城市系統(tǒng)工程學(xué)之AHP決策分析方法

第8章AHP決策分析方法

AHP決策分析的基本原理與計算方法AHP決策分析方法應(yīng)用實例基本要求通過本章學(xué)習(xí)，能夠建立簡單的層次分析模型，在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造判斷矩陣，對層次進行單排序及其一致性檢驗，最后作出層次總排序及其一致性檢驗。重點與難點：層次分析法的步驟及其應(yīng)用。AnalyticalHierarchyProcess，簡稱AHPAHP決策分析法是美國匹茲堡大學(xué)教授、運籌學(xué)家薩得（T.L.Saaty）于20世紀70年代提出的一種定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。它常常被運用于多目標、多準則、多要素、多層次的非結(jié)構(gòu)化的復(fù)雜決策問題，特別是戰(zhàn)略決策問題的研究，具有十分廣泛的實用性。是一種將決策者對復(fù)雜問題的決策思維過程模型化、數(shù)量化的過程。通過這種方法，可以將復(fù)雜問題分解為若干層次和若干因素，在各因素之間進行簡單的比較和計算，就可以得出不同方案重要性程度的權(quán)重，從而為決策方案的選擇提供依據(jù)。第1節(jié)AHP決策分析的基本原理與計算方法基本原理AHP決策分析方法的基本過程對AHP方法的簡單評價一、基本原理AHP決策分析方法的基本原理，可以用以下的簡單事例分析來說明。

假設(shè)有n個物體A1

，A2，…，An，它們的質(zhì)量分別記為W1，W2，…，Wn?，F(xiàn)將每個物體的重量兩兩進行比較如下：A1A2AnA1W1/W1W1/W2…W1/WnA2W2/W1W2/W2…W2/Wn…………AnWn/W1Wn/W2…Wn/Wn

若以矩陣來表示各物體的這種相互質(zhì)量關(guān)系

A＝A稱為判斷矩陣。然后通過求解判斷矩陣的最大特征值λmax和它所對應(yīng)的特征向量，就可以得出這一組物體的相對質(zhì)量。這一思路提示我們——在復(fù)雜的決策問題研究中，對于一些無法度量的因素，只要引入合理的度量標度，通過構(gòu)造判斷矩陣，就可以用這種方法來度量各因素之間的相對重要性，從而為有關(guān)決策提供依據(jù)。這實際上就是AHP決策分析方法的基本思想，AHP決策分析方法的基本原理也由此而來。二、AHP決策分析方法的基本步驟大體可以分為如下6個基本步驟：（一）明確問題即弄清問題的范圍，所包含的因素，各因素之間的關(guān)系等，以便盡量掌握充分的信息。（二）建立層次結(jié)構(gòu)模型（三）構(gòu)造判斷矩陣（四）層次單排序及其一致性檢驗（五）層次總排序（六）層次總排序的一致性檢驗

在這一個步驟中，要求將問題所含的要素進行分組，把每一組作為一個層次，并將它們按照：最高層（目標層）—若干中間層（準則層）—最低層（措施層）的次序排列起來。這種層次結(jié)構(gòu)模型常用結(jié)構(gòu)圖來表示，圖中要標明上下層元素之間的關(guān)系。

（二）建立層次結(jié)構(gòu)模型圖AHP決策分析法層次結(jié)構(gòu)示意圖

如果某一個元素與下一層的所有元素均有聯(lián)系，則稱這個元素與下一層次存在有完全層次的關(guān)系。如果某一個元素只與下一層的部分元素有聯(lián)系，則稱這個元素與下一層次存在有不完全層次的關(guān)系。

例：某市能源供應(yīng)現(xiàn)狀不合理：能源供應(yīng)分散，設(shè)施落后，能源沒有充分利用，又污染了環(huán)境。有關(guān)部門提出了四個改進城市能源供應(yīng)系統(tǒng)的方案：1）加工制作高效的煤制品；2）實現(xiàn)區(qū)域供熱系統(tǒng)；3）建立熱電聯(lián)供系統(tǒng)；4）逐步實現(xiàn)煤氣化。方案的目標是代價盡可能地小，效益盡可能地大?？偰繕薚代價P效益U投資C1設(shè)備閑置C2社會代價C3社會D1環(huán)境D1節(jié)能D1煤制品M1區(qū)域供熱M2熱電聯(lián)供M3煤制氣M4某市能源供應(yīng)系統(tǒng)改進方案評價的層次分析模型總目標層子目標層準則層方案層某新城港區(qū)規(guī)劃方案綜合評價系統(tǒng)的層次分析模型綜合評價用地布局分期建設(shè)道路交通公建設(shè)施環(huán)境質(zhì)量工居關(guān)系工業(yè)協(xié)作衛(wèi)生環(huán)境岸線分配地區(qū)服務(wù)本區(qū)服務(wù)港區(qū)組織用地經(jīng)濟經(jīng)濟性交通組織路網(wǎng)結(jié)構(gòu)近期投資發(fā)展連續(xù)依托條件發(fā)展彈性景觀ABC目標層準則層指標層方案層旅游景點選擇的層次分析模型

這一個步驟是AHP決策分析中一個關(guān)鍵的步驟。A1B1B2BnB1b11b12b1nB2b21b22b2nBnbn1bn2bnn（三）構(gòu)造判斷矩陣

①判斷矩陣表示針對上一層次中的某元素而言，評定該層次中各有關(guān)元素相對重要性程度的判斷，寫成矩陣形式即判斷矩陣。其形式如下：……………………②bij

表示對于Ak

而言，元素Bi對Bj

的相對重要性程度的判斷值。一般采用1~9比率標度方法構(gòu)造判斷矩陣（優(yōu)點：簡便、精確）。比率標度根據(jù)科學(xué)的試驗和數(shù)學(xué)的驗算得到。

判斷矩陣是對稱矩陣，矩陣主對角線上的元均等于1。

表：判斷矩陣標度及其含義表：判斷矩陣標度及其含義PC1C2C3C1159C21/515C31/91/51P——代價C1——投資C2——設(shè)備閑置C3——社會代價C1/C2＝5，即P12＝5③任何判斷矩陣都應(yīng)滿足

④一般而言，判斷矩陣的數(shù)值是根據(jù)數(shù)據(jù)資料、專家意見和分析者的認識，加以平衡后給出的。①目的：確定本層次與上層次中的某元素有聯(lián)系的各元素重要性次序的權(quán)重值。

②任務(wù)：層次單排序可歸結(jié)為計算判斷矩陣的特征向量和特征根問題，即對判斷矩陣A，計算滿足

（四）層次單排序及其一致性檢驗的特征根和特征向量。在上式中，λmax為判斷矩陣A的最大特征根，W為對應(yīng)于λmax的正規(guī)化特征向量，W的分量Wi就是對應(yīng)元素單排序的權(quán)重值。

采用近似求解法中的方根法求特征根和特征向量，計算步驟如下：

1）計算判斷矩陣各行元素的乘積：M1＝1×5×9＝45M2＝1/5×1×5＝1M3＝1/9×1/5×1＝0.0222）計算Mi的n次方根3）對向量PC1C2C3C1159C21/515C31/91/514）計算判斷矩陣的最大特征根③檢驗判斷矩陣的一致性:通過前面的分析，我們知道，如判斷思維具有一致性，則判斷矩陣各元應(yīng)滿足下式：根據(jù)矩陣理論若判斷矩陣完全滿足一致性條件，矩陣最大的特征根λmax=n（矩陣階數(shù)），且除λmax外，其余特征根均為0；若判斷矩陣具有較滿意的一致性，λmax稍大于矩陣階數(shù)，其它特征根接近于0。且當(dāng)矩陣不具有完全一致性時，

用判斷矩陣最大特征根以外的其余的特征根的負平均值CI作為度量判斷矩陣偏離一致性的指標：在上式中，當(dāng)CI＝0時，判斷矩陣具有完全一致性；反之，CI愈大，就表示判斷矩陣的一致性就越差。

為了度量不同階判斷矩陣是否具有滿意的一致性，還需要引入判斷矩陣的平均隨機一致性指標RI值，對于1～9階判斷矩陣，RI值見下表RI值是以隨機方法構(gòu)造出500個樣本矩陣，即隨機用1～9標度值及它們的倒數(shù)填滿樣本矩陣的上三角各元，主對角線上各元始終為1，下三角各元取與上三角對稱元值的倒數(shù)，分別對n=1~9階各500個隨機樣本矩陣計算其一致性指標CI值之后加以平均，得到RI值。1、2階矩陣總具有完全一致性，RI只是形式上的。當(dāng)階數(shù)大于2時，判斷矩陣的一致性指標CI與同階的平均隨機一致性指標RI之比，稱為隨機一致性比率，記為CR。當(dāng)則認為判斷矩陣具有滿意的一致性，否則需調(diào)整判斷矩陣。矩陣隨機一致性指標RI值PC1C2C3WCC11590.735C21/5150.207C31/91/510.058λmax

=3.118CI=0.059RI=0.58CR=0.102總結(jié)：（五）層次總排序①定義：利用同一層次中所有層次單排序的結(jié)果，就可以計算針對上一層次而言，本層次所有元素的重要性權(quán)重值，這就稱為層次總排序。②層次總排序需要從上到下逐層順序進行。對于最高層而言，其層次單排序的結(jié)果也就是總排序的結(jié)果。

假如上一層的層次總排序已經(jīng)完成，元素A1，A2，…，Am得到的權(quán)重值分別為a1，a2，…，am；與Aj對應(yīng)的本層次元素B1，B2，…，Bn的層次單排序結(jié)果為[]T（當(dāng)Bi與Aj無聯(lián)系時，＝0）；那么，B層次的總排序結(jié)果見下表。表層次總排序表

顯然

=1即層次總排序是歸一化的正規(guī)向量。

CI＝

式中：CI為層次總排序的一致性指標；

CIj為與aj對應(yīng)的B層次中判斷矩陣的一致性指標。（六)層次總排序的一致性檢驗

為了評價層次總排序結(jié)果的一致性，類似于層次單排序，也需要進行一致性檢驗。為此，需要分別計算下列指標

式中：RI為層次總排序的隨機一致性指標；

RIj為與aj對應(yīng)的B層次中判斷矩陣的隨機一致性指標；CR為層次總排序的隨機一致性比例。RI＝CR＝

當(dāng)CR<0.10時，則認為層次總排序的計算結(jié)果具有令人滿意的一致性；否則，就需要對本層次的各判斷矩陣進行調(diào)整，直至層次總排序的一致性檢驗達到要求為止。

總目標T代價P效益U投資C1設(shè)備閑置C2社會代價C3社會D1環(huán)境D1節(jié)能D1煤制品M1區(qū)域供熱M2熱電聯(lián)供M3煤制氣M4某市能源供應(yīng)系統(tǒng)改進方案評價的層次分析模型總目標層子目標層準則層方案層M層包括四個方案，它們對投資、設(shè)備閑置、社會代價的影響大小如下：MiWcC1C2C3代價總排序WM0.7530.2070.058WM-CM10.0430.0520.1410.051M20.2560.5960.4550.338M30.1550.2730.2630.186M40.5460.0790.1410.425進行總排序，計算公式如下：根據(jù)M層的層次總排序結(jié)果，M層各方案對目標P代價的重要度要數(shù)煤制氣（M4）的代價最重，煤制品（M1）最輕。因此，如從代價目標最優(yōu)考慮，應(yīng)取煤制品方案?？偰繕薚代價P效益U投資C1設(shè)備閑置C2社會代價C3社會D1環(huán)境D1節(jié)能D1煤制品M1區(qū)域供熱M2熱電聯(lián)供M3煤制氣M4某市能源供應(yīng)系統(tǒng)改進方案評價的層次分析模型總目標層子目標層準則層方案層對于效益子目標進行層次分析MiWDD1D2D3效益總排序WM0.6370.2580.105WM-DM10.0820.0960.1970.098M20.3320.1810.1170.270M30.5300.0540.0510.357M40.0560.6690.6350.275一致性檢驗：方案層M的效益總排序總目標排序如認為代價和效益兩個子目標同等重要，則總目標T代價P效益U投資C1設(shè)備閑置C2社會代價C3社會D1環(huán)境D1節(jié)能D1煤制品M1區(qū)域供熱M2熱電聯(lián)供M3煤制氣M4某市能源供應(yīng)系統(tǒng)改進方案評價的層次分析模型總目標層子目標層準則層方案層1、子目標層排序首先對兩個子目標進行判斷，形成判斷矩陣。2、準則層單排序和總排序TPUWP11/20.333U210.667UD1D2D3WDD11350.637D21/3130.258D31/51/310.105PC1C2C3WCC11590.735C21/5150.207C31/91/510.058C-DWP-UPU總排序0.3330.667WC-DWCD-PUC10.73500.245C20.20700.069C30.05800.019D100.6370.425D200.2580.172D300.1050.070層次分析法計算步驟如下：3、方案層的單排序和總排序?qū)εc代價準則有關(guān)的單排序權(quán)重作換算。總排序MiWcC1C2C3代價總排序WM0.7530.2070.058WM-CM10.0430.0520.1410.051M20.2560.5960.4550.338M30.1550.2730.2630.186M40.5460.0790.1410.425MiC-D總排序WMC1C2C3D1D2D30.2450.0690.0190.4250