+≥所以0＜C≤30°故選：A．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了解三角形問題．考查了學(xué)生分析問題的基本的推理能力．10．〔2018春?新羅區(qū)校級(jí)月考已知△ABC中,角A,B的對(duì)邊分別為a,b,且,那么滿足條件的△ABC〔A．有一個(gè)解 B．有兩個(gè)解 C．不能確定 D．無(wú)解[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形．[分析]利用正弦定理求得sinB=,可得B=,或B=,從而得出結(jié)論．[解答]解：△ABC中,∵∠A=30°,a=,b=2,由正弦定理可得：,即：=,得sinB=,∴B=,或B=,故△ABC有2個(gè)解．故選：B．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查正弦定理的應(yīng)用,解三角形,屬于基礎(chǔ)題．11．〔2017?XX模擬《數(shù)學(xué)九章》中對(duì)已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的求法填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白,與著名的海倫公式完全等價(jià),由此可以看出我國(guó)古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平,其求法是："以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實(shí)．一為從隔,開平方得積．"若把以上這段文字寫成公式,即S=．現(xiàn)有周長(zhǎng)為2+的△ABC滿足sinA：sinB：sinC=〔﹣1：：〔+1,試用以上給出的公式求得△ABC的面積為〔A． B． C． D．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]12：應(yīng)用題；49：綜合法；58：解三角形．[分析]由題意和正弦定理求出a：b：c,結(jié)合條件求出a、b、c的值,代入公式求出△ABC的面積．[解答]解：因?yàn)閟inA：sinB：sinC=〔﹣1：：〔+1,所以由正弦定理得,a：b：c=〔﹣1：：〔+1,又△ABC的周長(zhǎng)為2+,則a=〔﹣1、b=、c=〔+1,所以△ABC的面積S====,故選：A．[點(diǎn)評(píng)]本題考查正弦定理,以及新定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題．12．〔2017?富錦市校級(jí)一模若三角形ABC中,sin〔A+Bsin〔A﹣B=sin2C,則此三角形的形狀是〔A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形[考點(diǎn)]HP：正弦定理；GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．[專題]56：三角函數(shù)的求值．[分析]已知等式左邊第一項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn),根據(jù)sinC不為0得到sin〔A﹣B=sinC,再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),[解答]解：∵△ABC中,sin〔A+B=sinC,∴已知等式變形得：sinCsin〔A﹣B=sin2C,即sin〔A﹣B=sinC=sin〔A+B,整理得：sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,即2cosAsinB=0,∴cosA=0或sinB=0〔不合題意,舍去,∴A=90°,則此三角形形狀為直角三角形．故選：B．[點(diǎn)評(píng)]此題考查了正弦定理,以及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．13．〔2017?XX模擬在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若此三角形有兩解,則x的取值范圍是〔A．x＞2 B．x＜2 C． D．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]11：計(jì)算題．[分析]利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的關(guān)系,利用B求得A+C；要使三角形兩個(gè)這兩個(gè)值互補(bǔ)先看若A≤45°,則和A互補(bǔ)的角大于135°進(jìn)而推斷出A+B＞180°與三角形內(nèi)角和矛盾；進(jìn)而可推斷出45°＜A＜135°若A=90,這樣補(bǔ)角也是90°,一解不符合題意進(jìn)而可推斷出sinA的范圍,利用sinA和a的關(guān)系求得a的范圍．[解答]解：==2∴a=2sinAA+C=180°﹣45°=135°A有兩個(gè)值,則這兩個(gè)值互補(bǔ)若A≤45°,則C≥90°,這樣A+B＞180°,不成立∴45°＜A＜135°又若A=90,這樣補(bǔ)角也是90°,一解所以＜sinA＜1a=2sinA所以2＜a＜2故選：C．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．14．〔2017?XX區(qū)校級(jí)模擬已知△ABC中,滿足b=2,B=60°的三角形有兩解,則邊長(zhǎng)a的取值范圍是〔A．＜a＜2 B．＜a＜2 C．2＜a＜ D．2＜a＜2[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；58：解三角形．[分析]由正弦定理可知：三角形有兩個(gè)解,則滿足,代入即可求得邊長(zhǎng)a的取值范圍．[解答]解：由三角形有兩解,則滿足,∴,解得：2＜a＜,邊長(zhǎng)a的取值范圍〔2,,故選：C．[點(diǎn)評(píng)]本題考查正弦定理的應(yīng)用,考查三角形解的個(gè)數(shù),考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題．二．填空題〔共6小題15．〔2018?化州市二模已知a,b,c分別是△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=4,b=5,c=6,則=1．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；56：三角函數(shù)的求值；58：解三角形．[分析]利用余弦定理求出cosC,cosA,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC,sinA的值,利用二倍角公式化簡(jiǎn)所求即可計(jì)算得解．[解答]解：∵△ABC中,a=4,b=5,c=6,∴cosC==,cosA==,∴sinC=,sinA=,∴===1．故答案為：1．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了余弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題．16．〔2018?呂梁一模在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,btanB+btanA=﹣2ctanB,且a=8,△ABC的面積為,則b+c的值為．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形．[分析]由正弦定理和三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知式子可得cosA的值,由余弦定理可求64=〔b+c2﹣bc,利用三角形面積公式可求bc=16,聯(lián)立即可得解b+c的值．[解答]解：∵在△ABC中btanB+btanA=﹣2ctanB,∴由正弦定理可得sinB〔tanA+tanB=﹣2sinCtanB,∴sinB〔tanA+tanB=﹣2sinC?,∴cosB〔tanA+tanB=﹣2sinC,∴cosB〔+=﹣2sinC,∴cosB?=﹣2sinC,∴cosB?==﹣2sinC,解得cosA=﹣,A=；∵a=8,由余弦定理可得：64=b2+c2+bc=〔b+c2﹣bc,①∵△ABC的面積為=bcsinA=bc,可得：bc=16,②∴聯(lián)立①②可得：b+c=4．故答案為：4．[點(diǎn)評(píng)]本題考查正、余弦定理解三角形,涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系和三角形的面積公式,屬于基礎(chǔ)題．17．〔2018?XX模擬在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且sin〔B+=,△ABC的外接圓半徑為,則△ABC周長(zhǎng)的最大值為9．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形．[分析]化簡(jiǎn)條件式可得A=,利用正弦定理得出a+b+c關(guān)于B的三角函數(shù),從而得出周長(zhǎng)的最大值．[解答]解：∵sin〔B+=,∴sinB+cosB=,∴sinAsinB+sinAcosB=sinB+sinC=sinB+sinAcosB+cosAsinB,即sinAsinB=sinB+cosAsinB,∵B為三角形內(nèi)角,sinB≠0,∴sinA=1+cosA,∴sin〔A﹣=,∴由A∈〔0,π,可得：A﹣∈〔﹣,,可得：A﹣=,即A=．由正弦定理得=2,∴a=2sinA=3,b=2sinB,c=2sinC=2sin〔﹣B,∴a+b+c=3+2sinB+2sin〔﹣B=3+3sinB+3cosB=3+6sin〔B+,∴當(dāng)B+=,即B=時(shí),a+b+c取得最大值9．故答案為：9．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了三角恒等變換,正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題．18．〔2018?XX模擬已知△ABC中,AC=,BC=,△ABC的面積為,若線段BA的延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)D,使∠BDC=,則CD=．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；44：數(shù)形結(jié)合法；58：解三角形．[分析]由已知利用三角形面積公式可求sin∠ACB=,從而可求∠ACB=,在△ABC中,由余弦定理可得AB,進(jìn)而可求∠B,在△BCD中,由正弦定理可得CD的值．[解答]解：∵AC=,BC=,△ABC的面積為=AC?BC?sin∠ACB=sin∠ACB,∴sin∠ACB=,∴∠ACB=,或,∵若∠ACB=,∠BDC=＜∠BAC,可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π,與三角形內(nèi)角和定理矛盾,∴∠ACB=,∴在△ABC中,由余弦定理可得：AB===,∴∠B=,∴在△BCD中,由正弦定理可得：CD===．故答案為：．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了三角形面積公式,余弦定理,正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,求∠ACB的值是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題．19．〔2017?XX二模如圖,在△ABC中,C=,BC=4,點(diǎn)D在邊AC上,AD=DB,DE⊥AB,E為垂足,若DE=2,求cosA=．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；56：三角函數(shù)的求值；58：解三角形．[分析]由已知可得∠A=∠ABD,∠BDC=2∠A,設(shè)AD=BD=x,由正弦定理在△BCD中,在△AED中,可得,聯(lián)立即可解得cosA的值．[解答]解：∵C=,BC=4,點(diǎn)D在邊AC上,AD=DB,DE⊥AB,E為垂足,DE=2,∴∠A=∠ABD,∠BDC=2∠A,設(shè)AD=BD=x,∴在△BCD中,=,可得：,①在△AED中,=,可得：,②∴聯(lián)立可得：=,解得：cosA=．故答案為：．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題．20．〔2017?XX一模在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知=,b=4a,a+c=5,則△ABC的面積為．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形．[分析]由已知及正弦定理可求=,又b=4a,可求sinC,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosC,利用余弦定理解得a,b,c的值,進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．[解答]解：由正弦定理及=,得=,又b=4a,∴sinC=,∵△ABC為銳角三角形,∴cosC=,∴cosC===,解得a=1,b=4,c=4,∴S△ABC=absinC==．故答案為：．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,余弦定理,三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題．三．解答題〔共6小題21．〔2018?XX模擬在△ABC中,A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知c﹣b=2bcosA．〔1若a=2,b=3,求c；〔2若C=,求角B．[考點(diǎn)]HP：正弦定理；HR：余弦定理．[專題]11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；58：解三角形．[分析]〔1由余弦定理化簡(jiǎn)已知等式,整理可得：a2=b2+bc,代入已知即可解得c的值．〔2由題意A+B=,可得sinA=cosB,cosA=sinB,由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得：2sin2B+sinB﹣1=0,解得sinB,即可求B=．[解答]解：〔1∵c﹣b=2bcosA．∴由余弦定理可得：c﹣b=2b×,整理可得：a2=b2+bc,∵a=2,b=3,∴24=9+3c,解得：c=5．〔2∵C=,∴A+B=,可得sinA=cosB,cosA=sinB,∴c﹣b=2bcosA,由正弦定理可得：sin〔A+B=2sinBcosA+sinB,可得：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA+sinB,解得：cos2B+sin2B=2sin2B+sinB=1,即：2sin2B+sinB﹣1=0,可得：sinB=或﹣1〔舍去．即B=．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了正弦定理、余弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,考查了一元二次方程的解法,誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題．22．〔2018?XX模擬已知函數(shù)．〔1求函數(shù)f〔x的單調(diào)遞減區(qū)間；〔2若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,,,sinB=2sinC,求c．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]34：方程思想；4R：轉(zhuǎn)化法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；58：解三角形．[分析]〔1化f〔x為正弦型函數(shù),根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f〔x的單調(diào)遞減區(qū)間；〔2根據(jù)題意,利用正弦、余弦定理求得c的值．[解答]解：〔1=,由,k∈Z,解得,k∈Z；∴函數(shù)f〔x的單調(diào)遞減區(qū)間為,k∈Z；〔2∵,A∈〔0,π,∴；∵sinB=2sinC,∴由正弦定理,得b=2c；又由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,,得,解得c=1．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了三角恒等變換與正弦、余弦定理的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題．23．〔2018?祁陽(yáng)縣二模在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足．〔Ⅰ求角C；〔Ⅱ求的取值范圍．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形．[分析]〔Ⅰ已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn),再利用余弦定理表示出cosC,將得出關(guān)系式代入求出cosC的值,確定出C的度數(shù)；〔Ⅱ由〔Ⅰ及正弦定理化簡(jiǎn)可得：=2sin〔A+,結(jié)合A的范圍,可得＜sin〔A+≤1,即可得解．[解答]解：〔Ⅰ∵．∴由正弦定理,可得：,整理可得：a2+b2﹣c2=ab,∴由余弦定理可得：cosC===,∴C∈〔0,π,∴C=；〔Ⅱ∵由〔Ⅰ可得：B=﹣A,∴由正弦定理可得：=====2sin〔A+,∵0＜A＜,＜A+＜,＜sin〔A+≤1,∴從而解得：=2sin〔A+∈〔1,2]．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用,解題時(shí)注意分析角的范圍,屬于基本知識(shí)的考查．24．〔2018?XX模擬已知在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且．〔1求b的值；〔2若,求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．[考點(diǎn)]HP：正弦定理．[專題]11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；44：數(shù)形結(jié)合法；58：解三角形．[分析]〔1由已知應(yīng)用余弦定理,即可解得b的值．〔2由已知利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求B的值,利用正弦定理可得a=2sinA,c=2sinC,進(jìn)而可求范圍A∈〔,,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解周長(zhǎng)的取值范圍．[解答]解：〔1∵,∴應(yīng)用余弦定理,可得+=,化簡(jiǎn)可得：b=．〔2∵,∴,即：sin〔B+=1,∴由B為銳角,可得；∵,∴a=2sinA,c=2sinC,又∵在銳角△ABC中,0,0,C=,∴A∈〔,,∴周長(zhǎng)L=a+b+c=+2〔sinA+sinC=+2sin〔A+∈〔3+,3]．[點(diǎn)評(píng)]本題主