抽象函數(shù)性質(zhì)Word版

整理為word格式整理為word格式整理為word格式抽象函數(shù)性質(zhì)綜述抽象函數(shù)型綜合問題，一般通過對函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)表述，綜合考查學(xué)生對于數(shù)學(xué)符號語言的理解和接受能力，考查對于函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，考查學(xué)生對于一般和特殊關(guān)系的認識.函數(shù)的周期性、對稱性一般與抽象函數(shù)結(jié)合，綜合函數(shù)的其它性質(zhì)一起考查.函數(shù)的周期性要緊扣周期函數(shù)的定義.要注意，函數(shù)的周期性只涉及到一個函數(shù).函數(shù)的對稱性比較復(fù)雜，要分清是一個函數(shù)的對稱性，還是兩個函數(shù)的對稱性；分清是軸對稱還是中心對稱.一、基本定義1、定義1：（周期函數(shù)）對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域的每一個值時，都有，那么，函數(shù)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期.2、定義2：（同一函數(shù)圖象的對稱性）若函數(shù)圖象上任一點關(guān)于點（或直線）的對稱點仍在函數(shù)的圖象上，則稱函數(shù)的圖象關(guān)于點（或直線）對稱.3、定義3：（兩個函數(shù)圖象的對稱性）若函數(shù)圖象上任一點關(guān)于點（或直線）的對稱點在函數(shù)的圖象上；反過來，函數(shù)圖象上任一點關(guān)于點（或直線）的對稱點也在函數(shù)的圖象上，則稱函數(shù)與的圖象關(guān)于點（或直線）對稱.二、關(guān)于周期性、對稱性的幾個基本結(jié)論及證明1、若函數(shù)的定義域為，且恒成立，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；2、若函數(shù)的定義域為，且恒成立，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；3、若函數(shù)的定義域為，且恒成立，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；4、若函數(shù)的定義域為，且恒成立，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；5、若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱；6、若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)與的圖象關(guān)于點對稱.略證：1、，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù).整理為word格式整理為word格式整理為word格式2、函數(shù)圖象上的任一點（滿足）關(guān)于直線的對稱點為，點仍在函數(shù)的圖象上，從而函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.3、函數(shù)圖象上的任一點（滿足）關(guān)于點的對稱點為，點仍在函數(shù)的圖象上，從而函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.4、,函數(shù)是以為周期的周期函數(shù).5、函數(shù)圖象上的任一點（滿足）關(guān)于直線的對稱點為，點在函數(shù)的圖象上；反之函數(shù)的圖象上任一點關(guān)于直線的對稱點也在函數(shù)圖象上.從而函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.6、函數(shù)圖象上的任一點（滿足）關(guān)于點的對稱點為，點在函數(shù)的圖象上；反之函數(shù)的圖象上任一點關(guān)于點的對稱點也在函數(shù)圖象上.從而函數(shù)與的圖象關(guān)于點對稱.三、關(guān)于周期性、對稱性的若干易混淆的常用結(jié)論1、若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)和函數(shù)的圖象也關(guān)于軸對稱.2、若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；函數(shù)和函數(shù)的圖象也關(guān)于原點對稱.3、若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；而函數(shù)和函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.4、若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.而函數(shù)和函數(shù)整理為word格式整理為word格式整理為word格式的圖象關(guān)于點對稱.5、若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；而函數(shù)和函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.6、若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；而函數(shù)和函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.7、若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)和函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對稱.8、若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；函數(shù)和函數(shù)的圖象也關(guān)于點對稱.9、若函數(shù)滿足，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；若函數(shù)滿足，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù).四、函數(shù)周期性與對稱性的關(guān)系1、定義在上的函數(shù),若同時關(guān)于直線和對稱,即對于任意的實數(shù),函數(shù)同時滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù).2、定義在上的函數(shù),若同時關(guān)于點和點對稱,即對于任意的實數(shù),函數(shù)同時滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù).3、定義在上的函數(shù),若同時關(guān)于直線和點對稱,即對于任意的實數(shù),函數(shù)同時滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù).略證：1、=，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù).2、3同理可證.五、函數(shù)周期性、對稱性與奇偶性的關(guān)系1、定義在上的函數(shù),若同時關(guān)于直線和對稱,即對于任意的實數(shù),函數(shù)同時滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù).2、定義在上的函數(shù),若同時關(guān)于直線和點對稱,即對于任意的實數(shù),函數(shù)同時滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是奇函數(shù).3、定義在上的函數(shù),若同時關(guān)于點和直線對稱,即對于任意的實數(shù),函數(shù)同時滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù).整理為word格式整理為word格式整理為word格式4、定義在上的函數(shù),若同時關(guān)于點和點對稱,即對于任意的實數(shù),函數(shù)同時滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是奇函數(shù).5、若偶函數(shù)關(guān)于直線對稱，即對于任意的實數(shù),函數(shù)滿足，則是以為周期的周期函數(shù).6、若偶函數(shù)關(guān)于點對稱，即對于任意的實數(shù),函數(shù)滿足，則是以為周期的周期函數(shù).7、若奇函數(shù)關(guān)于直線對稱，即對于任意的實數(shù),函數(shù)滿足，則是以為周期的周期函數(shù).8、若奇函數(shù)關(guān)于點對稱，即對于任意的實數(shù),函數(shù)滿足，則是以為周期的周期函數(shù).略證：1、由上述四中的第1點即可得函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),又函數(shù)是偶函數(shù).2、3、4同理可證.5、6、7、8可利用上述四中的結(jié)論證得.以上各條結(jié)論均可結(jié)合正弦、余弦函數(shù)為特例來加以理解.六、其它結(jié)論1、若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.2、若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.注：上述兩個結(jié)論可以通過圖象的平移來理解.3、定義在上的函數(shù)滿足，且方程恰有個實根，則這個實根的和為.4、定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.略證；任取，令，則，，由中點公式知點與點關(guān)于點對稱.由的任意性，知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.5、能得出函數(shù)為周期函數(shù)的常見結(jié)論還有：函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù)（其中為常數(shù)）,整理為word格式整理為word格式整理為word格式，則是以為周期的周期函數(shù)；②，則是以為周期的周期函數(shù)；③，則是以為周期的周期函數(shù)；