光在復(fù)折射率介質(zhì)界面的反射與折射

光在復(fù)折射率介質(zhì)界面的反射與折射張秋長;羅天舒【摘要】通過研究光在復(fù)折射率介質(zhì)中的傳播，獲得光波在復(fù)折射率介質(zhì)中傳播和衰減的有效折射率Ns和Nq的表達(dá)式,它們的值由介質(zhì)的復(fù)折射率、等幅面和等相面的單位矢量q和s之間的夾角決定;折射邊的有效折射率除了與折射邊的復(fù)折射率有關(guān)外，還與入射光的入射角和入射介質(zhì)的有效折射率有關(guān).根據(jù)光的傳播表達(dá)式,分別運(yùn)用相應(yīng)的Snell定律，獲得了光在兩復(fù)折射率介質(zhì)界面的菲涅耳(Fresnel)公式，可知反射和透射系數(shù)與入射角、吸收性介質(zhì)的復(fù)折射率有關(guān)，而且與入射光兩單位矢量之間的夾角有關(guān)，并將Fresnel公式推廣至任意兩界面組合的情況下，且光通過兩復(fù)折射率介質(zhì)的Fresnel公式可退化為介質(zhì)/介質(zhì)的特殊情況.【期刊名稱】《上饒師范學(xué)院學(xué)報(bào)》【年(卷)，期】2018(038)003【總頁數(shù)】8頁(P15-22)【關(guān)鍵詞】幾何光學(xué);復(fù)折射率;光傳輸;菲涅耳公式【作者】張秋長;羅天舒【作者單位】廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院福建漳州363105;廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院福建漳州363105【正文語種】中文【中圖分類】O435Snell和Descartes發(fā)現(xiàn)當(dāng)光穿越由不同介質(zhì)組成的界面時(shí)會(huì)發(fā)生折射，并總結(jié)出了Snell折射定律［1］，成為現(xiàn)代光學(xué)原理的重要基礎(chǔ)。該定律被廣泛應(yīng)用于理解光在透明介質(zhì)中的傳播規(guī)律。許多學(xué)者對光在透明介質(zhì)層的反射、折射進(jìn)行了廣泛的研究［2-4］，而在研究復(fù)折射率介質(zhì)界面的反射和折射時(shí)，較廣泛的處理方法是將復(fù)折射率和復(fù)角代替透明介質(zhì)公式中相應(yīng)的參數(shù)［5-7］，但當(dāng)被擴(kuò)展和應(yīng)用于強(qiáng)的吸收材料，如金屬時(shí)，這一問題至今仍未能被很好地認(rèn)識(shí)和理解。Born等［8］處理了光由介質(zhì)到金屬邊界的實(shí)折射角和路徑問題，同時(shí)Garcia-Pomar等［9］依據(jù)相同的原理處理了光由金屬到介質(zhì)邊界的實(shí)折射角公式，但是將他們得到的兩組公式（介質(zhì)-復(fù)折射率介質(zhì)-介質(zhì)）聯(lián)系起來考慮，卻與實(shí)驗(yàn)觀察的結(jié)果不一致，雖然兩組公式都基于相同的原理，但是由于第二組計(jì)算公式入射角是復(fù)數(shù)角，而處理過程代入計(jì)算的是實(shí)數(shù)角度，忽略了復(fù)數(shù)角對折射角的影響。所以用復(fù)折射率和復(fù)角代替透明介質(zhì)各項(xiàng)公式中相應(yīng)的參數(shù)具有一定的局限性［10-11］。在對光散射幾何光學(xué)近似研究過程中［12-19］，發(fā)現(xiàn)它能夠克服Mie理論計(jì)算大顆粒散射振幅耗時(shí)的缺點(diǎn)，但也存在計(jì)算吸收性顆粒中光的傳播路徑和菲涅耳系數(shù)的困難。有研究者通過引入有效折射率［20-21］，給出了復(fù)折射率介質(zhì)中菲涅耳系數(shù)的計(jì)算公式；也有研究者將吸收顆粒里的非均勻波近似看作均勻波，給出了弱吸收顆粒近似計(jì)算的結(jié)果，但對于吸收性稍微強(qiáng)的顆粒、以及強(qiáng)的吸收性顆粒，這種近似不再成立［18-22］。本文研究了光在兩復(fù)折射率介質(zhì)界面的反射、折射規(guī)律，推導(dǎo)出了光通過兩復(fù)折射率介質(zhì)邊界時(shí)的Fresnel公式，并將公式推廣至任意組合界面情況下的Fresnel公式，并能夠?qū)⒐酵嘶癁榻橘|(zhì)/介質(zhì)的特殊情況。1光在復(fù)折射率介質(zhì)中的傳播光在復(fù)折射率介質(zhì)中的傳播如圖1所示，它的等幅面一般不與等相面重合，這樣的波稱為非均勻波，等幅面和等相面的單位矢量分別為q和s,兩單位矢量之間的夾角為E=cos-1(q.s)。把平面電磁波E(r,t)=E(r)e-i3t,H(r,t)=H(r)e-iwt代人麥克斯韋方程，可以得到光波在復(fù)折射率介質(zhì)中滿足如下方程[8,23]:圖1光在復(fù)折射率介質(zhì)中的傳播(1)(2)其中為等效復(fù)介電常數(shù)，￡為介電常數(shù)，□為磁導(dǎo)率，。為電導(dǎo)率，為真空中的波矢，為復(fù)折射率介質(zhì)中的復(fù)波矢，其中ks,kq分別為波的相位常數(shù)(反映波的傳播情況)和衰減常數(shù)(反映波的振幅變化)，復(fù)折射率介質(zhì)的復(fù)折射率由此可知復(fù)折射率的實(shí)部和虛部表示如下：(3)從上式可知復(fù)折射率介質(zhì)的復(fù)折射率并不是真正的物質(zhì)常數(shù)，而是隨入射光的頻率改變。同時(shí)復(fù)折射率介質(zhì)中的光波可表示成：⑷相位常數(shù)、衰減常數(shù)與復(fù)折射率的實(shí)部、虛部之間的關(guān)系如下：⑸由于n,K均不為零，從上式可知，切n/2，即兩單位矢量不會(huì)垂直。經(jīng)計(jì)算可得:將參數(shù)Ns、Nq看作光在復(fù)折射率介質(zhì)中傳播和衰減的有效折射率，它們的大小不但與復(fù)折射率有關(guān)，還與等相面和等幅面的夾角有關(guān)。根據(jù)式(6)，復(fù)折射率介質(zhì)中的光波也可表示為⑺將式(7)代入式(1)可得(8)如果Nq=0，或者E=0,則此時(shí)為均勻光波。2光在兩復(fù)折射率介質(zhì)界面的反射與折射設(shè)光在復(fù)折射率為和的兩復(fù)折射率介質(zhì)界面發(fā)生反射和折射，入射波Ei(r)=E0i-e-i(ksisi+ikqiqi)?r,Hi(r)=HOi?e-i(ksisi+ikqiqi)?r,為簡便起見，考慮入射波的等幅面單位矢量qi和等相面單位矢量si均在入射面yz平面內(nèi)，如圖2所示，入射角為&,Zi為z軸和qi的夾角，兩單位矢量之間的夾角&=cos-1(qi.si)=|&-Zi|。圖2光通過兩復(fù)折射率介質(zhì)界面的反射與折射反射波和折射波表示為如下(r,t分別表示反射和折射邊):⑼(10)根據(jù)相位的連續(xù)性條件可知，反射波和折射波的等幅面單位矢量(qr、qt)和等相面單位矢量(sr、st)也均在入射面yz平面內(nèi)，er、et分別為反射角、折射角，反射波和折射波的兩單位矢量之間的夾角分別為&=cos-1(qr.sr)、Et=cos-1(qt.st)。如圖2所示，并且存在：(11)(12)結(jié)合(6)式，可得：(13)由上式可知，有效折射率Nst,Nqt除了與折射邊的復(fù)折射率介質(zhì)的復(fù)折射率有關(guān)，而且與入射光的入射角ei,Zi和入射光的有效折射率Nsi,Nqi有關(guān)。3吸收性介質(zhì)邊界上的Fresnel公式在復(fù)折射率介質(zhì)中電磁波不是橫波，因此將電磁波分成TE波和TM波。3.1TE波的Fresnel公式：對于TE波，電矢量只存在x分量。(14)磁矢量則包含在入射面內(nèi)，因此在邊界上的連續(xù)性條件為：(15)將式(14)代入式(15)可得(16)由此可得電矢量的反射率和透過率：3.2TM波的Fresnel公式：對于TM波，磁矢量只存在x分量。(18)電矢量則包含在入射面內(nèi)，因此在邊界上的連續(xù)性條件為：(19)將式(18)代入式(19)可得(20)由此可得磁矢量的反射率和透過率：(21)3.3特例1：透明介質(zhì)-透明介質(zhì)界面上的Fresnel公式當(dāng)兩介質(zhì)均為透明介質(zhì)時(shí)，有效折射率為Ns=n,Nq=0，光波此時(shí)在介質(zhì)中為橫波。假定介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率為1(光學(xué)介質(zhì))。則公式(17)(21)簡化為(22)(23)利用橫波的電磁量之間關(guān)系可得(24)與M.Born和E.Wolf所著的光學(xué)原理書上結(jié)果一致。3.4特例2:透明介質(zhì)-復(fù)折射率介質(zhì)界面上的Fresnel公式當(dāng)入射介質(zhì)為非吸收性、透射介質(zhì)為吸收性時(shí)，入射介質(zhì)中電磁波為平面波。假定介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率為1(光學(xué)介質(zhì))。則公式(17)(21)簡化為(25)3.5特例3：復(fù)折射率介質(zhì)-透明介質(zhì)界面上的Fresnel公式當(dāng)入射介質(zhì)為吸收性、透射介質(zhì)為非吸收性時(shí)，且假定介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率為1(光學(xué)介質(zhì))。由于吸收性介質(zhì)中光波的相位波矢與衰減波矢在界面上同時(shí)存在切向分量，折射后的波為非均勻平面波，可得介質(zhì)中折射波的相位常數(shù)kst和衰減常數(shù)kqt滿足如下關(guān)系：(26)此時(shí)折射波的衰減波矢并不等于零，根據(jù)邊界條件同理可得：(27)則(17)和(21)式簡化為(28)若入射光波在吸收性介質(zhì)中是均勻波時(shí)，則(29)則上式可進(jìn)一步化簡為：對于入射介質(zhì)為吸收性、透射介質(zhì)為非吸收性的情況，此時(shí)折射光波是非均勻波，因此不能只是簡單的將Nqt=0代入公式進(jìn)行簡化。4結(jié)論光波在復(fù)折射率介質(zhì)中傳播和衰減的有效折射率Ns和Nq由介質(zhì)的復(fù)折射率、等幅面和等相面的單位矢量q和s之間的夾角決定。根據(jù)光的傳播表達(dá)式，傳播和衰減方向分別運(yùn)用相應(yīng)的Snell定律，即在復(fù)折射率介質(zhì)界面Snell定律可表示成兩組實(shí)數(shù)形式。折射邊的有效折射率除了與折射邊的復(fù)折射率有關(guān)外，還與入射光的入射角和入射介質(zhì)的有效折射率有關(guān)。并獲得了光在兩復(fù)折射率介質(zhì)界面的Fresnel公式，并將Fresnel公式推廣至任意兩界面組合的情況下，且光通過兩復(fù)折射率介質(zhì)的Fresnel公式可退化為介質(zhì)/介質(zhì)的特殊情況。研究結(jié)果將有助于理解光在金屬界面發(fā)生折射傳播的路徑和規(guī)律，同時(shí)對光散射幾何光學(xué)近似處理復(fù)折射率顆粒邊界問題具有一定的參考價(jià)值。參考文獻(xiàn)：SHIRLEYJW.AnearlyexperimentaldeterminationofSnell'slaw[J].AmericanJournalofPhysics,1951,19(9):507-508.姚啟鈞.光學(xué)教程[M].3版.北京：高等教育出版社，2002:78-80.趙凱華，鐘錫華.光學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2003:246-249.CHIUMH,LEEJY,SUDC.Refractive-indexmeasurementbasedontheeffectsoftotalinternalreflectionandtheusesofheterodyneinterferometry[J].AppliedOptics,1997,36(13):2936-2939.陳強(qiáng)華，羅會(huì)甫，王素梅，等.基于表面等離子體共振和雙頻激光干涉相位測量的空氣折射率測量[J].中國激光，2013，40(1):180-186.馬利祥，李范鳴，牛繼勇，等.基于復(fù)折射率的偏振模型及其應(yīng)用[J].激光與紅外，2013，43(10):1138-1141.CHIUMH,LEEJY,SUDC.Complexrefractive-indexmeasurementbasedonFresnel'sequationsandtheusesofheterodyneinterferometry[J].AppliedOptics,1999,38(19):4047-4052.馬科斯?玻恩，埃米爾?沃耳夫.光學(xué)原理[M].5版.楊葭蓀，譯.北京：科學(xué)出版社，1978:618-619.GARCIAPOMARJL,NIETOVESPERINASM.Transmissionstudyofprismsandslabsoflossynegativeindexmedia[J].OpticExpress,2004,12(10):2081-2095.顧聞，鄔云驊，陳岳瑞，等.光在金屬界面的傳輸特性研究[J].紅外與毫米波學(xué)報(bào)，2009,28(1):31-34.張秋長.光在金屬界面?zhèn)鞑サ膶?shí)折射角計(jì)算[J].廈門大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015,54(2):242-246.DAVISGE.Scatteringoflightbyanairbubbleinwater[J].JournaloftheOpticalSoc.Am.1955,45(7):572-581.HULSTHCVD.Lightscatteringbysmallparticles[M].NewYork:JohnWiley&Sons,1957:470.HOVENACEA.Calculationoffar-fieldscatteringfromnonsphericalparticlesusingageometricalopticsapproach[J].AppliedOptics.1991(30):4739-4746.ADENAL,KERKERM.Scatteringofelectromagneticwavesbytwoconcentricspheres[J].JournalofAppliedPhysics.1951,22:1242-1246.LIX,HANX,LIRetal.Geometrical-opticsapproximationofforwardscatteringbygradient-indexspheres[J].AppliedOptics.2007,46(22):5241-5247.XUF,RRNKF,CAIXS.Extensionofgeometrical-opticsapproximationtoon-axisGaussianbeamscattering.I.Byasphericalparticle[J].AppliedOptics,2006,45(20):4990-4999.徐峰，蔡小舒,沈嘉祺.米氏理論的近似及在粒度測量中的應(yīng)用[J].光學(xué)學(xué)報(bào),2003,23(12):1464-1469.HEH,LIW,ZHANGX,etal.Lightscatteringbyaspheroidalbubblewithgeometricalopticsapproximation[J].JournalofQuantitativeSpectroscopyandRadiativeTransfer,2012,113(12):1467-1475.YANGP,LIOUKN.Lightscatteringbyhexagonalicecrystals:comparisonoffinite-differencetimedomainandgeometricopticsmodels[J].JournaloftheOpticalSocietyofAmericaA,1995,12(1):162-176.YANGP,LIOUKN.Effectiverefractiveindexf