線性組合與線性相關(guān)

1.n元線性方程組Ax=b有解.且：無窮多解。一、線性方程組解的判定定理有唯一解;2.n元齊次線性方程組Ax=0有非零解。只有零解；特別地：（1）方程個數(shù)<未知數(shù)個數(shù)時（2）方程數(shù)=未知個數(shù)時：有非零解。只有零解；，有非零解。線性組合與線性相關(guān)共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!二、向量組的線性組合1.線性表示：如果β=k11+k22+···+kss，則稱β可由1,2,···,s線性表示，或稱β是1,2,···,s的線性組合。2.β能由1,2,···,s線性表示的含義是線性方程組x11+x22+···+xss=β有解，其充要條件是r(A)=r(A|β)注：判斷β能不能由1,2,···,s線性表示的方法：把矩陣(1,2,···,s,β)變換為行階梯形矩陣，并從中觀察r(1,2,···,s)和r(1,2,···,s,β)，進(jìn)行比較。即r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s,β)線性組合與線性相關(guān)共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!例：設(shè)有向量組1=(1,0,2)T,2=(1,2,0)T,3=(2,1,3)T,4=(2,5,－1)T，試問4是否可由1,2,3線性表示？若可以，寫出表示式。解：設(shè)有數(shù)x1,x2,x3,使得x11+x22+x33=4<3所以方程組有無窮多解，即4可由1,2,3線性表示，且表示方式不唯一。線性組合與線性相關(guān)共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!對繼續(xù)施行初等行變換，最后一個矩陣對應(yīng)的線性方程組為：若取x3=1，所以:－21+22+3=4若取x3=－1，所以：1+32－3=4有:x1=－2有:x1=1,x2=2,,x2=3,線性組合與線性相關(guān)共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!例：設(shè)有向量組1=(1,0,－1,2)T,2=(－1,－1,2,－4)T,3=(2,3,－5,10)T,試討論向量組1,2,3及向量組1,2的線性相關(guān)性。解：<3所以1,2,3線性相關(guān)；所以1,2線性無關(guān)。線性組合與線性相關(guān)共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!例：如果1,2,···,s線性無關(guān)，1,2,···,s,β線性相關(guān)，則β可由1,2,···,s線性表示。r(1,2,···,s)=s分析：1,2,···,s線性無關(guān)從而β可由1,2,···,s線性表示。1,2,···,s,β線性相關(guān)r(1,2,···,s,β)r(1,2,···,s)r(1,2,···,s,β)<s+1≤s=所以：r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s,β)方程組有唯一解而且：x11+x22+···+xss=β有解<s+1r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s,β)=s，表示法唯一。線性組合與線性相關(guān)共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!若1,2,···,s中有一向量可由其余s－1個向量線性表示，證明：()不妨設(shè)：1.定理：向量組1,2,···,s(s≥2)

線性相關(guān)的充要條件是向量組中最少有一向量可由其余s－1個向量線性表示。則：不全為零，從而1,2,···,s線性相關(guān)。線性組合與線性相關(guān)共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!例：兩個向量α1,α2線性相關(guān)的充要條件是它們對應(yīng)的分量成比例。α1=kα2或α2=lα1

線性組合與線性相關(guān)共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!思考：線性無關(guān)判斷的線性相關(guān)性。討論方程組x11+x22+x33=O的解，前三個方程是x11+x2

2+x3

3=O，從而x1=x2=x3=0單位向量組線性組合與線性相關(guān)共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!7.向量個數(shù)大于維向量維數(shù)時8.n個n維向量組線性相關(guān)的條件是小結(jié)：判斷n維向量組1,2,···,s是否線性相關(guān)1.若s>n2.若s=n當(dāng)|A|＝0時當(dāng)|A|≠0時3.若s<n當(dāng)r(1,2,···,s)<

s時，此法也適用于前兩種情形。，向量組線性相關(guān)。它們所構(gòu)成矩陣的行列式等于零。，可先比較向量個數(shù)s與向量維數(shù)n的大?。海瑒t向量組線性相關(guān)，無需計(jì)算。，則可計(jì)算向量組構(gòu)成矩陣A的行列式，，向量組線性相關(guān)；，向量組線性無關(guān)。，則計(jì)算r(1,2,···,s)當(dāng)r(1,2,···,s)=

s時，向量組線性相關(guān)；向量組線性無關(guān)。線性組合與線性相關(guān)共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!三、向量組的線性相關(guān)性1.線性相關(guān)定義：存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,···,ks,使得k11+k22+···+kss=O.若k1,k2,···,ks必須全為零，則稱1,2,···,s

線性無關(guān)。2.1,2,···,s線性相關(guān)的含義是齊次線性方程組x11+x22+···+xss=O有非零解，（即Ax=0）線性無關(guān)的含義是方程組

其充要條件是r(A)=s,r(A)<s,即r(1,2,···,s)<s.只有零解即r(1,2,···,s)=s.線性組合與線性相關(guān)共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!例：如果β可由1,2,···,s線性表示，則表示法唯一的充要條件是1,2,···,s線性無關(guān)。r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s,β)x11+x22+···+xss=β分析：β可由1,2,···,s線性表示有解1,2,···,s線性無關(guān)。r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s,β)=s在此前提下x11+x22+···+xss=β有唯一解，表示法唯一線性組合與線性相關(guān)共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!定理：若1,2,···,s線性無關(guān)，而1,2,···,s,β線性相關(guān)，則β可由1,2,···,s線性表示，且表示法唯一。四、線性相關(guān)性與線性組合的關(guān)系1.定理：向量組1,2,···,s(s≥2)

線性相關(guān)的充要條件是向量組中最少有一向量可由其余s－1個向量線性表示。例：判斷α1=(1,1,1)T,α2=(3,2,3)T,α3=(4,3,4)T是否線性相關(guān)。解：顯然1+2=3

，所以1+2－3

=O.從而α1,α2,α3線性相關(guān)。線性組合與線性相關(guān)共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!

向量組1,2,···,s(s≥2)

線性無關(guān)的充要條件是其中每個向量都不能可由其余向量線性表示。證明：()1.定理：向量組1,2,···,s(s≥2)

線性相關(guān)的充要條件是向量組中最少有一向量可由其余s－1個向量線性表示。逆否命題：若1,2,···,s(s≥2)

線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,···,ks，使得：k11+k22+···+kss=O.不妨設(shè)k1≠0，即

1可由其余s－1個向量線性表示。則：線性組合與線性相關(guān)共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!五、線性相關(guān)性的一些常用結(jié)論1.零向量是線性相關(guān)的，一個非零向量是線性無關(guān)的。2.兩個向量線性相關(guān)的充分條件是對應(yīng)分量成比例。3.含有零向量的向量組線性相關(guān)。4.部分組線性相關(guān)，則整個向量組組線性相關(guān)；向量組線性無關(guān)，則其部分組線性無關(guān)。線性組合與線性相關(guān)共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!五、關(guān)于向量組線性相關(guān)性的主要結(jié)論1.零向量是線性相關(guān)的，一個非零向量是線性無關(guān)的。3.含有零向量的向量組線性相關(guān)。4.部分組線性相關(guān)，則整個向量組組線性相關(guān)；向量組線性無關(guān)，則其部分組線性無關(guān)。5.線性無關(guān)向量組的“加長”向量組線性無關(guān)；線性相關(guān)向量組的“減短”向量組線性相關(guān)。2.兩個向量線性相關(guān)的充分條件是對應(yīng)分量成比例。6.若1,2,···,s線性無關(guān)，而1,2,···,s,β線性相關(guān)，則β可由1,2,···,s線性表示，且表示法唯一?！凹娱L”—加入相同序號的分量線性組合與線性相關(guān)共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!練習(xí):設(shè)向量組α1=(1,1,1)T,α2=(1