立體幾何中三角形的四心問題

數(shù)學(xué)來源于生活，又回歸于生活數(shù)學(xué)來源于生活，又回歸于生活立體幾何中三角形的四心問題一、外心問題（若PA=PB=PC,則O為三角形ABC的外心）例1.設(shè)P是AABC所在平面a外一點(diǎn)，若PAPB,PC與平面a所成的角都相等，那么P在平面a內(nèi)的射影是AABC白^（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心如圖所示，作PO1平面a于0,連OAOBOC那么/PAO/PBO/PCO分別是PAPRPC與平面a所成的角，且已知它們都相等.?.RtAPAWRtAPB8RtAPCO...0A=0B=OC ..應(yīng)選B.例2.Rt^ABC中，/C=90°,BC=36,若平面ABC外一點(diǎn)P與平面A,B,C三點(diǎn)等距離，且P到平面ABC的距離為80,M為AC的中點(diǎn).（1）求證：PMLAC;（2）求P到直線AC的距離；（3）求PM與平面ABC所成角的正切值.解析：點(diǎn)P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)等距離，則P在平面ABC內(nèi)的射影為△ABC的外心，而^ABC為直角三角形，其外心為斜邊的中點(diǎn).證明（1） PA=PC,M是AC中點(diǎn)，PMLAC解（2）.「BC=36, MH^18，又P+80,PM=3PH2+MH2=《802+182=82,即P到直線AC的距離為82;PM=PB=PC，P在平面ABC內(nèi)的射線為△ABC的外心，???/C=90° P在平面ABC內(nèi)的射線為AB的中點(diǎn)Ho.「PHL平面ABC?1?HMK/PM^平面ABC上的射影，則/PMH^PM與平面ABC所成的角，，tan/PMH=膽=曰=生MH18 9例3.斜三棱柱ABC-A1B1C的底面△ABC中，AB=AC=10BC=12,Ai到A、C三點(diǎn)的距離都相等，且AA1=13求斜三棱柱的側(cè)面積。解析：??.A1A=AB=AC??點(diǎn)A1在平面ABC上的射影為△ABC的外心，在/BAC平分線AD上??AB=ACADXBCAD為AA在平面ABC上的射影EB??BCXAA1 BC±BBEBBBQC為矩形，S=BBXBC=156取AB中點(diǎn)E,連A1E??A1A=AB A1E±ABA1E=\'AA1-(2)=12 SAA1C1C—SAA1B1B—120

S側(cè)=396二、內(nèi)心問題（若P點(diǎn)到三邊AB,BC,CA的距離相等，則O是三角形ABC的內(nèi)心）例4.如果三棱錐S—ABC的底面是不等邊三角形，側(cè)面與底面所成的角都相等，且頂點(diǎn)S在底面白^射影O在AABC內(nèi)，那么。是AABC的（）A.垂心B.重心C.外心D.內(nèi)心解（1）利用三垂線定理和三角形全等可證明 。到AABC的三邊的距離相等,因而。是AABC的內(nèi)心，因此選D.的定義和性質(zhì)必須掌握旁心、重心,它們的定義和性質(zhì)必須掌握旁心、重心,它們ADC圖2—24則有:BMMPBNNFADC圖2—24則有:BMMPBNNFBGGH二2三.重心問題（若PA垂直PB,PB垂直PC,PC垂直PA,則O是三角形ABC的重心）例6.如圖2—24:B為AAC所在平面外一點(diǎn)，MN、G分別為△ABG：ABD:BCD勺重心，（1）求證：平面MNG平面AC。（2）求S加NG:S&DC解析：（1）要證明平面MNG〃平面ACQ由于MLN、G分別為4ABC△ABt3△BCD勺重心，因此可想到利用重心的性質(zhì)找出與平面平行的直線。證明：連ZBMBZBG并延長(zhǎng)交AGARC皿別于P、F、H。MN、G分別為△ABC△ABD△BCD的重心，連結(jié)PF、FH、PH有MMPF,又PF二平面ACD MN/平面ACD同理：MG/平面ACDM⑹MNkM, ??平面MNG//平面ACD（2）分析：因?yàn)椤鱉NM在的平面與△ACD所在的平面相互平行，因此,求兩三角形的面積之比，實(shí)則求這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊之比。MGBG2解：由（1）可知 =——=—,PHBH3TOC\o"1-5"\h\z_2___ 1_ _1_MG=—PH,又PH^—AD,MG=—AD3 2 3一1一同理：ng=，AC,MNk-CQ3.??；：MN。,ACD其相似比為1：3,…SMNG:S.ADC點(diǎn)評(píng)：立體幾何問題，一般都是化成平面幾何問題，所以要重視平面幾何。比如重心定理，三角形的三邊中線交點(diǎn)叫做三角形有重心， 到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍。例7.如圖9-26,P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是△PAB和△PBC的重心.求證：MN//平面ABC.（三角形的三條中線交于一點(diǎn)，稱為重心，重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)距離的 2倍）解析：如圖9-16,連結(jié)PM并延長(zhǎng)交AB于D,連結(jié)PN并延長(zhǎng)交BC于E,連結(jié)DE.在APAB中，:M是APAB的重心，， EM=2,同理在△MDPN PMPNPBC中有一=2,在4PDE中，=--=--, MN//DEJ-MN0NE MD NE平面ABC,DE$平面ABC,MN//平面ABC.例9.如圖，在三棱錐S—ABC中，A、B、C1分別是ASBGASCAASAB的重心，（1）求證：平面ABC//平面ABQ（2）求三棱錐S—A1BC與S—ABC體積之比.解析：本題顯然應(yīng)由三角形重心的性質(zhì)， 結(jié)合成比例線段的關(guān)系推導(dǎo)出“線

線平行”再到“線面平行”到“面面平行” ，至于體積的比的計(jì)算只要能求出相似三角形面積的比和對(duì)應(yīng)高的比就可以了 ^證：（1）:???A1、B、C是ASBGASCAASAB的重心，連SA、SC并延長(zhǎng)交BCAB于N、M則ZM必是BC和AB的中點(diǎn).連MN..SG_SA_2SMSN3??AiCi//MN.???MN=平面ABG AiCi//平面ABC.同理可證AB//平面ABC.平面AiBiCi//平面ABC.(2)由(i):AC!=2,MNLIaC,MN3 =2-i-??.AiG//—AC.-3同理可證：AiB^IaB,BiCi立1BC.=3 =3i-??AAiBiCi=AABCSaa =—Saabc△AiB1ci 9設(shè)三棱錐S-ABC的高為h,S—AiBiC的高為hi則有：與=毀=2,，hihSN32=h.3i- 2.VSAB1clVSBBCS?AABCVSAB1clVSBBC11Gh27Saabch39評(píng)析：要掌握線面平行的相互轉(zhuǎn)化的思想方法外， 還要有扎實(shí)的相似形和線段成比例的基礎(chǔ).四垂心問題（若PA=PB=PC,AB=ACj。點(diǎn)在BC的中垂線上）例10.已知四面體S-ABC中，SAL底面ABC,^ABC是銳角三角形，H是點(diǎn)A在面SBC上的射影.求證：H不可能是^SBC的垂心.分析：本題因不易直接證明，故采用反證法.證明：假設(shè)H是△SBC的垂心，連結(jié)BH,并延長(zhǎng)交SC于D點(diǎn)，則BH±SCSCXAEJ（三垂線定???AHL平面SBC,SCXAEJ（三垂線定BH是AB在平面SBC內(nèi)的射影理）

又「SA，底面ABC,AC是SC在面內(nèi)的射影 ABLAC（三垂線定理的逆定理）??4ABC是Rt△與已知^ABC是銳角三角形相矛盾，于是假設(shè)不成立.故H不可能是^SBC的垂心.例11.如圖2—40:P是4ABC所在平面外的一點(diǎn)，PAXPB,PBXPC,PCXPA,PHL平面ABC,H是垂足。求證：H是ABC的垂心。證明：-.PAXPB,PBXPC,?PAL平面PBC,BC仁平面PBCBC±PA.PH，平面ABC,BCU平面ABC??BCXPH.BC,平面PAH,AHU平面PAHAH±BC,同理BHXAC,CHLAB,因此H是^ABC的垂心。例14.如圖9-32,△ABD和4ACD都是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且AD=BD=CD,/BAC=60°,求證：A(6)A(6)圖9-32BDL平面ADC;(2)若H是4ABC的垂心，則H為D在平面ABC內(nèi)的射影.解析：(1)設(shè)AD=BD=CD=a,則AB=AC=v5a.「/BAC=60°,BC=U2a.由勾股定理可知，/BDC=90°,即BD^DC,又「BDXAD,ADnDC=D,BD,平面ADC.(2)如圖答9-21,要證H是D在平面ABC上的射影，只需證DHL平面ABD,連結(jié)HA、HB、HC.「H是△ABC的垂心，「.CH±AB.「CD±DA,CDXBD,「.CD，平面ABD,CDLAB.「CHACD=C,AB,平面DCH. ???DH金平面DCH,ABXDH,即DHLAB,數(shù)學(xué)來源于生活，又回歸于生活。數(shù)學(xué)來源于生活，又回歸于生活。同理DH^BC.???ABABC=B,，DH，平面ABC.五、四心綜合比較考查例15.P是^ABC所在平面外一點(diǎn)，O是點(diǎn)P在平面a上的射影.(1)若PA=PB=PC,則。是4ABC的心.(2)若點(diǎn)P到△ABC的三邊的距離相等，則OABC心.(3)若PA、PB、PC兩兩垂直，則OABC心.(4)若4ABC是直角三角形，且PA=PB=PC則O是4ABC的心.(5)若4ABC是等腰三角形，且PA=PB=PC,則O是△ABC的心.(6)若PA、PB、PC與平面ABC所成的角相等，則。是4ABC的心;解析：(1)外心.PA=PB=PC.,.OA=OB=OC, 。是4ABC的外心.(2)內(nèi)心(或旁心).作ODXAB于D,OELBC于E,OF,AC于F,連結(jié)PD、PE、PF.???POL平面ABC, OD、OE、OF分別為PD、PE、PF在平面ABC內(nèi)的射影，由三垂線定理可知， P