教師資格證考試《數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力》(高級中學(xué))歷年真題

教師資格證考試《數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力》(高級中學(xué))歷年真題1[單選題]（江南博哥）與向量a=(2，3，1)平行的平面是（）。A.x-2y+z=3B.2x+y+3z=3C.2x+3y+z=3D.x-y+z=3正確答案：D參考解析：本題考查平面的法向量、向量的垂直等相關(guān)知識。平面的法向量是垂直于平面的非零向量。在空間直角坐標(biāo)系中，與平面Ax+By+Cz+D=0(A，B，C不同時為0)的法向量n=(A，B，C)垂直的非零向量平行于該平面。經(jīng)驗(yàn)證，向量a=(2，3，1)只與D項中平面的法向量(1，-1，1)垂直。故本題選D。2[單選題]A.0B.C.1D.∞正確答案：B參考解析：本題考查函數(shù)極限的計算。

3[單選題]函數(shù)f(x)在[a，b]上黎曼可積的必要條件是f(x)在[a，b]上（）。A.可微B.連續(xù)C.不連續(xù)點(diǎn)個數(shù)有限D(zhuǎn).有界正確答案：D參考解析：本題考查黎曼可積的條件。若函數(shù)，f(x)在[a，b]上(黎曼)可積，則f(x)在[a，b]上必有界(可積的必要條件)。故本題選D。下面說明其他三個選項。可積的充分條件有以下3個：①函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；②函數(shù)在閉區(qū)間上有界且只有有限個間斷點(diǎn)；③函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)。4[單選題]A.πabB.

C.

D.

正確答案：B參考解析：本題考查定積分的幾何意義或定積分的計算。

5[單選題]與向量α=(1，0，1)，β=(1，1，0)線性無關(guān)的向量是（）。A.(2，1，1)B.(3，2，1)C.(1，2，1)D.(3，1，2)正確答案：C參考解析：本題考查向量組的線性相關(guān)性。(方法一)若一個向量組中，一個向量可由其余向量線性表出，則這幾個向量必線性相關(guān)；若一個向量組中，任意一個向量都不能被其余向量線性表出，則這幾個向量必線性無關(guān)。本題中，若向量γ與向量α和向量β線性相關(guān)，則存在不同時為零的實(shí)數(shù)x，y，使得γ=xα+yβ=(x+y，y，x)，經(jīng)觀察，A，B，D三項中的向量都能被α和β線性表出。故本題選c。

所以向量(1，2，1)與向量α和向量β線性無關(guān)。故本題選C。6[單選題]設(shè)f(x)=acosx+bsinx是R到R的函數(shù)，V={f(x)|f(x)=acosx+bsinx，A，b∈a}是線性空間，則V的維數(shù)是（）。A.1B.2C.3D.∞正確答案：B參考解析：本題考查線性空間的基與維數(shù)。由題意知，線性空間V中的每一個元素都是cosx和sinx的線性組合，而cosX和sinx是線性無關(guān)的，這是因?yàn)槿绻嬖趯?shí)數(shù)m，n，使得mcosx+nsinx=0對任意x∈R都成立，則m=n=0。因此cosx和sinx是線性空間V的一組基，所以V的維數(shù)是2。故本題選B。7[單選題]在下列描述課程目標(biāo)的行為動詞中，要求最高的是（）。A.理解B.了解C.掌握D.知道正確答案：C參考解析：本題考查課程目標(biāo)行為動詞的相關(guān)知識。在課程標(biāo)準(zhǔn)中有兩類行為動詞，一類是描述結(jié)果目標(biāo)的行為動詞，包括“了解(知道)、理解、掌握、運(yùn)用”等術(shù)語。另一類是描述過程目標(biāo)的行為動詞，包括“經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索”等術(shù)語。每一組術(shù)語中按照從前到后的順序要求遞增，即行為動詞按要求的高低排序?yàn)榱私?知道)<理解<掌握<運(yùn)用，經(jīng)歷<體驗(yàn)<探索。故本題選C。8[單選題]命題P的逆命題和命題P的否命題的關(guān)系是（）。A.同真同假B.同真不同假C.同假不同真D.不確定正確答案：A參考解析：本題考查命題的相關(guān)知識。命題P的逆命題和命題P的否命題互為逆否命題，而互為逆否命題的兩個命題同真同假。故本題選A。9[簡答題]求函數(shù)f(x)=3cosx+4sinx的一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)。參考解析：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及正切函數(shù)的相關(guān)知識。由題意可知f′(x)=-3sinx+4cosx，令f′(x)=0，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且正切函數(shù)是周期為π的周期函數(shù)，

10[簡答題]參考解析：本題考查在矩陣作用下的坐標(biāo)變換。

11[簡答題]設(shè)f(x)是[0，1]上的可導(dǎo)函數(shù)，且f′(x)有界。證明：存在M>0，使得對于任意x1，x2∈[0，1]，有|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-x2|。參考解析：

12[簡答題]簡述日常數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)評價的目的。參考解析：日常數(shù)學(xué)教學(xué)中通過對學(xué)生學(xué)習(xí)的評價，教師可以更好地關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，教師不僅能夠關(guān)注到學(xué)生對知識技能掌握的程度，還可以關(guān)注到學(xué)生的思維過程。教師可以根據(jù)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)判斷學(xué)生是否會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，是否會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，是否會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。日常數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)、所取得的成績以及所反映出的情感、態(tài)度、策略等方面的發(fā)展做出評價，其目的是激勵學(xué)生學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生有效調(diào)控自己的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生獲得成就感，增強(qiáng)自信心，培養(yǎng)合作精神。同時，通過對學(xué)生學(xué)習(xí)的評價，教師可以了解教學(xué)過程中存在的問題和改進(jìn)的方向，及時修正和調(diào)整教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容和計劃。13[簡答題]給出基本不等式的一種幾何解釋，并說明幾何解釋對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用。參考解析：如圖1，AB是圓O的直徑，C是AB上一點(diǎn)，且AC=a，BC=b，過C作AB的垂線交圓于點(diǎn)D，連接AD，BD。根據(jù)幾何圖形知，CD≤OD，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C和圓心O重合，即AC=BC時，有CD=OD，如圖2所示。所以有

幾何解釋對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用(1)有助于學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)問題。幾何解釋把復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)問題，了解數(shù)學(xué)問題的幾何背景或幾何意義。(2)有助于加深學(xué)生對定理、公式等數(shù)學(xué)知識的理解。在定理、公式的學(xué)習(xí)上，幾何解釋可以很好地幫助學(xué)生理解其本質(zhì)含義，通過追本溯源，加深學(xué)生對定理、公式的記憶和把握。(3)有助于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。運(yùn)用幾何解釋來解決數(shù)學(xué)問題，可以將直觀上枯燥、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為形象、有趣的圖形問題。這樣可以避免學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭煩感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而使學(xué)生不再懼怕數(shù)學(xué)，使其產(chǎn)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。(4)有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何解釋可以配合教師的啟發(fā)式教學(xué)，幫助學(xué)生探索拓展解決問題的思路，引導(dǎo)學(xué)生多方向思考解決問題的途徑，預(yù)測數(shù)學(xué)問題的結(jié)果。(5)有助于培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。教師在教學(xué)過程中通過幾何解釋滲透數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成數(shù)形結(jié)合思想。14[簡答題]設(shè)隨機(jī)變量ξ服從[0，1]上的均勻分布，即P{ξ∈(-∞，x)}=參考解析：15[簡答題]論述數(shù)學(xué)教學(xué)中使用信息技術(shù)的作用，并闡述使用信息技術(shù)與其他教學(xué)手段的關(guān)系。參考解析：信息技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學(xué)教育的價值、目標(biāo)、內(nèi)容以及教學(xué)方式產(chǎn)生了很大的影響。數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實(shí)施應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理地運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實(shí)效。要充分考慮信息技術(shù)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂意并有可能投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去。<br><br>在數(shù)學(xué)教學(xué)中信息技術(shù)可以結(jié)合其他多種教學(xué)手段，并能起到互補(bǔ)的作用。如不借助信息技術(shù)的情況下去利用創(chuàng)設(shè)情境的方式去模擬實(shí)際情境，學(xué)生可能很難想象出相應(yīng)的實(shí)際情景，這里就可以結(jié)合信息技術(shù)手段直接呈現(xiàn)圖片或視頻;或者在處理圖形的報考變化時，如僅通過板書的形式一步步變化，一是作圖比較繁瑣，二是連貫性不強(qiáng)，這里就可以結(jié)合幾何畫板等工具直接呈現(xiàn)。16[簡答題]案例：下面是高中“集合”一章“集合的含義與表示”的部分教材內(nèi)容。問題：(1)閱讀這段教材，概括與集合有關(guān)的新知識點(diǎn)；(6分)(2)閱讀這段教材中的【思考2】，說明設(shè)置此欄目內(nèi)容的主要意圖；(6分)(3)請說明集合在高中數(shù)學(xué)課程中的地位和作用。(8分)參考解析：(1)與集合相關(guān)的知識點(diǎn)包括①元素與集合的概念；②元素的確定性(即給定的集合，它的元素必須是確定的)和互異性(一個給定集合的元素是互不相同的)；③集合相等的概念；④集合與元素的字母表示；⑤元素與集合的關(guān)系以及記法；⑥判斷元素是否屬于集合。(2)設(shè)置思考2的主要目的是引導(dǎo)學(xué)生體會集合的“確定性”和“互異性”，進(jìn)而更好地理解集合的含義。教材在思考2前講述了在了解集合的含義時要考慮集合中元素的確定性和互異性。只有理解了集合的這兩條性質(zhì)才能夠判斷什么是集合，什么不是集合。思考2中描述的兩類元素：“大于3小于11的偶數(shù)”滿足這兩條性質(zhì)，能夠組成集合；“我國的小河流”不滿足這兩條性質(zhì)，不能組成集合。學(xué)生在思考中充分體會這兩條性質(zhì)，可以對集合的含義有更為深刻的理解。‘(3)集合在高中階段的數(shù)學(xué)課程中具有十分重要的地位。集合是高中階段數(shù)學(xué)課程引入的第一個概念，是整個高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的基礎(chǔ)，集合的知識與后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)有著密切的聯(lián)系。集合是學(xué)習(xí)、掌握、使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)，集合形象化地將生活實(shí)際問題用數(shù)學(xué)符號表示出來，從而簡化了用數(shù)學(xué)分析實(shí)際問題的語言，為相關(guān)數(shù)學(xué)知識奠定一定的理論基礎(chǔ)。許多重要的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容如函數(shù)、方程、不等式、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計等都需要用集合的語言來表述相關(guān)問題，集合對這些內(nèi)容的后續(xù)學(xué)習(xí)均發(fā)揮了顯著作用。集合作為高中數(shù)學(xué)中基礎(chǔ)且必需的數(shù)學(xué)語言，在高中數(shù)學(xué)課程中具有以下幾點(diǎn)作用。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、進(jìn)行交流的能力。高中數(shù)學(xué)課程只將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，符合高中學(xué)生的認(rèn)知水平。在此基礎(chǔ)上，通過對集合知識的教學(xué)，很好地培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述生活實(shí)例，交流實(shí)際問題的能力。為后續(xù)高中數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)奠定知識基礎(chǔ)、提供分析問題的方法。集合語言具有簡潔、明確的特性，并且可以清晰地表達(dá)事物之間的關(guān)系，為后續(xù)高中數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)奠定十分重要的語言基礎(chǔ)。此外，集合知識可以很好地為師生提供分析問題的簡便方法，如韋恩圖(集合的表示法之一)可以直觀清晰地表達(dá)事物之間的關(guān)系，在后續(xù)高中階段概率統(tǒng)計內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，概率事件之間關(guān)系的分析就用到韋恩圖的內(nèi)容來進(jìn)行分析。幫助學(xué)生進(jìn)行思維過渡，從而開始自主學(xué)習(xí)的體驗(yàn)。集合內(nèi)容抽象程度較高，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，并且有其獨(dú)特的符號和表達(dá)方法，對學(xué)生的理解能力有一定的要求。因此，集合作為高中數(shù)學(xué)課程的第一個內(nèi)容，可以幫助剛進(jìn)入高中階段的學(xué)生進(jìn)行思維過渡。學(xué)生以此為“跳板”，提高抽象思維能力，為后續(xù)數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)開啟新的體驗(yàn)。17[簡答題]通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面垂直的判定定理：一個直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。請你完成下列任務(wù)：(1)請你設(shè)計一個探索該定理的活動或問題情境，并說明設(shè)計意圖；(10分)(2)請你設(shè)計一個習(xí)題(不必解答)，以幫助學(xué)生理解該定理，并說明具體的設(shè)計意圖；(10分)(3)請你設(shè)計一個習(xí)題(不必解答)，進(jìn)一步鞏固、應(yīng)用該定理，并說明具體的設(shè)計意圖。(10分)參考解析：(1)導(dǎo)入活動：利用多媒體播放一組學(xué)生課前收集的圖片(旗桿與地面垂直、教學(xué)樓與地面垂直等)，組織學(xué)生觀察圖片中事物之間的位置關(guān)系。提出問題：利用所學(xué)的直線與平面垂直的定義觀察旗桿與地面、教學(xué)樓與地面的位置關(guān)系是什么?預(yù)設(shè)學(xué)生回答：垂直關(guān)系。教師帶領(lǐng)學(xué)生一起回憶直線與平面垂直的定義：如果一條直線與一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說這條直線與此平面互相垂直。提出問題：你能否畫出直線與平面垂直的幾何圖形?預(yù)留時間供學(xué)生動手作圖。教師板書：

提出問題：①如果直線ι與平面α內(nèi)一條直線垂直，那么直線與平面是否垂直?②如果直線ι與平面α內(nèi)兩條直線垂直，那么直線與平面是否垂直?預(yù)留時間供學(xué)生思考交流，之后教師帶領(lǐng)學(xué)生共同探究。教師板書問題中相應(yīng)的幾何圖形：

提出問題：直線ι與平面α內(nèi)的直線a垂直，直線與平面是否垂直?直線a與直線b平行，則直線ι與直線b也垂直，即直線與平面內(nèi)兩條平行直線垂直時，直線與平面垂直嗎?預(yù)設(shè)：直線與平面內(nèi)一條直線垂直時，直線與平面不一定垂直；直線與平面內(nèi)兩條平行直線垂直時，直線與平面不一定垂直。提出問題：兩條直線除了平行還有什么位置關(guān)系?預(yù)設(shè)：兩條直線的位置關(guān)系還有相交。提出問題：直線ι與平面α內(nèi)的兩條相交直線垂直，直線與平面垂直嗎?預(yù)留時間供學(xué)生思考討論。教師板書幾何圖形：

預(yù)設(shè)猜想：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。教師帶領(lǐng)學(xué)生探究猜想。教師：請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的一塊(任意)三角形的紙片，我們一起來做一個實(shí)驗(yàn)。過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放在桌面上，(BD，DC與桌面接觸)。請同學(xué)們觀察思考、動手實(shí)踐探究折痕AD與桌面是否垂直?如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直?學(xué)生自主探究之后教師板書：

提出問題：由AD⊥BC，按照上述翻折之后可以得到什么?BD與CD是什么關(guān)系?預(yù)設(shè)：AD⊥BD，AD⊥CD，BD與CD相交于點(diǎn)D。提出問題：大家觀察此時折痕AD與桌面所在的平面垂直嗎?預(yù)留時間供學(xué)生觀察感受。教師總結(jié)：當(dāng)AD⊥BD，AD⊥CD時，AD與桌面垂直。也就是，若一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。這就是直線與平面垂直的判定定理?！驹O(shè)計意圖】在教學(xué)中，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，先安排學(xué)生課前收集大量圖片以感知數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，然后帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，幫助學(xué)生建立起新舊知識之間的聯(lián)系；通過學(xué)生動手畫圖、討論交流和教師板書，使其經(jīng)歷從實(shí)際背景中抽象出幾何概念的全過程，可以提高學(xué)生分析問題的能力；在教學(xué)過程中運(yùn)用啟發(fā)式層層設(shè)問，可以培養(yǎng)學(xué)生自主探究、獨(dú)立思