城市系統(tǒng)工程學(xué)之AHP決策分析方法

第8章AHP決策分析方法

AHP決策分析的基本原理與計(jì)算方法AHP決策分析方法應(yīng)用實(shí)例基本要求通過(guò)本章學(xué)習(xí)，能夠建立簡(jiǎn)單的層次分析模型，在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造判斷矩陣，對(duì)層次進(jìn)行單排序及其一致性檢驗(yàn)，最后作出層次總排序及其一致性檢驗(yàn)。重點(diǎn)與難點(diǎn)：層次分析法的步驟及其應(yīng)用。AnalyticalHierarchyProcess，簡(jiǎn)稱AHPAHP決策分析法是美國(guó)匹茲堡大學(xué)教授、運(yùn)籌學(xué)家薩得（T.L.Saaty）于20世紀(jì)70年代提出的一種定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。它常常被運(yùn)用于多目標(biāo)、多準(zhǔn)則、多要素、多層次的非結(jié)構(gòu)化的復(fù)雜決策問(wèn)題，特別是戰(zhàn)略決策問(wèn)題的研究，具有十分廣泛的實(shí)用性。是一種將決策者對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的決策思維過(guò)程模型化、數(shù)量化的過(guò)程。通過(guò)這種方法，可以將復(fù)雜問(wèn)題分解為若干層次和若干因素，在各因素之間進(jìn)行簡(jiǎn)單的比較和計(jì)算，就可以得出不同方案重要性程度的權(quán)重，從而為決策方案的選擇提供依據(jù)。第1節(jié)AHP決策分析的基本原理與計(jì)算方法基本原理AHP決策分析方法的基本過(guò)程對(duì)AHP方法的簡(jiǎn)單評(píng)價(jià)一、基本原理AHP決策分析方法的基本原理，可以用以下的簡(jiǎn)單事例分析來(lái)說(shuō)明。

假設(shè)有n個(gè)物體A1

，A2，…，An，它們的質(zhì)量分別記為W1，W2，…，Wn?，F(xiàn)將每個(gè)物體的重量?jī)蓛蛇M(jìn)行比較如下：A1A2AnA1W1/W1W1/W2…W1/WnA2W2/W1W2/W2…W2/Wn…………AnWn/W1Wn/W2…Wn/Wn

若以矩陣來(lái)表示各物體的這種相互質(zhì)量關(guān)系

A＝A稱為判斷矩陣。然后通過(guò)求解判斷矩陣的最大特征值λmax和它所對(duì)應(yīng)的特征向量，就可以得出這一組物體的相對(duì)質(zhì)量。這一思路提示我們——在復(fù)雜的決策問(wèn)題研究中，對(duì)于一些無(wú)法度量的因素，只要引入合理的度量標(biāo)度，通過(guò)構(gòu)造判斷矩陣，就可以用這種方法來(lái)度量各因素之間的相對(duì)重要性，從而為有關(guān)決策提供依據(jù)。這實(shí)際上就是AHP決策分析方法的基本思想，AHP決策分析方法的基本原理也由此而來(lái)。二、AHP決策分析方法的基本步驟大體可以分為如下6個(gè)基本步驟：（一）明確問(wèn)題即弄清問(wèn)題的范圍，所包含的因素，各因素之間的關(guān)系等，以便盡量掌握充分的信息。（二）建立層次結(jié)構(gòu)模型（三）構(gòu)造判斷矩陣（四）層次單排序及其一致性檢驗(yàn)（五）層次總排序（六）層次總排序的一致性檢驗(yàn)

在這一個(gè)步驟中，要求將問(wèn)題所含的要素進(jìn)行分組，把每一組作為一個(gè)層次，并將它們按照：最高層（目標(biāo)層）—若干中間層（準(zhǔn)則層）—最低層（措施層）的次序排列起來(lái)。這種層次結(jié)構(gòu)模型常用結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示，圖中要標(biāo)明上下層元素之間的關(guān)系。

（二）建立層次結(jié)構(gòu)模型圖AHP決策分析法層次結(jié)構(gòu)示意圖

如果某一個(gè)元素與下一層的所有元素均有聯(lián)系，則稱這個(gè)元素與下一層次存在有完全層次的關(guān)系。如果某一個(gè)元素只與下一層的部分元素有聯(lián)系，則稱這個(gè)元素與下一層次存在有不完全層次的關(guān)系。

例：某市能源供應(yīng)現(xiàn)狀不合理：能源供應(yīng)分散，設(shè)施落后，能源沒(méi)有充分利用，又污染了環(huán)境。有關(guān)部門(mén)提出了四個(gè)改進(jìn)城市能源供應(yīng)系統(tǒng)的方案：1）加工制作高效的煤制品；2）實(shí)現(xiàn)區(qū)域供熱系統(tǒng)；3）建立熱電聯(lián)供系統(tǒng)；4）逐步實(shí)現(xiàn)煤氣化。方案的目標(biāo)是代價(jià)盡可能地小，效益盡可能地大?？偰繕?biāo)T代價(jià)P效益U投資C1設(shè)備閑置C2社會(huì)代價(jià)C3社會(huì)D1環(huán)境D1節(jié)能D1煤制品M1區(qū)域供熱M2熱電聯(lián)供M3煤制氣M4某市能源供應(yīng)系統(tǒng)改進(jìn)方案評(píng)價(jià)的層次分析模型總目標(biāo)層子目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層某新城港區(qū)規(guī)劃方案綜合評(píng)價(jià)系統(tǒng)的層次分析模型綜合評(píng)價(jià)用地布局分期建設(shè)道路交通公建設(shè)施環(huán)境質(zhì)量工居關(guān)系工業(yè)協(xié)作衛(wèi)生環(huán)境岸線分配地區(qū)服務(wù)本區(qū)服務(wù)港區(qū)組織用地經(jīng)濟(jì)經(jīng)濟(jì)性交通組織路網(wǎng)結(jié)構(gòu)近期投資發(fā)展連續(xù)依托條件發(fā)展彈性景觀ABC目標(biāo)層準(zhǔn)則層指標(biāo)層方案層旅游景點(diǎn)選擇的層次分析模型

這一個(gè)步驟是AHP決策分析中一個(gè)關(guān)鍵的步驟。A1B1B2BnB1b11b12b1nB2b21b22b2nBnbn1bn2bnn（三）構(gòu)造判斷矩陣

①判斷矩陣表示針對(duì)上一層次中的某元素而言，評(píng)定該層次中各有關(guān)元素相對(duì)重要性程度的判斷，寫(xiě)成矩陣形式即判斷矩陣。其形式如下：……………………②bij

表示對(duì)于Ak

而言，元素Bi對(duì)Bj

的相對(duì)重要性程度的判斷值。一般采用1~9比率標(biāo)度方法構(gòu)造判斷矩陣（優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)便、精確）。比率標(biāo)度根據(jù)科學(xué)的試驗(yàn)和數(shù)學(xué)的驗(yàn)算得到。

判斷矩陣是對(duì)稱矩陣，矩陣主對(duì)角線上的元均等于1。

表：判斷矩陣標(biāo)度及其含義表：判斷矩陣標(biāo)度及其含義PC1C2C3C1159C21/515C31/91/51P——代價(jià)C1——投資C2——設(shè)備閑置C3——社會(huì)代價(jià)C1/C2＝5，即P12＝5③任何判斷矩陣都應(yīng)滿足

④一般而言，判斷矩陣的數(shù)值是根據(jù)數(shù)據(jù)資料、專家意見(jiàn)和分析者的認(rèn)識(shí)，加以平衡后給出的。①目的：確定本層次與上層次中的某元素有聯(lián)系的各元素重要性次序的權(quán)重值。

②任務(wù)：層次單排序可歸結(jié)為計(jì)算判斷矩陣的特征向量和特征根問(wèn)題，即對(duì)判斷矩陣A，計(jì)算滿足

（四）層次單排序及其一致性檢驗(yàn)的特征根和特征向量。在上式中，λmax為判斷矩陣A的最大特征根，W為對(duì)應(yīng)于λmax的正規(guī)化特征向量，W的分量Wi就是對(duì)應(yīng)元素單排序的權(quán)重值。

采用近似求解法中的方根法求特征根和特征向量，計(jì)算步驟如下：

1）計(jì)算判斷矩陣各行元素的乘積：M1＝1×5×9＝45M2＝1/5×1×5＝1M3＝1/9×1/5×1＝0.0222）計(jì)算Mi的n次方根3）對(duì)向量PC1C2C3C1159C21/515C31/91/514）計(jì)算判斷矩陣的最大特征根③檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性:通過(guò)前面的分析，我們知道，如判斷思維具有一致性，則判斷矩陣各元應(yīng)滿足下式：根據(jù)矩陣?yán)碚撊襞袛嗑仃囃耆珴M足一致性條件，矩陣最大的特征根λmax=n（矩陣階數(shù)），且除λmax外，其余特征根均為0；若判斷矩陣具有較滿意的一致性，λmax稍大于矩陣階數(shù)，其它特征根接近于0。且當(dāng)矩陣不具有完全一致性時(shí)，

用判斷矩陣最大特征根以外的其余的特征根的負(fù)平均值CI作為度量判斷矩陣偏離一致性的指標(biāo)：在上式中，當(dāng)CI＝0時(shí)，判斷矩陣具有完全一致性；反之，CI愈大，就表示判斷矩陣的一致性就越差。

為了度量不同階判斷矩陣是否具有滿意的一致性，還需要引入判斷矩陣的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI值，對(duì)于1～9階判斷矩陣，RI值見(jiàn)下表RI值是以隨機(jī)方法構(gòu)造出500個(gè)樣本矩陣，即隨機(jī)用1～9標(biāo)度值及它們的倒數(shù)填滿樣本矩陣的上三角各元，主對(duì)角線上各元始終為1，下三角各元取與上三角對(duì)稱元值的倒數(shù)，分別對(duì)n=1~9階各500個(gè)隨機(jī)樣本矩陣計(jì)算其一致性指標(biāo)CI值之后加以平均，得到RI值。1、2階矩陣總具有完全一致性，RI只是形式上的。當(dāng)階數(shù)大于2時(shí)，判斷矩陣的一致性指標(biāo)CI與同階的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI之比，稱為隨機(jī)一致性比率，記為CR。當(dāng)則認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性，否則需調(diào)整判斷矩陣。矩陣隨機(jī)一致性指標(biāo)RI值PC1C2C3WCC11590.735C21/5150.207C31/91/510.058λmax

=3.118CI=0.059RI=0.58CR=0.102總結(jié)：（五）層次總排序①定義：利用同一層次中所有層次單排序的結(jié)果，就可以計(jì)算針對(duì)上一層次而言，本層次所有元素的重要性權(quán)重值，這就稱為層次總排序。②層次總排序需要從上到下逐層順序進(jìn)行。對(duì)于最高層而言，其層次單排序的結(jié)果也就是總排序的結(jié)果。

假如上一層的層次總排序已經(jīng)完成，元素A1，A2，…，Am得到的權(quán)重值分別為a1，a2，…，am；與Aj對(duì)應(yīng)的本層次元素B1，B2，…，Bn的層次單排序結(jié)果為[]T（當(dāng)Bi與Aj無(wú)聯(lián)系時(shí)，＝0）；那么，B層次的總排序結(jié)果見(jiàn)下表。表層次總排序表

顯然

=1即層次總排序是歸一化的正規(guī)向量。

CI＝

式中：CI為層次總排序的一致性指標(biāo)；

CIj為與aj對(duì)應(yīng)的B層次中判斷矩陣的一致性指標(biāo)。（六)層次總排序的一致性檢驗(yàn)

為了評(píng)價(jià)層次總排序結(jié)果的一致性，類(lèi)似于層次單排序，也需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。為此，需要分別計(jì)算下列指標(biāo)

式中：RI為層次總排序的隨機(jī)一致性指標(biāo)；

RIj為與aj對(duì)應(yīng)的B層次中判斷矩陣的隨機(jī)一致性指標(biāo)；CR為層次總排序的隨機(jī)一致性比例。RI＝CR＝

當(dāng)CR<0.10時(shí)，則認(rèn)為層次總排序的計(jì)算結(jié)果具有令人滿意的一致性；否則，就需要對(duì)本層次的各判斷矩陣進(jìn)行調(diào)整，直至層次總排序的一致性檢驗(yàn)達(dá)到要求為止。

總目標(biāo)T代價(jià)P效益U投資C1設(shè)備閑置C2社會(huì)代價(jià)C3社會(huì)D1環(huán)境D1節(jié)能D1煤制品M1區(qū)域供熱M2熱電聯(lián)供M3煤制氣M4某市能源供應(yīng)系統(tǒng)改進(jìn)方案評(píng)價(jià)的層次分析模型總目標(biāo)層子目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層M層包括四個(gè)方案，它們對(duì)投資、設(shè)備閑置、社會(huì)代價(jià)的影響大小如下：MiWcC1C2C3代價(jià)總排序WM0.7530.2070.058WM-CM10.0430.0520.1410.051M20.2560.5960.4550.338M30.1550.2730.2630.186M40.5460.0790.1410.425進(jìn)行總排序，計(jì)算公式如下：根據(jù)M層的層次總排序結(jié)果，M層各方案對(duì)目標(biāo)P代價(jià)的重要度要數(shù)煤制氣（M4）的代價(jià)最重，煤制品（M1）最輕。因此，如從代價(jià)目標(biāo)最優(yōu)考慮，應(yīng)取煤制品方案?？偰繕?biāo)T代價(jià)P效益U投資C1設(shè)備閑置C2社會(huì)代價(jià)C3社會(huì)D1環(huán)境D1節(jié)能D1煤制品M1區(qū)域供熱M2熱電聯(lián)供M3煤制氣M4某市能源供應(yīng)系統(tǒng)改進(jìn)方案評(píng)價(jià)的層次分析模型總目標(biāo)層子目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層對(duì)于效益子目標(biāo)進(jìn)行層次分析MiWDD1D2D3效益總排序WM0.6370.2580.105WM-DM10.0820.0960.1970.098M20.3320.1810.1170.270M30.5300.0540.0510.357M40.0560.6690.6350.275一致性檢驗(yàn)：方案層M的效益總排序總目標(biāo)排序如認(rèn)為代價(jià)和效益兩個(gè)子目標(biāo)同等重要，則總目標(biāo)T代價(jià)P效益U投資C1設(shè)備閑置C2社會(huì)代價(jià)C3社會(huì)D1環(huán)境D1節(jié)能D1煤制品M1區(qū)域供熱M2熱電聯(lián)供M3煤制氣M4某市能源供應(yīng)系統(tǒng)改進(jìn)方案評(píng)價(jià)的層次分析模型總目標(biāo)層子目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層1、子目標(biāo)層排序首先對(duì)兩個(gè)子目標(biāo)進(jìn)行判斷，形成判斷矩陣。2、準(zhǔn)則層單排序和總排序TPUWP11/20.333U210.667UD1D2D3WDD11350.637D21/3130.258D31/51/310.105PC1C2C3WCC11590.735C21/5150.207C31/91/510.058C-DWP-UPU總排序0.3330.667WC-DWCD-PUC10.73500.245C20.20700.069C30.05800.019D100.6370.425D200.2580.172D300.1050.070層次分析法計(jì)算步驟如下：3、方案層的單排序和總排序?qū)εc代價(jià)準(zhǔn)則有關(guān)的單排序權(quán)重作換算?？偱判騇iWcC1C2C3代價(jià)總排序WM0.7530.2070.058WM-CM10.0430.0520.1410.051M20.2560.5960.4550.338M30.1550.2730.2630.186M40.5460.0790.1410.425MiC-D總排序WMC1C2C3D1D2D30.2450.0690.0190.4250