實(shí)變函數(shù)第三章復(fù)習(xí)題及解答

實(shí)變函數(shù)第三章復(fù)習(xí)題及解答實(shí)變函數(shù)第三章復(fù)習(xí)題及解答實(shí)變函數(shù)第三章復(fù)習(xí)題及解答實(shí)變函數(shù)第三章復(fù)習(xí)題及解答編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:第三章復(fù)習(xí)題一、判斷題1、設(shè)是定義在可測集上的實(shí)函數(shù)，如果對任意實(shí)數(shù)，都有為可測集，則為上的可測函數(shù)。（√）2、設(shè)是定義在可測集上的實(shí)函數(shù)，如果對某個(gè)實(shí)數(shù)，有不是可測集，則不是上的可測函數(shù)。（√）3、設(shè)是定義在可測集上的實(shí)函數(shù)，則為上的可測函數(shù)等價(jià)于對某個(gè)實(shí)數(shù)，為可測集。（×）4、設(shè)是定義在可測集上的實(shí)函數(shù)，則為上的可測函數(shù)等價(jià)于對任意實(shí)數(shù)，為可測集。（×）5、設(shè)是定義在可測集上的實(shí)函數(shù)，則為上的可測函數(shù)等價(jià)于對任意實(shí)數(shù)，為可測集。（√）6、設(shè)是定義在可測集上的實(shí)函數(shù)，則為上的可測函數(shù)等價(jià)于對任意實(shí)數(shù)和（），為可測集。（×）7、設(shè)是零測集，是上的實(shí)函數(shù)，則為上的可測函數(shù)。（√）8、若可測集上的可測函數(shù)列{}在上幾乎處處收斂于可測函數(shù)，則{}在上“基本上”一致收斂于。（×）9、設(shè)為可測集上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則在上“基本上”連續(xù)。（√）10、設(shè)為可測集，若上的可測函數(shù)列（），則{}的任何子列都在上幾乎處處收斂于可測函數(shù)。（×）11、設(shè)為可測集，若上的可測函數(shù)列于，則（）。（×）二、填空題1、等于，等于。2、包含于，包含于；等于，等于。3、設(shè)，則等于。4、設(shè)，則等于。5、由于區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)所成的集為至多可數(shù)集，則為上的幾乎處處連續(xù)函數(shù)，從而為上的可測函數(shù)。6、敘述可測函數(shù)的四則運(yùn)算性可測函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算所得的函數(shù)（只要有意義）仍可測。7、敘述可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系簡單函數(shù)是可測函數(shù)；在幾乎處處收斂的意義下，任何可測函數(shù)總可表示成一列簡單函數(shù)的極限。8、敘述可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系連續(xù)函數(shù)必為可測函數(shù)；可測函數(shù)“基本上”可以表示成一個(gè)連續(xù)函數(shù)。9、敘述葉果洛夫定理設(shè)E是測度有限的可測集，則E上幾乎處處收斂的可測函數(shù)列“基本上”一致收斂。10、敘述魯津定理設(shè)E是可測集，則E上的可測函數(shù)“基本上”是連續(xù)函數(shù)。11、若，（），則等于幾乎處處于。三、證明題1、證明：上的連續(xù)函數(shù)必為可測函數(shù)。證明：設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號性，對任意實(shí)數(shù)，是開集，從而是可測集。所以，是上的可測函數(shù)。2、證明：上的單調(diào)函數(shù)必為可測函數(shù)。證明：不妨設(shè)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)，記，由單調(diào)函數(shù)的特點(diǎn)得，當(dāng)時(shí)，，顯然是可測集；當(dāng)時(shí)，，也顯然是可測集。故是上的可測函數(shù)。3、證明：若，（），則于。證明：由于，而，所以，，由，（）得，。所以，，從而，即于。4、證明：若，（），則（）。證明：對任意，由于，所以，由可得，和至少有一個(gè)成