靜力學(xué)-約束及其分類

§4-2、約束及其分類

Constraintsandtheirtypes一、約束與約束方程約束：

限制物體空間位置或運(yùn)動(dòng)的條件約束方程constraintequation

：約束的數(shù)學(xué)表達(dá)式y(tǒng)xMyxM二、約束的分類雙面約束(bilateralconstraint)：約束方程為等式的約束yxMyxM單面約束(unilateralconstraint)：約束方程為不等式的約束定常約束(steadyconstraint)：約束方程中不顯含時(shí)間t的約束yxMyxM定常與非定常約束非定常約束(unsteadyconstraint)：約束方程中顯含時(shí)間t的約束完整與非完整約束完整約束(holonomicconstraint)：約束方程中不含速度項(xiàng)的約束非完整約束(nonholonomicconstraint)：約束方程中含有速度項(xiàng)(且不可積)的約束soR純滾動(dòng)約束方程:AMExample:Constraintequation是否約束條件？限制一點(diǎn)還是整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)？

三、約束允許的位移yxM約束允許的位移:滿足約束方程的位移

約束允許的微小位移yx約束允許的微小位移:滿足微分形式約束方程的位移example約束對(duì)A

點(diǎn)位置的限制約束允許的微小位移A約束允許某點(diǎn)的微小位移，可由其約束條件的解析表達(dá)式進(jìn)行微分運(yùn)算求出

約束允許的位移§4-3、廣義坐標(biāo)與自由度自由度（degreeoffreedom)：質(zhì)點(diǎn)或剛體系統(tǒng)不受限制的程度對(duì)于具有雙面、完整約束的質(zhì)點(diǎn)系，自由度數(shù)目等于其廣義坐標(biāo)的數(shù)目。廣義坐標(biāo)(generalizedcoordinate)：描述質(zhì)點(diǎn)或剛體系統(tǒng)位置的可以獨(dú)立變化的參數(shù)。n

廣義坐標(biāo)數(shù)s約束方程數(shù)LMyxM例:確定系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和自由度ABOxyAM廣義:1、位移、角度

2、不唯一例:

確定系統(tǒng)的自由度和廣義坐標(biāo)ABCD§4-4、虛位移與虛功

Virtualdisplacementandwork虛位移：在給定位置，質(zhì)點(diǎn)系或剛體系為約束容許的任何微?。o(wú)窮小）位移.用記號(hào)（變分號(hào)）表示。如：yxABOABO對(duì)于定常約束：虛位移即為約束容許的微小位移?？捎善湮恢檬噶康奈⒎智蟪龆ǔ＜s束系統(tǒng)的虛位移？？？yxB？ABABCD？A定常約束系統(tǒng)的虛位移幾種常見(jiàn)的虛位移求法:1、剛體上任意兩點(diǎn)的虛位移在這兩點(diǎn)連線上的投影相等；CABOOAB定理：剛體上任意兩點(diǎn)的微小位移在兩點(diǎn)連線上的投影相等。虛位移求法2:平面運(yùn)動(dòng)剛體，若平面圖形上某兩點(diǎn)的虛位移相同則剛體上所有點(diǎn)的虛位移均相同；AB已知證明CABCAB3、解析方法：首先由廣義坐標(biāo)以及約束條件表示出所選擇點(diǎn)的位置；再由變(微)分運(yùn)算求出相應(yīng)的虛位移。yx124系統(tǒng)有幾個(gè)自由度，則有幾個(gè)獨(dú)立的虛位移；即給定某些點(diǎn)的虛位移，所有點(diǎn)的虛位移均可確定。yx任何點(diǎn)的虛位移均可由廣義坐標(biāo)的虛位移給出ABOExample即：你可以花一秒鐘，也可以花一年時(shí)間讓夾角改變0.00000000000000001度小位移.

但是只要改變，其相鄰的兩個(gè)角就要相應(yīng)地改變。

StudyquestionStudyquestion二、虛功Virtualwork作用于質(zhì)點(diǎn)系或剛體系上的力,在給定的虛位移所做的功。虛功原理VirtualWorkPrinciple虛位移原理：作用物體系統(tǒng)上所有的力，在給定位置上為平衡力系的充要條件是：它們?cè)谖矬w系統(tǒng)的任何虛位移上所作的虛功之和等于零。虛功原理VirtualWorkPrinciple物體系統(tǒng)受到的約束稱為理想約束1，自由度2，系統(tǒng)虛位移3，力作用點(diǎn)的虛位移應(yīng)用虛功原理基本步驟1，確定系統(tǒng)的自由度2，給出獨(dú)立的虛位移，可以是廣義坐標(biāo)的虛位移，也可以是某些點(diǎn)的虛位移。3，通過(guò)虛位移的求法，找出各力作用點(diǎn)的虛位移，和有力偶作用的剛體的（轉(zhuǎn)角）虛位移4，計(jì)算各個(gè)主動(dòng)力（力偶）的虛功及其總和，并令虛功之和為零。ExampleABO虛位移

求F

和M的虛功例：已知OA=L，求系統(tǒng)在圖示位置平衡時(shí)，力偶矩M與力F的關(guān)系（不計(jì)摩擦）ABO1，確定系統(tǒng)的自由度：1個(gè)ABO2，給出獨(dú)立的虛位移，可以是廣義坐標(biāo)的虛位移，也可以是某些點(diǎn)的虛位移。3，通過(guò)虛位移的求法，找出各力作用點(diǎn)的虛位移，和有力偶作用的剛體的（轉(zhuǎn)角）虛位移4，計(jì)算各個(gè)主動(dòng)力（力偶）的虛功及其總和，并令虛功之和為零。xyP1，自由度2，系統(tǒng)虛位移3，力作用點(diǎn)的虛位移4，計(jì)算虛功2n根桿，長(zhǎng)l，不計(jì)各處摩擦求維持平衡的力PAPGEDCB例：已知：P求BG，CE

桿內(nèi)力1，自由度2，系統(tǒng)虛位移3，力作用點(diǎn)的虛位移4，計(jì)算虛功例：已知F，求AG

桿上的約束力ABCDEFGHaaaa2a例：已知F，求AG

桿上的約束力BCEFHaaa2aDPW例：已知W，不記桿重，求平衡力P

W例：機(jī)構(gòu)如圖所示，彈簧剛度為k，當(dāng)AC=a

時(shí)，彈簧無(wú)變形。設(shè)在滑塊上作用一水平力F，求該機(jī)構(gòu)處于平衡時(shí)，A和C間的距離（x=？）ABCDEABCDEyx虛位移原理不便之例：已知OA

為柔索，AB為無(wú)質(zhì)量剛性桿，水平力為F求系統(tǒng)平衡位置。yx虛位移原理的不便之例：已知：求平衡時(shí)的位置，x1，自由度2，系統(tǒng)虛位移3，力作用點(diǎn)的虛位移4，計(jì)算虛功虛位移原理的方便之處：多物體，小自由度，虛位移原理的思路：從幾何觀點(diǎn)從能量觀點(diǎn)42動(dòng)能極值位置平衡位置靜平衡位置與動(dòng)能極值位置§4-7、質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中平衡的穩(wěn)定性一、勢(shì)力場(chǎng)及勢(shì)能力場(chǎng)(forcefield)：物體受力完全由其所在位置決定，這樣的空間稱為力場(chǎng)。勢(shì)力場(chǎng)(potentialforcefield)：場(chǎng)力所做的功與物體經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)，這樣的力場(chǎng)稱為勢(shì)力場(chǎng)或保守力場(chǎng)。勢(shì)能(potential

energy)：質(zhì)點(diǎn)從某一位置A到基準(zhǔn)點(diǎn)Ao

，有勢(shì)力所做的功，稱為質(zhì)點(diǎn)在該位置的勢(shì)能?；鶞?zhǔn)點(diǎn)的勢(shì)能為零。二、勢(shì)力場(chǎng)的特性設(shè)作用在質(zhì)點(diǎn)上的有勢(shì)力為：設(shè)質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能函數(shù)為：則有關(guān)系式勢(shì)能函數(shù)的梯度？勢(shì)力場(chǎng)的旋度？勢(shì)力場(chǎng)的旋度？三、質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中的平衡條件設(shè)質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能函數(shù)為：質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中的平衡充分必要條件是：質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能函數(shù)取極值是平衡的充分條件四、質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中平衡的穩(wěn)定性定理：質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中的平衡位置是穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)在平衡位置的勢(shì)能為極小值。質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中平衡及其穩(wěn)定性分析的基本步驟：1、給出系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)2、確定系統(tǒng)的平衡位置3、討論平衡位置的穩(wěn)定性平衡的穩(wěn)定性(stabilityofequilibrium)：質(zhì)點(diǎn)系處于某一平衡位置，若受到微小擾動(dòng)后，仍在平衡位置的微小鄰域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則稱平衡位置是穩(wěn)定的(stable)，否則是不穩(wěn)定的(unstable)。四、質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中平衡的穩(wěn)定性解：取=0為系統(tǒng)的零勢(shì)位若：平衡位置是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的平衡位置例：如圖所示，滑塊的質(zhì)量為m,桿長(zhǎng)為L(zhǎng)(不計(jì)質(zhì)量),彈簧剛度系數(shù)分別為。當(dāng)桿鉛垂時(shí)，彈簧無(wú)變形，求系統(tǒng)的平衡位置并分析其穩(wěn)定性。mBDL數(shù)學(xué)：方向?qū)?shù)、梯度力學(xué)：廣義力(-)力學(xué)：廣義力為零，平衡平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性穩(wěn)定不穩(wěn)定PLALBCDL條件極值PBDLALC條件極值極大,平衡、不穩(wěn)定例：機(jī)構(gòu)如圖所示，彈簧剛度為k，當(dāng)AC=a

時(shí)，彈簧無(wú)變形。設(shè)在滑塊上作用一水平力F，求該機(jī)構(gòu)處于平衡時(shí)，A和C間的距離（x=？）ABCDEABCDE2022/12/1554A