新教材人教A數(shù)學必修二課件：851直線與直線平行

8.5空間直線、平面的平行8.5.1直線與直線平行8.5空間直線、平面的平行新教材人教A數(shù)學必修二課件：851直線與直線平行1.基本事實4平行于同一條直線的兩條直線平行.1.基本事實4【思考】平面中有哪些常用的證明兩直線平行的定理？提示：三角形的中位線平行于底邊、平行四邊形的對邊平行等.【思考】2.等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.2.等角定理

【思考】平面中怎樣利用平行證明兩個角相等？提示：兩直線平行同位角、內(nèi)錯角相等，平行四邊形中對角相等.【思考】平面中怎樣利用平行證明兩個角相等？【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)分別平行于兩條異面直線的兩條直線一定是異面直線. (

)(2)如果空間中的兩個角相等或互補，那么這兩個角的兩條邊分別對應平行. (

)【素養(yǎng)小測】提示：(1)×.也可能是相交直線.(2)×.等角定理的逆定理不成立.提示：(1)×.也可能是相交直線.2.若一個角兩邊和另一個角兩邊分別平行，一個角為45°，則另一個角為________.

2.若一個角兩邊和另一個角兩邊分別平行，一個角為45°，則另【解析】若一個角兩邊和另一個角兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補，由一個角為45°，則另一個角為45°或135°.答案：45°或135°【解析】若一個角兩邊和另一個角兩邊分別平行，3.已知棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點，則MN與A′C′的位置關(guān)系是________.

3.已知棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N【解析】如圖所示，MN

AC，因為AC

A′C′，所以MN

A′C′.答案：平行【解析】如圖所示，MNAC，類型一空間中兩直線平行的判定及應用【典例】如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的中點，G，H分別是BC，CD邊上的點，且

.求證：四邊形GHFE是梯形.類型一空間中兩直線平行的判定及應用【思維·引】根據(jù)梯形的定義證明.【思維·引】根據(jù)梯形的定義證明.【證明】因為空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的中點，所以EF∥BD，且EF=BD，因為G，H分別是BC，CD邊上的點，且，所以HG∥BD，且HG=BD，所以EF∥HG，且EF≠HG，所以四邊形GHFE是梯形.【證明】因為空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊

【內(nèi)化·悟】本題中證明線線平行用了哪些定理？提示：三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理的逆定理，基本事實4.【內(nèi)化·悟】

【類題·通】關(guān)于空間中兩直線平行的證明(1)輔助線：常見的輔助線作法是構(gòu)造三角形中位線，平行四邊形的對邊.【類題·通】(2)證明依據(jù)：三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理的逆定理，基本事實4，幾何體中相對的棱、對角線等的平行關(guān)系.(2)證明依據(jù)：三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理的逆

【習練·破】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點，點E1，F(xiàn)1分別是棱A1D1，C1D1的中點.求證：EE1∥FF1.【習練·破】【證明】連接EF，E1F1，A1C1，AC，【證明】連接EF，E1F1，A1C1，AC，由長方體ABCD-A1B1C1D1知，AC

A1C1，因為點E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點，所以由三角形中位線定理得：EF

AC，同理E1F1

A1C1，所以EF

E1F1，則四邊形EFF1E1為平行四邊形，故EE1∥FF1.由長方體ABCD-A1B1C1D1知，ACA1C1，【加練·固】如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，點E為AA1的中點，點F為CC1的中點，求證：EB∥FD1.【加練·固】【證明】取DD1的中點M，連結(jié)AM，F(xiàn)M，【證明】取DD1的中點M，連結(jié)AM，F(xiàn)M，因為FM∥CD∥AB，且FM=CD=AB，所以四邊形FMAB為平行四邊形，可得BF∥AM，且BF=AM，又因為四邊形AMD1E也是平行四邊形，所以ED1∥AM，且ED1=AM，因為FM∥CD∥AB，且FM=CD=AB，所以BF∥ED1，且BF=ED1，可得四邊形EBFD1是平行四邊形，所以EB∥FD1.所以BF∥ED1，且BF=ED1，可得四邊形EBFD1是平行類型二等角定理的應用【典例】在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分別是CC1，B1C1，C1D1的中點. 世紀金榜導學號求證：∠NMP=∠BA1D.類型二等角定理的應用【思維·引】證明兩個角的兩邊分別平行.【思維·引】證明兩個角的兩邊分別平行.【證明】如圖，連接CB1，CD1，【證明】如圖，連接CB1，CD1，因為CD∥A1B1，所以四邊形A1B1CD是平行四邊形，所以A1D∥B1C.因為M，N分別是CC1，B1C1的中點，所以MN∥B1C，所以MN∥A1D.因為BC∥A1D1，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，因為CD∥A1B1，所以四邊形A1B1CD是平行四邊形，所以A1B∥CD1.因為M，P分別是CC1，C1D1的中點，所以MP∥CD1，所以MP∥A1B，所以∠NMP和∠BA1D的兩邊分別平行且方向都相反，所以∠NMP=∠BA1D.所以A1B∥CD1.

【內(nèi)化·悟】兩個角的邊分別平行時，怎樣區(qū)分兩個角相等還是互補？【內(nèi)化·悟】提示：如果兩個角方向相同或相反，則兩個角相等，否則互補，也可以通過觀察兩角是銳角還是鈍角，如果同為銳角或鈍角，則兩角相等.提示：如果兩個角方向相同或相反，則兩個角相等，否則互補，也可

【類題·通】關(guān)于等角定理的應用(1)根據(jù)空間中相應的定理證明角的邊分別平行，即先證明線線平行.(2)根據(jù)角的兩邊的方向判定兩角相等.【類題·通】

【習練·破】如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對應頂點的連線AA′，BB′，CC′交于同一點O，且

【習練·破】(1)求證AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)求的值.(1)求證AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.【解析】(1)因為AA′∩BB′=O，且所以△AOB∽△A′OB′，所以∠ABO=∠A′B′O，所以AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.【解析】(1)因為AA′∩BB′=O，且(2)因為A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，所以∠BAC=∠B′A′C′.同理∠ABC=∠A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′，所以△ABC∽△A′B′C′且所以(2)因為A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，A

【加練·固】已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點.求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形.(2)∠DNM=∠D1A1C1.【加練·固】【證明】(1)如圖，連接AC，在△ACD中，【證明】(1)如圖，連接AC，在△ACD中，因為M，N分別是CD，AD的中點，所以MN是三角形的中位線，所以MN∥AC，MN=AC.由長方體的性質(zhì)得：AC∥A1C1，AC=A1C1.所以MN∥A1C1，且MN=A1C1，即MN≠A1C1，所以四邊形MNA1C1是梯形.因為M，N分別是CD，AD的中點，(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因為ND∥A1D1，所以∠DNM與∠D1A1C1相等或互補.而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的銳角，所以∠DNM=∠D1A1C1.(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因為ND∥A1D1，類型三空間中直線平行關(guān)系的綜合應用角度1共面問題【典例】如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，E，F(xiàn)，G，H分別是AD1，CD1，BC，AB的中點. 世紀金榜導學號求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面.類型三空間中直線平行關(guān)系的綜合應用【思維·引】證明EF∥HG即可.【思維·引】證明EF∥HG即可.【證明】如圖，連接AC.【證明】如圖，連接AC.因為E，F(xiàn)分別是AD1，CD1的中點，所以EF∥AC.因為G，H分別是BC，AB的中點，所以GH∥AC.所以EF∥GH.所以E，F(xiàn)，G，H四點共面.因為E，F(xiàn)分別是AD1，CD1的中點，所以EF∥AC.

【素養(yǎng)·探】在證明共面問題時，常常用到核心素養(yǎng)中的邏輯推理，將共面問題轉(zhuǎn)化為平行問題，通過證明線線平行證明四點共面.將本例的條件改為“”，試證明EH與FG交于一點.【素養(yǎng)·探】【證明】連接AC，因為E，F(xiàn)分別是AD1，CD1的中點，所以EF∥AC，EF=AC.因為，所以GH∥AC，GH=AC.所以EF∥GH，EF≠GH，所以四邊形EFGH是梯形，所以EH與FG交于一點.【證明】連接AC，因為E，F(xiàn)分別是AD1，CD1的中點，角度2探究問題【典例】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點M，N分別在AC，PB上，且AM=MC，BN=BP，作出直線MN與PB確定的平面與平面PAD的交線l，直線l與MN是否平行，如果平行請給出證明，如果不平行請說明理由.世紀金榜導學號角度2探究問題【思維·引】先作出直線l，再利用比例關(guān)系證明是否平行.【思維·引】先作出直線l，再利用比例關(guān)系證明是否平行.【解析】連接BM并延長，交DA于點E，連接PE，【解析】連接BM并延長，交DA于點E，連接PE，則PE即為直線MN與PB確定的平面與平面PAD的交線l，因為底面ABCD是平行四邊形，所以AE∥BC，所以△AEM∽△CBM，所以因為點M，N分別在AC，PB上，且AM=MC，BN=BP，則PE即為直線MN與PB確定的平面與平面PAD的交線l，

所以MN∥PE，即直線l∥MN.

【類題·通】1.關(guān)于共面問題根據(jù)兩平行直線確定一個平面，可以證明共面問題，其實質(zhì)是證明直線平行.【類題·通】2.關(guān)于探究問題處理探究問題時一般假設其存在，再進行證明，或先選取如中點等特殊位置進行驗證，再給出嚴格證明.2.關(guān)于探究問題

【習練·破】如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點.(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形.(2)當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形.【習練·破】【解析】(1)在△ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，所以EF∥AC，且EF=AC，同理有GH∥AC，且GH=AC，所以EF∥GH且EF=GH，故四邊形EFGH是平行四邊形.【解析】(1)在△ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，(2)當AC與BD垂直且相等時，四邊形EFGH是正方形，理由如下：若AC=BD，則有EH=EF，又因為四邊形EFGH是平行四邊形，所以四邊形EFGH是菱形.若AC⊥BD，則EH⊥EF，所以菱形EFGH是正方形.(2)當AC與BD垂直且相等時，四邊形EFGH是正方形，理由新教材人教A數(shù)學必修二課件：851直線與直線平行新教材人教A數(shù)學必修二課件：851直線與直線平行8.5空間直線、平面的平行8.5.1直線與直線平行8.5空間直線、平面的平行新教材人教A數(shù)學必修二課件：851直線與直線平行1.基本事實4平行于同一條直線的兩條直線平行.1.基本事實4【思考】平面中有哪些常用的證明兩直線平行的定理？提示：三角形的中位線平行于底邊、平行四邊形的對邊平行等.【思考】2.等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.2.等角定理

【思考】平面中怎樣利用平行證明兩個角相等？提示：兩直線平行同位角、內(nèi)錯角相等，平行四邊形中對角相等.【思考】平面中怎樣利用平行證明兩個角相等？【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)分別平行于兩條異面直線的兩條直線一定是異面直線. (

)(2)如果空間中的兩個角相等或互補，那么這兩個角的兩條邊分別對應平行. (

)【素養(yǎng)小測】提示：(1)×.也可能是相交直線.(2)×.等角定理的逆定理不成立.提示：(1)×.也可能是相交直線.2.若一個角兩邊和另一個角兩邊分別平行，一個角為45°，則另一個角為________.

2.若一個角兩邊和另一個角兩邊分別平行，一個角為45°，則另【解析】若一個角兩邊和另一個角兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補，由一個角為45°，則另一個角為45°或135°.答案：45°或135°【解析】若一個角兩邊和另一個角兩邊分別平行，3.已知棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點，則MN與A′C′的位置關(guān)系是________.

3.已知棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N【解析】如圖所示，MN

AC，因為AC

A′C′，所以MN

A′C′.答案：平行【解析】如圖所示，MNAC，類型一空間中兩直線平行的判定及應用【典例】如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的中點，G，H分別是BC，CD邊上的點，且

.求證：四邊形GHFE是梯形.類型一空間中兩直線平行的判定及應用【思維·引】根據(jù)梯形的定義證明.【思維·引】根據(jù)梯形的定義證明.【證明】因為空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的中點，所以EF∥BD，且EF=BD，因為G，H分別是BC，CD邊上的點，且，所以HG∥BD，且HG=BD，所以EF∥HG，且EF≠HG，所以四邊形GHFE是梯形.【證明】因為空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊

【內(nèi)化·悟】本題中證明線線平行用了哪些定理？提示：三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理的逆定理，基本事實4.【內(nèi)化·悟】

【類題·通】關(guān)于空間中兩直線平行的證明(1)輔助線：常見的輔助線作法是構(gòu)造三角形中位線，平行四邊形的對邊.【類題·通】(2)證明依據(jù)：三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理的逆定理，基本事實4，幾何體中相對的棱、對角線等的平行關(guān)系.(2)證明依據(jù)：三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理的逆

【習練·破】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點，點E1，F(xiàn)1分別是棱A1D1，C1D1的中點.求證：EE1∥FF1.【習練·破】【證明】連接EF，E1F1，A1C1，AC，【證明】連接EF，E1F1，A1C1，AC，由長方體ABCD-A1B1C1D1知，AC

A1C1，因為點E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點，所以由三角形中位線定理得：EF

AC，同理E1F1

A1C1，所以EF

E1F1，則四邊形EFF1E1為平行四邊形，故EE1∥FF1.由長方體ABCD-A1B1C1D1知，ACA1C1，【加練·固】如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，點E為AA1的中點，點F為CC1的中點，求證：EB∥FD1.【加練·固】【證明】取DD1的中點M，連結(jié)AM，F(xiàn)M，【證明】取DD1的中點M，連結(jié)AM，F(xiàn)M，因為FM∥CD∥AB，且FM=CD=AB，所以四邊形FMAB為平行四邊形，可得BF∥AM，且BF=AM，又因為四邊形AMD1E也是平行四邊形，所以ED1∥AM，且ED1=AM，因為FM∥CD∥AB，且FM=CD=AB，所以BF∥ED1，且BF=ED1，可得四邊形EBFD1是平行四邊形，所以EB∥FD1.所以BF∥ED1，且BF=ED1，可得四邊形EBFD1是平行類型二等角定理的應用【典例】在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分別是CC1，B1C1，C1D1的中點. 世紀金榜導學號求證：∠NMP=∠BA1D.類型二等角定理的應用【思維·引】證明兩個角的兩邊分別平行.【思維·引】證明兩個角的兩邊分別平行.【證明】如圖，連接CB1，CD1，【證明】如圖，連接CB1，CD1，因為CD∥A1B1，所以四邊形A1B1CD是平行四邊形，所以A1D∥B1C.因為M，N分別是CC1，B1C1的中點，所以MN∥B1C，所以MN∥A1D.因為BC∥A1D1，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，因為CD∥A1B1，所以四邊形A1B1CD是平行四邊形，所以A1B∥CD1.因為M，P分別是CC1，C1D1的中點，所以MP∥CD1，所以MP∥A1B，所以∠NMP和∠BA1D的兩邊分別平行且方向都相反，所以∠NMP=∠BA1D.所以A1B∥CD1.

【內(nèi)化·悟】兩個角的邊分別平行時，怎樣區(qū)分兩個角相等還是互補？【內(nèi)化·悟】提示：如果兩個角方向相同或相反，則兩個角相等，否則互補，也可以通過觀察兩角是銳角還是鈍角，如果同為銳角或鈍角，則兩角相等.提示：如果兩個角方向相同或相反，則兩個角相等，否則互補，也可

【類題·通】關(guān)于等角定理的應用(1)根據(jù)空間中相應的定理證明角的邊分別平行，即先證明線線平行.(2)根據(jù)角的兩邊的方向判定兩角相等.【類題·通】

【習練·破】如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對應頂點的連線AA′，BB′，CC′交于同一點O，且

【習練·破】(1)求證AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)求的值.(1)求證AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.【解析】(1)因為AA′∩BB′=O，且所以△AOB∽△A′OB′，所以∠ABO=∠A′B′O，所以AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.【解析】(1)因為AA′∩BB′=O，且(2)因為A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，所以∠BAC=∠B′A′C′.同理∠ABC=∠A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′，所以△ABC∽△A′B′C′且所以(2)因為A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，A

【加練·固】已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點.求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形.(2)∠DNM=∠D1A1C1.【加練·固】【證明】(1)如圖，連接AC，在△ACD中，【證明】(1)如圖，連接AC，在△ACD中，因為M，N分別是CD，AD的中點，所以MN是三角形的中位線，所以MN∥AC，MN=AC.由長方體的性質(zhì)得：AC∥A1C1，AC=A1C1.所以MN∥A1C1，且MN=A1C1，即MN≠A1C1，所以四邊形MNA1C1是梯形.因為M，N分別是CD，AD的中點，(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因為ND∥A1D1，所以∠DNM與∠D1A1C1相等或互補.而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的銳角，所以∠DNM=∠D1A1C1.(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因為ND∥A1D1，類型三空間中直線平行關(guān)系的綜合應用角度1共面問題【典例】如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，E，F(xiàn)，G，H分別是AD1，CD1，BC，AB的中點. 世紀金榜導學號求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面.類型三空間中直線平行關(guān)系的綜合應用【思維·引】證明EF∥HG即可.【思維·引】證明EF∥HG即可.【證明】如圖，連接AC.【證明】如圖，連接AC.因為E，F(xiàn)分別是AD1，CD1的中點，所以EF∥AC.因為G，H分別是BC，AB的中點，所以GH∥AC.所以EF∥GH.所以E，F(xiàn)，G，H四點共面.因為E，F(xiàn)分別是AD1，CD1的中點，所以EF∥AC.

【素養(yǎng)·探】在證明共面問題時，常常用到核心素養(yǎng)中的邏輯推理，將共面問題轉(zhuǎn)化為平行問題，通過證明線線平行證明四點共面.將本例的條件改為“”，試證明EH與FG交于一點.【素養(yǎng)·探】【證明】連接AC，因為E，F(xiàn)分別是AD1，CD1的中點，所以EF∥AC，EF=AC.因為，所以GH∥AC，GH=AC.所以EF∥GH，EF≠GH，所以四邊形EFGH是梯形，所以EH與F