學(xué)案角與弧度

8/8角與弧度【第一學(xué)時】任意角【學(xué)習(xí)目標】1．結(jié)合實例，了解角的概念的推廣及其實際意義。2．理解象限角的概念，并掌握終邊相同角的含義及其表示?！緦W(xué)習(xí)重難點】1．了解角的概念的推廣及其實際意義。2．理解象限角的概念，并掌握終邊相同角的含義及其表示?！緦W(xué)習(xí)過程】一、新知初探1．角的分類注意正角、負角的旋轉(zhuǎn)方向類型定義圖示正角按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角負角按順時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角零角不旋轉(zhuǎn)所成的角2．角的加法對于兩個任意角α、β，將角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時終邊所對應(yīng)的角稱為α與β的和，記作α＋β；射線OA繞端點O分別按逆時針方向、順時針方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角稱為相反角、角α的相反角為－α，于是α－β＝α＋（－β）。3．象限角以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸正半軸建立平面直角坐標系，那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，稱這個角為軸線角。4．終邊相同角的表示一般地，與角α終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}。二、初試身手1．與－457°角的終邊相同的角的集合是（）A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}2．－378°是第________象限角。3．終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？三、合作探究題型一與任意角有關(guān)的概念辨析【例1】（1）下列說法中正確的是________（填序號）。①終邊落在第一象限的角為銳角；②銳角是第一象限的角；③第二象限的角為鈍角；④小于90°的角一定為銳角；⑤角α與－α的終邊關(guān)于x軸對稱。（2）如圖，射線OA先繞端點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°到OB處，再按順時針方向旋轉(zhuǎn)820°至OC處，則β＝________。題型二終邊相同的角【例2】在與角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角。（1）最大的負角；（2）最小的正角；（3）[360°，720°）內(nèi)的角。題型三象限角和區(qū)間（域）角【例3】（1）－2019°是第________象限角。（2）已知，如圖所示。①分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；②寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合?！緦W(xué)習(xí)小結(jié)】1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)會利用圖形描述建立形與數(shù)的聯(lián)系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)。2．本節(jié)主要借助坐標系，加深對角的概念的理解。3．會寫終邊相同的角、區(qū)域角?！揪珶挿答仭?．在①160°；②480°；③－960°；④1530°這四個角中，屬于第二象限角的是（）A．①B．①②C．①②③D．①②③④2．（多選題）下列說法不正確的是（）A．三角形的內(nèi)角一定是第一、二象限角B．鈍角不一定是第二象限角C．相差180°整數(shù)倍的角為終邊相同的角D．鐘表的時針旋轉(zhuǎn)而成的角是負角3．把－936°化為α＋k·360°（0°≤α<360°，k∈Z）的形式為________。4．終邊在直線y＝－x上的角的集合S＝________。5．如圖所示，（1）寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合；（2）寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合?！镜诙W(xué)時】弧度制【學(xué)習(xí)目標】1．理解角度制與弧度制的概念，能對弧度和角度進行正確的轉(zhuǎn)換。2．體會引入弧度制的必要性，建立角的集合與實數(shù)集的一一對應(yīng)關(guān)系。3．掌握并能應(yīng)用弧度制下的弧長公式和扇形面積公式?！緦W(xué)習(xí)重難點】理解角度制與弧度制的概念，能對弧度和角度進行正確的轉(zhuǎn)換。【學(xué)習(xí)過程】一、新知初探1．度量角的兩種單位制在用弧度制表示角時，單位可以省略角度制定義用度作為單位來度量角的單位制1度的角周角的eq\f(1,360)為1度的角，記作1°弧度制定義以弧度為單位來度量角的單位制1弧度的角長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角。1弧度記作1rad2．弧度數(shù)（1）正角：正角的弧度數(shù)是正數(shù)。（2）負角：負角的弧度數(shù)是負數(shù)。（3）零角：零角的弧度數(shù)是0.（4）如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝eq\f(l,r)。3．角度制與弧度制的換算牢記180°＝πrad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°角度化弧度弧度化角度360°＝2π__rad2πrad＝360°180°＝π__radπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)__rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57．30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\f(180,π)＝度數(shù)4．扇形的弧長和面積公式如圖：（1）則有l(wèi)＝|α|·r。若r＝1，則有l(wèi)＝|α|。（2）若|α|≤2π，則圓心角為α的扇形的面積為S＝eq\f(1,2)rl。5．角與實數(shù)的關(guān)系在弧度制下，角的集合與弧度數(shù)的集合之間建立起一一對應(yīng)關(guān)系。如圖所示：二、初試身手1．下列命題中的假命題是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)C．1rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)2．將2340°轉(zhuǎn)化為弧度為________。3．已知半徑為1的扇形面積為eq\f(3π,8)，則扇形的圓心角為________。4．若θ＝－5，則角θ的終邊在第________象限。三、合作探究題型一角度與弧度的互化及應(yīng)用【例1】將下列角度與弧度進行互化：（1）20°；（2）－800°；（3）eq\f(7π,12)；（4）－eq\f(4,5)π。題型二用弧度制表示角的集合【例2】用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合（不包括邊界，如圖）。題型三弧長公式與面積公式的應(yīng)用【例3】如圖所示，十字形公路的交叉處周圍成扇形，某市規(guī)劃擬在這塊扇形土地上修建一個圓形廣場。已知∠AOB＝60°，eq\o(AB,\s\up8(︵))的長度為100πm。怎樣設(shè)計能使廣場的占地面積最大？其值是多少？【學(xué)習(xí)小結(jié)】1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，重點提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。2．本節(jié)課主要講述角度制與弧度制的互化和利用弧長公式、面積公式解決有關(guān)計算問題?！揪珶挿答仭?．下列各命題中，真命題是（）A．1弧度就是1°的圓心角所對的弧B．1弧度是長度等于半徑的弧C．1弧度是1°的弧與1°的角之和D．1弧度是長度等于半徑的弧所對的圓心角2．將－1485°化成α＋2kπ（0≤α<2π，k∈Z）的形式是（）A．－eq\f(π,4)－8π B．eq\f(7,4)π－8πC．eq\f(π,4)－10π D．eq\f(7,4)π－10π3．若α∈（0，π），且α與角－eq\