材料力學(xué)第7章彎曲變形

引言機(jī)械傳構(gòu)中的齒輪軸，當(dāng)變形過大時(圖中虛線所示)，兩齒輪的嚙合處將產(chǎn)生較大的，這就會影響兩個齒輪之間的嚙合，以致不能正常工作。同時，還會加大齒輪磨損，同時將在轉(zhuǎn)動的過程中產(chǎn)生很大的噪聲。此外，當(dāng)軸的變形很大時，軸在支承處也將產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)角，從而使軸和軸承引言機(jī)械傳構(gòu)中的齒輪軸，當(dāng)變形過大時(圖中虛線所示)，兩齒輪的嚙合處將產(chǎn)生較大的，這就會影響兩個齒輪之間的嚙合，以致不能正常工作。同時，還會加大齒輪磨損，同時將在轉(zhuǎn)動的過程中產(chǎn)生很大的噪聲。此外，當(dāng)軸的變形很大時，軸在支承處也將產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)角，從而使軸和軸承的磨損大大增加，降低軸和軸承的使用壽命。引言工程中還有另外一類問題，則希望構(gòu)件產(chǎn)生較大的彈性變形。例如，各種車輛中用于減振的鈑簧，能承受較大的彈性變形，吸收車輛受到振動和沖擊時產(chǎn)生的動能，收到抗振和抗沖擊的效果。引言工程中還有另外一類問題，則希望構(gòu)件產(chǎn)生較大的彈性變形。例如，各種車輛中用于減振的鈑簧，能承受較大的彈性變形，吸收車輛受到振動和沖擊時產(chǎn)生的動能，收到抗振和抗沖擊的效果。引言本章將在上一章得到的曲率公式的基礎(chǔ)上，1.建立梁的撓度曲線微分方程；進(jìn)而利用微分方程的以及相應(yīng)的邊界條件確定撓度曲線方程。2.在此基礎(chǔ)上，介紹工程上常用的計算梁變形的疊加法。討論簡單的靜不定梁的求解問題。3.4.梁的剛度設(shè)計和合理剛度條件引言本章將在上一章得到的曲率公式的基礎(chǔ)上，1.建立梁的撓度曲線微分方程；進(jìn)而利用微分方程的以及相應(yīng)的邊界條件確定撓度曲線方程。2.在此基礎(chǔ)上，介紹工程上常用的計算梁變形的疊加法。討論簡單的靜不定梁的求解問題。3.4.梁的剛度設(shè)計和合理剛度條件問題1：如何表征梁的彎曲變形－用什么物理量來描述梁的變形問題2：如何計算梁的彎曲變形－如何將梁承受的荷載與變形起來MM問題1：如何表征梁的彎曲變形－用什么物理量來描述梁的變形問題2：如何計算梁的彎曲變形－如何將梁承受的荷載與變形起來MM梁彎曲問題的近似和簡化q(x)M0MLQ0彎曲問題中，不考慮軸向拉伸。因此，梁內(nèi)力只有彎矩和剪力下面，我們分別考慮彎矩和剪力引起的彎曲變形效果梁彎曲問題的近似和簡化q(x)M0MLQ0彎曲問題中，不考慮軸向拉伸。因此，梁內(nèi)力只有彎矩和剪力下面，我們分別考慮彎矩和剪力引起的彎曲變形效果垂直于軸線的橫截面彎曲后仍為平面，仍垂直于軸線，只是相互間轉(zhuǎn)動一個角度M彎矩引起的彎曲變形M剪力引起的彎曲變形垂直于軸線的橫截面彎曲后不垂直于軸線QQ材料力學(xué)中一般考慮細(xì)長梁，故而可以忽略剪力引起的變形，只考慮彎矩引起的變形。因為所有橫截面始終與軸線垂直，所以，梁的彎曲變形可以僅用軸線來表征?？臻g的梁簡化成一軸線。垂直于軸線的橫截面彎曲后仍為平面，仍垂直于軸線，只是相互間轉(zhuǎn)動一個角度M彎矩引起的彎曲變形M剪力引起的彎曲變形垂直于軸線的橫截面彎曲后不垂直于軸線QQ材料力學(xué)中一般考慮細(xì)長梁，故而可以忽略剪力引起的變形，只考慮彎矩引起的變形。因為所有橫截面始終與軸線垂直，所以，梁的彎曲變形可以僅用軸線來表征?？臻g的梁簡化成一軸線。*軸線替代細(xì)長梁情況下，忽略剪力影響，可用梁軸線的變形描述實體梁的變形(x)(x)(x)MM*軸線替代細(xì)長梁情況下，忽略剪力影響，可用梁軸線的變形描述實體梁的變形(x)(x)(x)MM(x)*彎曲變形的表征梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三部分：橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度（deflection），用w表示；變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為轉(zhuǎn)角（slope），用表示；(x*彎曲變形的表征梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三部分：橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度（deflection），用w表示；變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為轉(zhuǎn)角（slope），用表示；(x)(x)wxxw(x)*彎曲變形的表征3.橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移（horizontaldisplacement），用u表示。#在小變形情形下，水平位移u與撓度w相比為高階小量，通常不考慮。(x*彎曲變形的表征3.橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移（horizontaldisplacement），用u表示。#在小變形情形下，水平位移u與撓度w相比為高階小量，通常不考慮。(x)(x)wxxw(x)*梁的撓度曲線梁變形后的軸線，稱為撓度曲線（deflection(x)curve）。wMMxxw(x)(x)*梁的撓度曲線梁變形后的軸線，稱為撓度曲線（deflection(x)curve）。wMMxxw(x)(x)撓度曲線*撓度與轉(zhuǎn)角的相互關(guān)系dwtan在Oxw坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在關(guān)系：dx在小變形條件下，撓度曲線較為平坦，即很小，因而上式中tan。于是有dw撓度曲線*撓度與轉(zhuǎn)角的相互關(guān)系dwtan在Oxw坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在關(guān)系：dx在小變形條件下，撓度曲線較為平坦，即很小，因而上式中tan。于是有dwdxw＝w（x），稱為撓度方程(deflection(x)(x)equation)wxx(x)w(x)*梁的曲率與彎矩、剛度之間的關(guān)系彈性范圍內(nèi),撓度曲線在一點的曲率與這一點處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關(guān)系：(x)1＝M(x)(x*梁的曲率與彎矩、剛度之間的關(guān)系彈性范圍內(nèi),撓度曲線在一點的曲率與這一點處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關(guān)系：(x)1＝M(x)(x)EIwMLM0x§7-2撓曲軸近似微分方程§7-2撓曲軸近似微分方程1M力學(xué)中的曲率公式EI1數(shù)學(xué)中的曲率公式3dw221dx1M力學(xué)中的曲率公式EI1數(shù)學(xué)中的曲率公式3dw221dxd2wdx2撓曲軸近似微分方程dw21小撓度情形下dxd2wdx21Md2wM3EIdx2EIdw2dw21小撓度情形下dxd2wdx21Md2wM3EIdx2EIdw221dx對于彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負(fù)號與w坐標(biāo)的取向有關(guān)。撓曲軸近似微分方程wOxd2wd2w0,M00,M0dx2dx2wxOdwOxd2wd2w0,M00,M0dx2dx2wxOd2wMd2wMdx2dx2EIEI采用向上的w坐標(biāo)系，有wd2wM(x)dx2采用向上的w坐標(biāo)系，有wd2wM(x)dx2EIxO各物理量的正負(fù)方向：撓度：坐標(biāo)軸正向為正（向上），負(fù)向為負(fù)（向下）轉(zhuǎn)角：向撓度正方向偏轉(zhuǎn)為正（向上），負(fù)向偏轉(zhuǎn)為負(fù)（向下）彎矩：使微段產(chǎn)生凹變形為正，凸變形為負(fù)d2wM(x)dx2EI對于等截面梁，先寫出彎矩方程M(x)，代入上式，分別對x作不定,得到包含常數(shù)的撓度方程與轉(zhuǎn)角方程：dwd2wM(x)dx2EI對于等截面梁，先寫出彎矩方程M(x)，代入上式，分別對x作不定,得到包含常數(shù)的撓度方程與轉(zhuǎn)角方程：dwMxdxCdxEIl MxwdxdxCxDEIll其中C、D為常數(shù)。撓曲軸近似微分方程§7-3計算梁位移的法－撓度曲線微分方程的與常數(shù)的確定§7-3計算梁位移的法－撓度曲線微分方程的與常數(shù)的確定dwMdwMxdxC轉(zhuǎn)角方程dxEIl MxwdxdxCxD撓度方程EIll法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約約束對于的限制：在固定鉸支座和活動鉸支座處約束條件為撓度等于零：w=0;F法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約約束對于的限制：在固定鉸支座和活動鉸支座處約束條件為撓度等于零：w=0;F法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對于的限制：在固定端處都等于零：w=0，θ＝0。法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對于的限制：在固定端處都等于零：w=0，θ＝0。法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對于的限制：連續(xù)條件：梁在彈性范圍內(nèi)加載，其軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線，因此，在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度、轉(zhuǎn)角對應(yīng)相等：w1w2，θ1＝θ法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對于的限制：連續(xù)條件：梁在彈性范圍內(nèi)加載，其軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線，因此，在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度、轉(zhuǎn)角對應(yīng)相等：w1w2，θ1＝θ2等等。Fx例題1已知：左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為q例題1已知：左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為q，梁的彎曲剛度為EI、長度為l。q、EI、l均已知。求：梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。wxO解：1．建立Oxw坐標(biāo)系建立Oxw坐標(biāo)系（wxO解：1．建立Oxw坐標(biāo)系建立Oxw坐標(biāo)系（）。因為梁上作用有連續(xù)分布載荷，所以在梁的全長上，彎矩可以用一個函數(shù)描述，即無需分段。2．建立梁的彎矩方程解：2．建立梁的彎矩方程xM(x)FQ(x)從坐標(biāo)為解：2．建立梁的彎矩方程xM(x)FQ(x)從坐標(biāo)為x的任意截面處截開，因為固定端有兩個約束力，考慮截面左側(cè)平衡時，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程：M(x)1qlx20xl2wxO解：2．建立梁的彎矩方程M(x)wxO解：2．建立梁的彎矩方程M(x)1qlx20xl23建立微分方程并將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得"M1qlx22wxO3．建立微分方程并"MwxO3．建立微分方程并"M1qlx22后，得到w'I1qlx3C6qlx4CxD1EIw24w'I1qlxw'I1qlx3C6qlx4CxD1EIw24解：4利用約束條件確定固定端處的約束條件為：常數(shù)x0，w0dxql3C,6ql4D24w'I1qlx3Cw'I1qlx3C3Cql,6qlx4CxD6ql41DEIw2424解：5確定撓度與轉(zhuǎn)角方程qlx44l3xl4w24EIqlx3l36EIqlx4l3xl4wqlx4l3xl4w24EIqlx3l36EI解：6確定最大撓度與最大轉(zhuǎn)角從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均為最大值。于是，將x=l，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到：ql4ql3wB8EImaxB6EI2已知：簡支梁受力如圖所示。F2已知：簡支梁受力如圖所示。FP、EI、l均為已知。求：加力點B的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。解：1．確定梁約束力首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得梁在支承解：1．確定梁約束力首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得梁在支承A、C二處的約束力分別如圖中所示。2．分段建立梁的彎矩方程因為B處作用有集中力FP，所以需要分為AB和BC兩段建立彎矩方程。在圖示坐標(biāo)系中，為確定梁在0～l/4范圍內(nèi)各截面上的彎矩，只需要考慮左端A處的約束力3FP/4；而確定梁在l/4～l范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端A處的約束力3FP/4和荷載FP。解：2．分段建立梁的彎矩方程AB和BC兩段的彎矩方程分別為Mx3Fx 0xlAB解：2．分段建立梁的彎矩方程AB和BC兩段的彎矩方程分別為Mx3Fx 0xlAB段41P4llxlMx3Fx－FBC段P 442P4Mx3Fx 0xllxlMx3Fx－F4PMx3Fx 0xllxlMx3Fx－F4P442P1P44解：3．將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別d2l 4EId2wll3x Fx-F xlEI 2=MP442Pdx24解：將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別d2l 4EId2wll34xxlEI 2＝MFx-F P442Pdx2后，得l2331EI 解：將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別d2l 4EId2wll34xxlEI 2＝MFx-F P442Pdx2后，得l2331EI Fx2CEI＝Fx2-F CP41P12P28823EIw1Fx3CxDl11EIw2＝8FPx F C2xD23－P1P11864其中，C1、D1、C2、D2為常數(shù)，由支承處的約束條件和AB段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定。l2331EI Fx2CEI＝Fx2-F CP41P12P28823EIwl2331EI Fx2CEI＝Fx2-F CP41P12P28823EIw1Fx3CxDl11C2xD23EIw2＝8FPx-F －P1P118644利用約束條件和連續(xù)條解：件確定常數(shù)在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因為，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與BC段梁交界處的必須分別相等，即x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2解：4利用約束條件和連續(xù)條件確定常數(shù)l2331EI Fx2CEI＝Fx2-F CP41P12P28823EIw解：4利用約束條件和連續(xù)條件確定常數(shù)l2331EI Fx2CEI＝Fx2-F CP41P12P28823EIw1Fx3CxD11lC2xD23EIw2＝8FPx-F －P1P11864x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=07C＝CFl212P128解：5確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程以及指定橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角常數(shù)代入后,得將所得的到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：wx 1x373x27128x2AB段lx2EI8lEI8128解：5確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程以及指定橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角常數(shù)代入后,得將所得的到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：wx 1x373x27128x2AB段lx2EI8lEI8128l21 l21 l377wBC段 l2x4 1284 128據(jù)此，可以算得加力點B處的撓度和支承處A和C的轉(zhuǎn)角分別為3 Fl3Fl27Fl21 P 256EI P 128EI P 32EIAB確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段分段寫出彎矩方程分段建立撓度微分方程微分方程的確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段分段寫出彎矩方程分段建立撓度微分方程微分方程的利用約束條件和連續(xù)條件確定常數(shù)確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角法小結(jié)§7-5計算梁位移的疊加法§7-5計算梁位移的疊加法§7-5計算梁位移的疊加法qFqF＋查表查表,F(x)w(x)＋wF(x))F(x)w(x)wq(x)w何為疊加法§7-5計算梁位移的疊加法qFqF＋查表查表,F(x)w(x)＋wF(x))F(x)w(x)wq(x)w何為疊加法§7-5計算梁位移的疊加法在很多工程計算手冊中，已將各種支承條件下的靜定梁，在各種典型載荷作用下的表達(dá)式一一§7-5計算梁位移的疊加法在很多工程計算手冊中，已將各種支承條件下的靜定梁，在各種典型載荷作用下的表達(dá)式一一附錄IV根據(jù)疊加原理——在若干載荷作用下，梁上任一截面的應(yīng)力、撓度、轉(zhuǎn)角分別等于各個載荷單獨作用下該截面的應(yīng)力、撓度、轉(zhuǎn)角之和?？衫萌舾梢阎摹⒑唵蔚牧鹤冃谓Y(jié)果得到較復(fù)雜載荷作用下的梁的變形結(jié)果為什么用疊加法§7-5計算梁位移的疊加法小變形情況下，且梁內(nèi)應(yīng)力不超過材料的比例極限時，撓曲線近似微分方程為線性微分方程：d2wM(x)dx2EI小變形情況下，梁內(nèi)任一截面的彎矩和荷載成線性齊次關(guān)系，例如：qMex2MMeFx§7-5計算梁位移的疊加法小變形情況下，且梁內(nèi)應(yīng)力不超過材料的比例極限時，撓曲線近似微分方程為線性微分方程：d2wM(x)dx2EI小變形情況下，梁內(nèi)任一截面的彎矩和荷載成線性齊次關(guān)系，例如：qMex2MMeFxq2F疊加法的物理機(jī)制§7-5計算梁位移的疊加法例題3：求解圖示懸臂梁在分布載荷q作用下自由端截面的撓度。x2l其中，抗彎剛度EI為常數(shù)，q(x)q。0q(x)解：由附錄知，在固定端x處的微載荷q(x)dx作用下，梁自由端撓度為：xAxdxq(x)dxx2ldwB(3§7-5計算梁位移的疊加法例題3：求解圖示懸臂梁在分布載荷q作用下自由端截面的撓度。x2l其中，抗彎剛度EI為常數(shù)，q(x)q。0q(x)解：由附錄知，在固定端x處的微載荷q(x)dx作用下，梁自由端撓度為：xAxdxq(x)dxx2ldwB(3lx)6EI因此，分布載荷在自由端引起的撓度為：q(x)dxxl xx2(3lx)cos dxAq0lw dw6I0BBx2lol§7-5計算梁位移的疊加法例題4：如圖懸臂梁，同時承受均布載荷q和集中載荷F的作用，且F＝qa，試求自由端C處撓度，彎曲剛度EI為常數(shù)。FCq根據(jù)疊加原理，C處撓度是載荷F和q分別單獨作用時的撓度之和BxAaawC,FwC,qwAw查表，載荷F單獨作用時，截面C撓度為C,FF(2a)3 8Fa3§7-5計算梁位移的疊加法例題4：如圖懸臂梁，同時承受均布載荷q和集中載荷F的作用，且F＝qa，試求自由端C處撓度，彎曲剛度EI為常數(shù)。FCq根據(jù)疊加原理，C處撓度是載荷F和q分別單獨作用時的撓度之和BxAaawC,FwC,qwAw查表，載荷F單獨作用時，截面C撓度為C,FF(2a)3 8Fa3()3EI3EIF＋載荷q單獨作用時，需要考慮B點的撓度和轉(zhuǎn)角，并利用連續(xù)性條件求得載荷q引起C處的撓度qAB§7-5計算梁位移的疊加法qAw載荷q單獨作用BCqAB+如左圖，進(jìn)一步將結(jié)構(gòu)分解。CBCBC單元不受載荷，仍保持直線。但由連續(xù)性條件知，其左端的必須和AB單元右端B點一致。ABBCB§7-5計算梁位移的疊加法qAw載荷q單獨作用BCqAB+如左圖，進(jìn)一步將結(jié)構(gòu)分解。CBCBC單元不受載荷，仍保持直線。但由連續(xù)性條件知，其左端的必須和AB單元右端B點一致。ABBCB§7-5計算梁位移的疊加法wC,qCqB,qw aBBCB,qAAwC,qwB,qwBCBwwB,qaaw根據(jù)連續(xù)性條件和幾何關(guān)系，載荷q在C點引起的撓度為：B,qawC,qwB,q4qaqa3§7-5計算梁位移的疊加法wC,qCqB,qw aBBCB,qAAwC,qwB,qwBCBwwB,qaaw根據(jù)連續(xù)性條件和幾何關(guān)系，載荷q在C點引起的撓度為：B,qawC,qwB,q4qaqa37qa4)a=(8EI6EI24EI§7-5計算梁位移的疊加法FCq根據(jù)上述分析，C點總的撓度為：BAaawC,qwC,FwB,qB,qawC,FwC,F4 3§7-5計算梁位移的疊加法FCq根據(jù)上述分析，C點總的撓度為：BAaawC,qwC,FwB,qB,qawC,FwC,F4 37qa 8FaA)(24EI3EIF＋qAB§7-5計算梁位移的疊加法FBACQF＋＋wwa21§7-5計算梁位移的疊加法FBACQF＋＋wwa21逐段分析求和法§7-5計算梁位移的疊加法例題5彎曲剛度為EI的外伸梁，按疊加原理，求截面B的轉(zhuǎn)角，A點和D點的撓度。2Aw aCBDB wA2aaa§7-5計算梁位移的疊加法例題5彎曲剛度為EI的外伸梁，按疊加原理，求截面B的轉(zhuǎn)角，A點和D點的撓度。2Aw aCBDB wA2aaa§7-5計算梁位移的疊加法結(jié)構(gòu)分析：求wAwD,B2qqMqa2qa2M＋wA1wA2BqwAwA1wA2wDwDqwDMBBqBMB§7-5計算梁位移的疊加法結(jié)構(gòu)分析：求wAwD,B2qqMqa2qa2M＋wA1wA2BqwAwA1wA2wDwDqwDMBBqBMBwA2wDqBqMqa2wDMBM§7-5計算梁位移的疊加法wA1wA2 BwA2wA2qa41qa37qa43a8EI 12EI()2qEIqa2MwA2w wwDDMDqqMqa2qa2(2a)25q(2a)41qa424EI()w16EI384EI§7-5計算梁位移的疊加法wA1wA2 BwA2wA2qa41qa37qa43a8EI 12EI()2qEIqa2MwA2w wwDDMDqqMqa2qa2(2a)25q(2a)41qa424EI()w16EI384EIBqBBMBqqa2(2a)q(2a)31qa3wBqBMDq3EI24EI3EIMqa2wDM§7-5計算梁位移的疊加法例題6圖示組合梁，彎曲剛度EI，承受集度為q的均布載荷。用疊加法計算B截面的撓度和C截面轉(zhuǎn)角。qACBllql2ACql2B§7-5計算梁位移的疊加法例題6圖示組合梁，彎曲剛度EI，承受集度為q的均布載荷。用疊加法計算B截面的撓度和C截面轉(zhuǎn)角。qACBllql2ACql2B§7-5計算梁位移的疊加法qqqlA2Cql2BqAC12wBw4qlwc12wl/2ql411ql3ql3B28EI3EIl§7-5計算梁位移的疊加法qqqlA2Cql2BqAC12wBw4qlwc12wl/2ql411ql3ql3B28EI3EIl2EI24EI 24EI4ql324EI材料力學(xué)－第5章彎曲變形§7-5計算梁位移的疊加法彎曲剛度為EI，長度總量為q的勻質(zhì)鋼條放置在剛性平面上，一端伸出水平面長度a,（a足夠?。?。求鋼條抬離水平面的長度材料力學(xué)－第5章彎曲變形§7-5計算梁位移的疊加法彎曲剛度為EI，長度總量為q的勻質(zhì)鋼條放置在剛性平面上，一端伸出水平面長度a,（a足夠小）。求鋼條抬離水平面的長度b。ABCDab材料力學(xué)－第5章彎曲變形§7-5計算梁位移的疊加法近似和簡化：AB段：桿平直d2wM00dw2說明：B點可作固定鉸支座處理BC段：小變形，彎曲變形，簡化為橫梁；段中無外力，僅承受自重qC材料力學(xué)－第5章彎曲變形§7-5計算梁位移的疊加法近似和簡化：AB段：桿平直d2wM00dw2說明：B點可作固定鉸支座處理BC段：小變形，彎曲變形，簡化為橫梁；段中無外力，僅承受自重qC點：僅提供豎直向支反力，作鉸支座處理CD段：在截面C處對BC段作用內(nèi)力彎矩q1M qa22材料力學(xué)－第5章彎曲變形§7-5計算梁位移的疊加法qM1qa22BCB0M1qa22qBM＋Bqqa2bqb32BBq材料力學(xué)－第5章彎曲變形§7-5計算梁位移的疊加法qM1qa22BCB0M1qa22qBM＋Bqqa2bqb32BBqBM 24EI0b2a6EI§7-5計算梁位移的疊加法AAlFFFFaBwBCBCw1BaBaw2§7-5計算梁位移的疊加法AAlFFFFaBwBCBCw1BaBaw2疊加法分析簡例§7-5計算梁位移的疊加法lFxFyFF疊加法分析簡例§7-5計算梁位移的疊加法lFxFyFF疊加法分析簡例§75計算梁位移的疊加法疊加法將復(fù)雜的荷載情況分解為簡單的可查表求解的荷載情況，從而簡化了計算?！?5計算梁位移的疊加法疊加法將復(fù)雜的荷載情況分解為簡單的可查表求解的荷載情況，從而簡化了計算。使用疊加法的前提是小變形假設(shè)，梁彎矩與外力成線性關(guān)系疊加法可以是荷載的疊加、結(jié)構(gòu)的疊加正確使用疊加法，關(guān)鍵是理解材料的變形疊加法小結(jié)§7-6簡單的靜不定梁§7-6簡單的靜不定梁多余約束與靜不定次數(shù)多余約束與靜不定次數(shù)求解靜不定梁的基本方法§76簡單的靜不定梁靜定問題與靜定結(jié)構(gòu)——未知力（內(nèi)力或外力）個數(shù)等于的平衡方程數(shù)FqM(x)FAxFAxFBy平衡方程（三個）：平衡方程（三個）：FyMFy§76簡單的靜不定梁靜定問題與靜定結(jié)構(gòu)——未知力（內(nèi)力或外力）個數(shù)等于的平衡方程數(shù)FqM(x)FAxFAxFBy平衡方程（三個）：平衡方程（三個）：FyMFyM00,00,未知約束力（三個）未知約束力（三個）靜定與靜不定問題§76簡單的靜不定梁靜定結(jié)構(gòu)如何變?yōu)殪o不定？靜不定次數(shù)？FMF靜不定次數(shù)Ax3-3=0FMFAx4-3=1FByFM5-3=2FBxFByMFMFAx6-3=3FBxFBy§76簡單的靜不定梁靜定結(jié)構(gòu)如何變?yōu)殪o不定？靜不定次數(shù)？FMF靜不定次數(shù)Ax3-3=0FMFAx4-3=1FByFM5-3=2FBxFByMFMFAx6-3=3FBxFBy§76簡單的靜不定梁FMFAxF§76簡單的靜不定梁FMFAxFBy多于維持平衡所必需的約束，稱為多余約束靜不定問題由多余約束引起多余約束不“多余”§76§76簡單的靜不定梁求解靜不定梁的基本方法§76§76簡單的靜不定梁找出多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)變形協(xié)調(diào)方程，結(jié)合平衡方程和物理方程求解求解靜不定梁的基本方法§76簡單的靜不定梁例題7圖示靜不定梁，彎曲剛度EI，長度L，承受集度為q的均布載荷。求各支座的支反力。qAB§76簡單的靜不定梁例題7圖示靜不定梁，彎曲剛度EI，長度L，承受集度為q的均布載荷。求各支座的支反力。qAB§76簡單的靜不定梁q解：1.2.3.AB支反力4個，靜不定次數(shù)4-3=1FBy去除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)wB0變形協(xié)調(diào)條件wqwF 0ByFBy08EI3EI3qLFBy85qL2qL§76簡單的靜不定梁q解：1.2.3.AB支反力4個，靜不定次數(shù)4-3=1FBy去除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)wB0變形協(xié)調(diào)條件wqwF 0ByFBy08EI3EI3qLFBy85qL2qL0FFFAxAyAy88相當(dāng)系統(tǒng)§7-6梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計§7-6梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計§77§77梁的剛度問題剛度計算的工程意義梁的剛度條件§77梁的剛度問題梁和軸的過大會影響構(gòu)件或零件的正常工作。例如：§77梁的剛度問題梁和軸的過大會影響構(gòu)件或零件的正常工作。例如：齒輪軸的撓度過大會影響齒輪的嚙合、增加齒輪的磨損、產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓度過大會影響加工精度；軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過大會增加軸承的磨損。。。剛度計算的工程意義§77梁的剛度問題對于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計就是根據(jù)對零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角(或者指定截面處的)§77梁的剛度問題對于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計就是根據(jù)對零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角(或者指定截面處的)限制在一定范圍內(nèi)，即滿足彎曲剛度條件：ww上述二式中w和分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均根據(jù)對于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。梁的剛度條件§77梁的剛度問題例題7B已知：鋼制圓軸，左端受力為§77梁的剛度問題例題7B已知：鋼制圓軸，左端受力為Fl＝2m，E=206GPa，其他許用轉(zhuǎn)角θ=0.5°。，F(xiàn)P＝20kN，a＝lm，。規(guī)定軸承B處的試求：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。§77梁的剛度問題B解：根據(jù)要求，所設(shè)計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計算?！?7梁的剛度問題B解：根據(jù)要求，所設(shè)計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計算。1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為＝－FPlaB3EI§77梁的剛度問題B1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為＝－§77梁的剛度問題B1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為＝－FPlaB3EI2．根據(jù)剛度設(shè)計準(zhǔn)則確定軸的直徑根據(jù)設(shè)計要求，有B§77梁的剛度問題B2．根據(jù)剛度設(shè)計準(zhǔn)則確定軸的直徑根據(jù)設(shè)計要求，有B其中，的考慮到為rad（弧度），而θ§77梁的剛度問題B2．根據(jù)剛度設(shè)計準(zhǔn)則確定軸的直徑根據(jù)設(shè)計要求，有B其中，的考慮到為rad（弧度），而θ的為（°）（度），的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑642012180103dm11110 -343π2060.5109§77梁的剛度問題＝－FPla§77梁的剛度問題＝－FPlaB3EI合理選用材料（E）合理選取截面形狀（I）梁跨度的選?。╨,a）梁的合理加強，合理安排梁的約束和加載方式（綜合以上三點）提高剛度的途徑§77§77梁的剛度問題提高梁的剛度主要是指減小梁的彈性位移。而彈性位移不僅與載荷有關(guān)，而且與桿長和梁的彎曲剛度（EI）有關(guān)。對于梁，其長度對彈性位移影響較大，例如對于集中力作用的情形，撓度與梁長的三次方成比例；轉(zhuǎn)角則與梁長的二次方成比例。因此,減小彈性位移除了采用合理的截面形狀以增加慣性矩I外，主要是減小梁的長度l。當(dāng)梁的長度無法減小時，則可增加中間支座。提高剛度的途徑§77梁的剛度問題因此,減小彈性位移除了采用合理的截面形狀以增加慣性矩§77梁的剛度問題因此,減小彈性位移除了采用合理的截面形狀以增加慣性矩I外，主要是減小梁的長度l。當(dāng)梁的長度無法減小時，則可增加中間支座。例如，在車加工較長的工件時，為了減小切削力引起的撓度，以提高加工精度，可在卡盤與尾架之間再增加一個中間支架。§77梁的剛度問題§77梁的剛度問題此外，選用彈性模量E較高的材料也能提高梁的剛度。但是，對于各種鋼材，彈性模量的數(shù)值相差甚微，因而與一般鋼材相比，選用高強度鋼材并不能提高梁的剛度。結(jié)論與討論結(jié)論與討論§7結(jié)論與討論§7結(jié)論與討論關(guān)于變形和位移的相互關(guān)系關(guān)于梁的連續(xù)光滑曲線關(guān)于求解靜不定問題的討論關(guān)于靜不定結(jié)構(gòu)性質(zhì)的討論§7結(jié)論與討論關(guān)于變形和位移的相互關(guān)系§7結(jié)論與討論關(guān)于變形和位移的相互關(guān)系§7結(jié)論與討論二梁的受力(包括載荷與約束力)是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的變形是否相同？§7結(jié)論與討論二梁的受力(包括載荷與約束力)是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的位移是否相同？正確回答這些問題，有利于理解位移與變形之間的相互關(guān)系。關(guān)于變形和位移的相互關(guān)系§7結(jié)論與討論FPA B CBC段有沒有變形？有沒有位移？沒有變形為什么會有位移？總體變形是微段變形累加的結(jié)果。有位移不一定有變形。§7結(jié)論與討論FPA B CBC段有沒有變形？有沒有位移？沒有變形為什么會有位移？總體變形是微段變形累加的結(jié)果。有位移不一定有變形?！?結(jié)論與討論關(guān)于梁的連續(xù)光滑曲線§7結(jié)論與討論關(guān)于梁的連續(xù)光滑曲線§7結(jié)論與討論由M的方向確定軸線的凹凸性。由約束性質(zhì)及連續(xù)光滑性確定撓度§7結(jié)論與討論由M的方向確定軸線的凹凸性。由約束性質(zhì)及連續(xù)光滑性確定撓度曲線的大致形狀及