多目標(biāo)規(guī)劃方法概述課件

多目標(biāo)規(guī)劃方法Multi-objectiveProgramming多目標(biāo)規(guī)劃方法2背景介紹在地理學(xué)研究中，對于許多規(guī)劃問題，常常需要考慮多個目標(biāo)，如經(jīng)濟效益目標(biāo)，生態(tài)效益目標(biāo)，社會效益目標(biāo)，等等。為了滿足這類問題研究之需要，本章擬結(jié)合有關(guān)實例，對多目標(biāo)規(guī)劃方法及其在地理學(xué)研究中的應(yīng)用問題作一些簡單地介紹。2背景介紹在地理學(xué)研究中，對于許多規(guī)劃問題，常常需要考慮多個多目標(biāo)規(guī)劃及其求解技術(shù)簡介目標(biāo)規(guī)劃方法多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實例大綱多目標(biāo)規(guī)劃及其求解技術(shù)簡介大綱1多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡介1多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解5（一）任何多目標(biāo)規(guī)劃問題，都由兩個基本部分組成：（1）兩個以上的目標(biāo)函數(shù)；（2）若干個約束條件。（二）對于多目標(biāo)規(guī)劃問題，可以將其數(shù)學(xué)模型一般地描寫為如下形式：一、多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解5（一）任何多目標(biāo)規(guī)劃問題，都由兩個基本部分組成：一、多目標(biāo)6一、多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解（1.2）（1.1）式中：為決策變量向量。6一、多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解（1.2）（1.1）式中：7一、多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解如果將（1.1）和（1.2）式進一步縮寫，即：（1.3）

（1.4）式中：是k維函數(shù)向量，k是目標(biāo)函數(shù)的個數(shù)；是m維函數(shù)向量；是m維常數(shù)向量；m是約束方程的個數(shù)。7一、多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解如果將（1.1）和（1.2）式進8一、多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解對于線性多目標(biāo)規(guī)劃問題，（1.3）和（1.4）式可以進一步用矩陣表示：（1.5）（1.6）式中：為n維決策變量向量；為k×n矩陣，即目標(biāo)函數(shù)系數(shù)矩陣；為m×n矩陣，即約束方程系數(shù)矩陣；為m維的向量，約束向量。8一、多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解對于線性多目標(biāo)規(guī)9對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇：▲每一個目標(biāo)函數(shù)取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？▲每一個決策變量取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標(biāo)的最優(yōu)化（最大或最?。?，而不顧其它目標(biāo)。二、多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解9對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇10非劣解：可以用圖1.1說明。二、多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解圖1.1多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解10非劣解：可以用圖1.1說明。二、多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解圖111在圖1.1中，就方案①和②來說，①的目標(biāo)值比②大，但其目標(biāo)值比②小，因此無法確定這兩個方案的優(yōu)與劣。在各個方案之間，顯然：③比②好，④比①好，⑦比③好，⑤比④好。而對于方案⑤、⑥、⑦之間則無法確定優(yōu)劣，而且又沒有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱之為多目標(biāo)規(guī)劃問題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構(gòu)成的集合稱為非劣解集。二、多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解11二、多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解12當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時達到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）。二、多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解12當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時達2多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡介為了求得多目標(biāo)規(guī)劃問題的非劣解，常常需要將多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題去處理。實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，有如下幾種建模方法。一、效用最優(yōu)化模型二、罰款模型三、約束模型四、目標(biāo)規(guī)劃模型五、目標(biāo)達到法2多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡介一、效用最優(yōu)化模型建摸依據(jù)：規(guī)劃問題的各個目標(biāo)函數(shù)可以通過一定的方式進行求和運算。這種方法將一系列的目標(biāo)函數(shù)與效用函數(shù)建立相關(guān)關(guān)系，各目標(biāo)之間通過效用函數(shù)協(xié)調(diào)，使多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單目標(biāo)規(guī)劃問題：是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。（2.1）

（2.2）

一、效用最優(yōu)化模型是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時，需要確定一組權(quán)值來反映原問題中各目標(biāo)函數(shù)在總體目標(biāo)中的權(quán)重，即：式中，諸應(yīng)滿足：若采用向量與矩陣（2.3）

（2.5）

（2.6）（2.7）

（2.4）

在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時，需要確定一組權(quán)值來反映原問題二、罰款模型規(guī)劃決策者對每一個目標(biāo)函數(shù)都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過比較實際值與期望值之間的偏差來選擇問題的解，其數(shù)學(xué)表達式如下：（2.8）

（2.9）

二、罰款模型（2.8）（2.9）或?qū)懗删仃囆问剑菏街?，是與第i個目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的權(quán)重；

A是由組成的m×m對角矩陣。（2.10）

（2.11）

或?qū)懗删仃囆问剑海?.10）（2.11）三、約束模型理論依據(jù)：若規(guī)劃問題的某一目標(biāo)可以給出一個可供選擇的范圍，則該目標(biāo)就可以作為約束條件而被排除出目標(biāo)組，進入約束條件組中。假如，除第一個目標(biāo)外，其余目標(biāo)都可以提出一個可供選擇的范圍，則該多目標(biāo)規(guī)劃問題就可以轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題：三、約束模型采用矩陣可記為：

（2.17）

（2.16）

（2.15）

（2.14）

（2.13）

（2.12）

（2.17）（2.16）（2.15）（2.14）（四、目標(biāo)規(guī)劃模型也需要預(yù)先確定各個目標(biāo)的期望值，同時給每一個目標(biāo)賦予一個優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)，假定有K個目標(biāo)，L個優(yōu)先級，目標(biāo)規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)形式為：四、目標(biāo)規(guī)劃模型式中：和分別表示與相應(yīng)的、與相比的目標(biāo)超過值和不足值，即正、負偏差變量；表示第l個優(yōu)先級；、表示在同一優(yōu)先級中，不同目標(biāo)的正、負偏差變量的權(quán)系數(shù)。（2.18）

（2.19）

（2.20）

（2.18）（2.19）（2.20）五、目標(biāo)達到法首先將多目標(biāo)規(guī)劃模型化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：（2.21）

（2.22）

五、目標(biāo)達到法（2.21）（2.22）在求解之前，先設(shè)計與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo),每一個目標(biāo)對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)為，再設(shè)為一松弛因子。那么，多目標(biāo)規(guī)劃問題（2.21）～（2.22）就轉(zhuǎn)化為：（2.23）

（2.25）

（2.24）

在求解之前，先設(shè)計與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo)用目標(biāo)達到法求解多目標(biāo)規(guī)劃的計算過程，可以通過調(diào)用Matlab軟件系統(tǒng)優(yōu)化工具箱中的fgoalattain函數(shù)實現(xiàn)。該函數(shù)的使用方法，詳見教材的配套光盤。用目標(biāo)達到法求解多目標(biāo)規(guī)劃的計算過程，可以通過調(diào)用Matl3目標(biāo)規(guī)劃方法通過上節(jié)的介紹和討論，我們知道，目標(biāo)規(guī)劃方法是解決多目標(biāo)規(guī)劃問題的重要技術(shù)之一。這一方法是美國學(xué)者查恩斯（A.Charnes）和庫伯（W.W.Cooper）于1961年在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上提出來的。后來，查斯基萊恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，進一步給出了求解目標(biāo)規(guī)劃問題的一般性方法——單純形方法。3目標(biāo)規(guī)劃方法本節(jié)主要內(nèi)容：目標(biāo)規(guī)劃模型求解目標(biāo)規(guī)劃的單純形方法本節(jié)主要內(nèi)容：一、目標(biāo)規(guī)劃模型（一）基本思想：給定若干目標(biāo)以及實現(xiàn)這些目標(biāo)的優(yōu)先順序，在有限的資源條件下，使總的偏離目標(biāo)值的偏差最小。一、目標(biāo)規(guī)劃模型（二）目標(biāo)規(guī)劃的有關(guān)概念例1：某一個企業(yè)利用某種原材料和現(xiàn)有設(shè)備可生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其中，甲、乙兩種產(chǎn)品的單價分別為8元和10元；生產(chǎn)單位甲、乙兩種產(chǎn)品需要消耗的原材料分別為2個單位和1個單位，需要占用的設(shè)備分別為1臺時和2臺時；原材料擁有量為11個單位；可利用的設(shè)備總臺時為10臺時。試問：如何確定其生產(chǎn)方案？（二）目標(biāo)規(guī)劃的有關(guān)概念如果決策者所追求的唯一目標(biāo)是使總產(chǎn)值達到最大，則這個企業(yè)的生產(chǎn)方案可以由如下線性規(guī)劃模型給出：求，，使而且滿足：式中：和為決策變量，為目標(biāo)函數(shù)值。將上述問題化為標(biāo)準(zhǔn)后，用單純形方法求解可得最佳決策方案為（萬元）（3.1）（3.2）（3.3）（3.4）如果決策者所追求的唯一目標(biāo)是使總產(chǎn)值達到最大，則這個企業(yè)的但是，在實際決策時，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者必須考慮市場等一系列其它條件，如：①根據(jù)市場信息，甲種產(chǎn)品的需求量有下降的趨勢，因此甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不應(yīng)大于乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量。②超過計劃供應(yīng)的原材料，需用高價采購，這就會使生產(chǎn)成本增加。③應(yīng)盡可能地充分利用設(shè)備的有效臺時，但不希望加班。④應(yīng)盡可能達到并超過計劃產(chǎn)值指標(biāo)56元。這樣，該企業(yè)生產(chǎn)方案的確定，便成為一個多目標(biāo)決策問題，這一問題可以運用目標(biāo)規(guī)劃方法進行求解。但是，在實際決策時，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者必須考慮市場等一系列其它條件為了建立目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，下面引入有關(guān)概念。1.偏差變量在目標(biāo)規(guī)劃模型中，除了決策變量外，還需要引入正、負偏差變量、。其中，正偏差變量表示決策值超過目標(biāo)值的部分，負偏差變量表示決策值未達到目標(biāo)值的部分。因為決策值不可能既超過目標(biāo)值同時又未達到目標(biāo)值，故有成立。

目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念為了建立目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，下面引入有關(guān)概念。目標(biāo)規(guī)劃模型的有2、絕對約束和目標(biāo)約束絕對約束，必須嚴格滿足的等式約束和不等式約束，譬如，線性規(guī)劃問題的所有約束條件都是絕對約束，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。目標(biāo)約束，目標(biāo)規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項看作是追求的目標(biāo)值，在達到此目標(biāo)值時允許發(fā)生正的或負的偏差，可加入正負偏差變量，是軟約束。線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)，在給定目標(biāo)值和加入正、負偏差變量后可以轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束，也可以根據(jù)問題的需要將絕對約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念2、絕對約束和目標(biāo)約束目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念3.優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與權(quán)系數(shù)一個規(guī)劃問題,常常有若干個目標(biāo)，決策者對各個目標(biāo)的考慮,往往是有主次或輕重緩急的。凡要求第一位達到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子，……，并規(guī)定表示比有更大的優(yōu)先權(quán)。這就是說，首先保證級目標(biāo)的實現(xiàn)，這時可以不考慮次級目標(biāo)；而級目標(biāo)是在實現(xiàn)級目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的目標(biāo)的差別，就可以分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù)。這些優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)都由決策者按照具體情況而定。目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念3.優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與權(quán)系數(shù)目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念4.目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)（準(zhǔn)則函數(shù)）是按照各目標(biāo)約束的正、負偏差變量和賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子而構(gòu)造的。當(dāng)每一目標(biāo)確定后，盡可能縮小與目標(biāo)值的偏離。因此，目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)只能是：基本形式有三種：a)要求恰好達到目標(biāo)值，就是正、負偏差變量都要盡可能小,即目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念（3.5）（3.6）4.目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念（3.5）（3.6）b)要求不超過目標(biāo)值，即允許達不到目標(biāo)值，就是正偏差變量要盡可能小，即

c)要求超過目標(biāo)值，也就是超過量不限，但負偏差變量要盡可能小，即在實際問題中，可以根據(jù)決策者的要求，引入正、負偏差變量和目標(biāo)約束，并給不同目標(biāo)賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，建立模型。目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念（3.7）（3.8）b)要求不超過目標(biāo)值，即允許達不到目標(biāo)值，就是正偏差變量要例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴格控制的基礎(chǔ)上考慮：首先是甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量；其次是充分利用設(shè)備的有限臺時，不加班；再次是產(chǎn)值不小于56元。并分別賦予這三個目標(biāo)優(yōu)先因子。試建立該問題的目標(biāo)規(guī)劃模型。例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴格控制的基礎(chǔ)上考慮解：根據(jù)題意，這一決策問題的目標(biāo)規(guī)劃模型是（3.9）（3.10）（3.11）（3.12）（3.13）（3.14）解：根據(jù)題意，這一決策問題的目標(biāo)規(guī)劃模型是（3.9）（3.1假定有L個目標(biāo)，K個優(yōu)先級(K≤L)，n個變量。在同一優(yōu)先級中不同目標(biāo)的正、負偏差變量的權(quán)系數(shù)分別為、，則多目標(biāo)規(guī)劃問題可以表示為：（三）目標(biāo)規(guī)劃模型的一般形式

（3.15）（3.16）（3.17）（3.18）（3.19）假定有L個目標(biāo)，K個優(yōu)先級(K≤L)，n個變量。在同一優(yōu)先級在以上各式中，、分別為賦予優(yōu)先因子的第個目標(biāo)的正、負偏差變量的權(quán)系數(shù)，為第個目標(biāo)的預(yù)期值，為決策變量，、分別為第個目標(biāo)的正、負偏差變量，（3.15）式為目標(biāo)函數(shù)，（3.16）式為目標(biāo)約束，（3.17）式為絕對約束，（3.18）式和（3.19）式為非負約束，、、分別為目標(biāo)約束和絕對約束中決策變量的系數(shù)及約束值。其中，；；。

在以上各式中，二、求解目標(biāo)規(guī)則的單純形方法

目標(biāo)規(guī)劃模型仍可以用單純形方法求解，在求解時作以下規(guī)定：①因為目標(biāo)函數(shù)都是求最小值，所以，最優(yōu)判別檢驗數(shù)為：②因為非基變量的檢驗數(shù)中含有不同等級的優(yōu)先因子，

二、求解目標(biāo)規(guī)則的單純形方法目標(biāo)規(guī)劃模型仍可以用單純形方法所以檢驗數(shù)的正、負首先決定于的系數(shù)的正、負，若，則檢驗數(shù)的正、負就決定于的系數(shù)的正、負，下面可依此類推。

據(jù)此，我們可以總結(jié)出求解目標(biāo)規(guī)劃問題的單純形方法的計算步驟如下：①建立初始單純形表，在表中將檢驗數(shù)行按優(yōu)先因子個數(shù)分別排成L行，置。所以檢驗數(shù)的正、負首先決定于的系數(shù)的正、負，若②檢查該行中是否存在負數(shù)，且對應(yīng)的前L-1行的系數(shù)是零。若有，取其中最小者對應(yīng)的變量為換入變量，轉(zhuǎn)③。若無負數(shù)，則轉(zhuǎn)⑤。③按最小比值規(guī)則（規(guī)則）確定換出變量，當(dāng)存在兩個和兩個以上相同的最小比值時，選取具有較高優(yōu)先級別的變量為換出變量。④按單純形法進行基變換運算，建立新的計算表，返回②。⑤當(dāng)l=L時，計算結(jié)束，表中的解即為滿意解。否則置l=l+1，返回②。②檢查該行中是否存在負數(shù)，且對應(yīng)的前L-1行的系數(shù)是零。若有例3：試用單純形法求解例2所描述的目標(biāo)規(guī)劃問題解：首先將這一問題化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：

例3：試用單純形法求解例2所描述的目標(biāo)規(guī)劃問題①取為初始基變量，列出初始單純形表。表3.1①取為初始基變量，列出初始單純形表。②取，檢查檢驗數(shù)的行，因該行無負檢驗數(shù)，故轉(zhuǎn)⑤。⑤因為，置，返回②。②檢查發(fā)現(xiàn)檢驗數(shù)行中有，，因為有，所以為換入變量，轉(zhuǎn)入③。

③按規(guī)則計算：，所以為換出變量，轉(zhuǎn)入④。④進行換基運算，得到表3.2。以此類推，直至得到最終單純形表為止，如表3.3所示。

②取，檢查檢驗數(shù)的行，因該行無負檢驗數(shù)，故轉(zhuǎn)⑤表3.2表3.2表3.3由表6.2.3可知，，，為滿意解。檢查檢驗數(shù)行，發(fā)現(xiàn)非基變量的檢驗數(shù)為0，這表明該問題存在多重解。表3.3由表6.2.3可知，，，為滿意解表2.4

在表3.3中，以非基變量為換入變量，為換出變量，經(jīng)迭代得到表6.3.4。

從表3.4可以看出，，也是該問題的滿意解。

表2.4在表3.3中，以非基變量為換入變量，一、土地利用問題

二、生產(chǎn)計劃問題三、投資問題4多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實例

一、土地利用問題4多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實例我們運用線性規(guī)劃方法討論了表1.4所描述的農(nóng)場作物種植計劃的問題。但是，由于線性規(guī)劃只有單一的目標(biāo)函數(shù)，所以當(dāng)時我們建立的作物種植計劃模型屬于單目標(biāo)規(guī)劃模型，給出的種植計劃方案，要么使總產(chǎn)量最大，要么使總產(chǎn)值最大；兩個目標(biāo)無法兼得。那么，究竟怎樣制定作物種植計劃，才能兼顧總產(chǎn)量和總產(chǎn)值雙重目標(biāo)呢？下面我們用多目標(biāo)規(guī)劃的思想方法解決這個問題。

一、土地利用問題我們運用線性規(guī)劃方法討論了表1.4所描述的農(nóng)場作物種植計劃的

取決策變量，它表示在第j等級的耕地上種植第i種作物的面積。如果追求總產(chǎn)量最大和總產(chǎn)值最大雙重目標(biāo)，那么，目標(biāo)函數(shù)包括：①追求總產(chǎn)量最大②追求總產(chǎn)值最大

（4.1）

（4.2）

取決策變量，它表示在第j等級的耕地上種植第根據(jù)題意，約束方程包括：耕地面積約束最低收獲量約束（4.3）

（4.4）

非負約束（4.5）

對上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，我們可以采用如下方法，求其非劣解。根據(jù)題意，約束方程包括：（4.3）（4.4）非負約束（4

1.用線性加權(quán)方法

取，重新構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

這樣，就將多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)線性規(guī)劃。

1.用線性加權(quán)方法取，

用單純形方法對該問題求解，可以得到一個滿意解（非劣解）方案，結(jié)果見表6.4.1。此方案是：III等耕地全部種植水稻，I等耕地全部種植玉米，II等耕地種植大豆19.1176公頃、種植玉米280.8824公頃。在此方案下，線性加權(quán)目標(biāo)函數(shù)的最大取值為6445600。

用單純形方法對該問題求解，可以得到一個滿意解（非劣解表4.1線性加權(quán)目標(biāo)下的非劣解方案（單位：hm2）

表4.1線性加權(quán)目標(biāo)下的非劣解方案（單位：hm2）2.目標(biāo)規(guī)劃方法

實際上，除了線性加權(quán)求和法以外，我們還可以用目標(biāo)規(guī)劃方法求解上述多目標(biāo)規(guī)劃問題。如果我們對總產(chǎn)量和總產(chǎn)值，分別提出一個期望目標(biāo)值（kg），（元），并將兩個目標(biāo)視為相同的優(yōu)先級。

如果、分別表示對應(yīng)第一個目標(biāo)期望值的正、負偏差變量，、分別表示對應(yīng)于第二個目標(biāo)期望值的正、負偏差變量，而且將每一個目標(biāo)的正、負偏差變量同等看待（即可將它們的權(quán)系數(shù)都賦為1），那么，該目標(biāo)規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)為：

2.目標(biāo)規(guī)劃方法實際上，除了線性加權(quán)求和法以外，我對應(yīng)的兩個目標(biāo)約束為：

（4.8）

（4.9）即：

對應(yīng)的兩個目標(biāo)約束為：即：

除了目標(biāo)約束以外，該模型的約束條件，還包括硬約束和非負約束的限制。其中，硬約束包括耕地面積約束（4.3）式和最低收獲量約束（4.4）式；非負約束，不但包括決策變量的非負約束（4.5）式，還包括正、負偏差變量的非負約束：

解上述目標(biāo)規(guī)劃問題，可以得到一個非劣解方案，詳見表6.4.2。

除了目標(biāo)約束以外，該模型的約束條件，還包括硬約束和非表4.2目標(biāo)規(guī)劃的非劣解方案（單位：hm2）

在此非劣解方案下，兩個目標(biāo)的正、負偏差變量分別為，，，。表4.2目標(biāo)規(guī)劃的非劣解方案（單位：hm2）在此

二、生產(chǎn)計劃問題

某企業(yè)擬生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，其生產(chǎn)投資費用分別為2100元/t和4800元/t。A、B兩種產(chǎn)品的利潤分別為3600元/t和6500元/t。A、B產(chǎn)品每月的最大生產(chǎn)能力分別為5t和8t；市場對這兩種產(chǎn)品總量的需求每月不少于9t。試問該企業(yè)應(yīng)該如何安排生產(chǎn)計劃，才能既能滿足市場需求，又節(jié)約投資，而且使生產(chǎn)利潤達到最大?

二、生產(chǎn)計劃問題某企業(yè)擬生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，其生

該問題是一個線性多目標(biāo)規(guī)劃問題。如果計劃決策變量用和表示，它們分別代表A、B產(chǎn)品每月的生產(chǎn)量（單位：t）；表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總投資費用（單位：元）；表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤（單位：元）。那么，該多目標(biāo)規(guī)劃問題就是：求和，使：該問題是一個線性多目標(biāo)規(guī)劃問題。如果計劃決策變量用而且滿足：

對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，如果決策者提出的期望目標(biāo)是：（1）每個月的總投資不超30000元；（2）每個月的總利潤達到或超過45000元；（3）兩個目標(biāo)同等重要。那么，借助Matlab軟件系統(tǒng)中的優(yōu)化計算工具進行求解，可以得到一個非劣解方案為：

而且滿足：對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，如果決策者提出的按照此方案進行生產(chǎn)，該企業(yè)每個月可以獲得利潤44000元，同時需要投資29700元。

按照此方案進行生產(chǎn)，該企業(yè)每個月可以獲得利潤44000元，同三、投資問題

某企業(yè)擬用1000萬元投資于A、B兩個項目的技術(shù)改造。設(shè)、分別表示分配給A、B項目的投資（萬元）。據(jù)估計，投資項目A、B的年收益分別為投資的60%和70%；但投資風(fēng)險損失，與總投資和單項投資均有關(guān)系：

據(jù)市場調(diào)查顯示，

A項目的投資前景好于B項目，因此希望A項目的投資額不小B項目。試問應(yīng)該如何在A、B兩個項目之間分配投資，才能既使年利潤最大，又使風(fēng)險損失為最?。?/p>

三、投資問題某企業(yè)擬用1000萬元投資于A、B兩個

該問題是一個非線性多目標(biāo)規(guī)劃問題，將它用數(shù)學(xué)語言描述出來，就是：求、，使：而且滿足：

該問題是一個非線性多目標(biāo)規(guī)劃問題，將它用數(shù)學(xué)語言描述

對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，如果決策者提出的期望目標(biāo)是：（1）每一年的總收益不小于600萬元；（2）希望投資風(fēng)險損失不超過800萬元；（3）兩個目標(biāo)同等重要。那么，借助Matlab軟件中的優(yōu)化計算工具進行求解，可以得到一個非劣解方案為：

＝646.3139萬元，＝304.1477萬元此方案的投資風(fēng)險損失為799.3082萬元，每一年的總收益為600.6918萬元。

對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，如果決策者提出的期望目標(biāo)是：多目標(biāo)規(guī)劃方法Multi-objectiveProgramming多目標(biāo)規(guī)劃方法68背景介紹在地理學(xué)研究中，對于許多規(guī)劃問題，常常需要考慮多個目標(biāo)，如經(jīng)濟效益目標(biāo)，生態(tài)效益目標(biāo)，社會效益目標(biāo)，等等。為了滿足這類問題研究之需要，本章擬結(jié)合有關(guān)實例，對多目標(biāo)規(guī)劃方法及其在地理學(xué)研究中的應(yīng)用問題作一些簡單地介紹。2背景介紹在地理學(xué)研究中，對于許多規(guī)劃問題，常常需要考慮多個多目標(biāo)規(guī)劃及其求解技術(shù)簡介目標(biāo)規(guī)劃方法多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實例大綱多目標(biāo)規(guī)劃及其求解技術(shù)簡介大綱1多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡介1多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解71（一）任何多目標(biāo)規(guī)劃問題，都由兩個基本部分組成：（1）兩個以上的目標(biāo)函數(shù)；（2）若干個約束條件。（二）對于多目標(biāo)規(guī)劃問題，可以將其數(shù)學(xué)模型一般地描寫為如下形式：一、多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解5（一）任何多目標(biāo)規(guī)劃問題，都由兩個基本部分組成：一、多目標(biāo)72一、多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解（1.2）（1.1）式中：為決策變量向量。6一、多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解（1.2）（1.1）式中：73一、多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解如果將（1.1）和（1.2）式進一步縮寫，即：（1.3）

（1.4）式中：是k維函數(shù)向量，k是目標(biāo)函數(shù)的個數(shù)；是m維函數(shù)向量；是m維常數(shù)向量；m是約束方程的個數(shù)。7一、多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解如果將（1.1）和（1.2）式進74一、多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解對于線性多目標(biāo)規(guī)劃問題，（1.3）和（1.4）式可以進一步用矩陣表示：（1.5）（1.6）式中：為n維決策變量向量；為k×n矩陣，即目標(biāo)函數(shù)系數(shù)矩陣；為m×n矩陣，即約束方程系數(shù)矩陣；為m維的向量，約束向量。8一、多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解對于線性多目標(biāo)規(guī)75對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇：▲每一個目標(biāo)函數(shù)取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？▲每一個決策變量取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標(biāo)的最優(yōu)化（最大或最?。?，而不顧其它目標(biāo)。二、多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解9對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇76非劣解：可以用圖1.1說明。二、多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解圖1.1多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解10非劣解：可以用圖1.1說明。二、多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解圖177在圖1.1中，就方案①和②來說，①的目標(biāo)值比②大，但其目標(biāo)值比②小，因此無法確定這兩個方案的優(yōu)與劣。在各個方案之間，顯然：③比②好，④比①好，⑦比③好，⑤比④好。而對于方案⑤、⑥、⑦之間則無法確定優(yōu)劣，而且又沒有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱之為多目標(biāo)規(guī)劃問題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構(gòu)成的集合稱為非劣解集。二、多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解11二、多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解78當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時達到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）。二、多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解12當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時達2多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡介為了求得多目標(biāo)規(guī)劃問題的非劣解，常常需要將多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題去處理。實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，有如下幾種建模方法。一、效用最優(yōu)化模型二、罰款模型三、約束模型四、目標(biāo)規(guī)劃模型五、目標(biāo)達到法2多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡介一、效用最優(yōu)化模型建摸依據(jù)：規(guī)劃問題的各個目標(biāo)函數(shù)可以通過一定的方式進行求和運算。這種方法將一系列的目標(biāo)函數(shù)與效用函數(shù)建立相關(guān)關(guān)系，各目標(biāo)之間通過效用函數(shù)協(xié)調(diào)，使多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單目標(biāo)規(guī)劃問題：是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。（2.1）

（2.2）

一、效用最優(yōu)化模型是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時，需要確定一組權(quán)值來反映原問題中各目標(biāo)函數(shù)在總體目標(biāo)中的權(quán)重，即：式中，諸應(yīng)滿足：若采用向量與矩陣（2.3）

（2.5）

（2.6）（2.7）

（2.4）

在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時，需要確定一組權(quán)值來反映原問題二、罰款模型規(guī)劃決策者對每一個目標(biāo)函數(shù)都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過比較實際值與期望值之間的偏差來選擇問題的解，其數(shù)學(xué)表達式如下：（2.8）

（2.9）

二、罰款模型（2.8）（2.9）或?qū)懗删仃囆问剑菏街?，是與第i個目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的權(quán)重；

A是由組成的m×m對角矩陣。（2.10）

（2.11）

或?qū)懗删仃囆问剑海?.10）（2.11）三、約束模型理論依據(jù)：若規(guī)劃問題的某一目標(biāo)可以給出一個可供選擇的范圍，則該目標(biāo)就可以作為約束條件而被排除出目標(biāo)組，進入約束條件組中。假如，除第一個目標(biāo)外，其余目標(biāo)都可以提出一個可供選擇的范圍，則該多目標(biāo)規(guī)劃問題就可以轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題：三、約束模型采用矩陣可記為：

（2.17）

（2.16）

（2.15）

（2.14）

（2.13）

（2.12）

（2.17）（2.16）（2.15）（2.14）（四、目標(biāo)規(guī)劃模型也需要預(yù)先確定各個目標(biāo)的期望值，同時給每一個目標(biāo)賦予一個優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)，假定有K個目標(biāo)，L個優(yōu)先級，目標(biāo)規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)形式為：四、目標(biāo)規(guī)劃模型式中：和分別表示與相應(yīng)的、與相比的目標(biāo)超過值和不足值，即正、負偏差變量；表示第l個優(yōu)先級；、表示在同一優(yōu)先級中，不同目標(biāo)的正、負偏差變量的權(quán)系數(shù)。（2.18）

（2.19）

（2.20）

（2.18）（2.19）（2.20）五、目標(biāo)達到法首先將多目標(biāo)規(guī)劃模型化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：（2.21）

（2.22）

五、目標(biāo)達到法（2.21）（2.22）在求解之前，先設(shè)計與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo),每一個目標(biāo)對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)為，再設(shè)為一松弛因子。那么，多目標(biāo)規(guī)劃問題（2.21）～（2.22）就轉(zhuǎn)化為：（2.23）

（2.25）

（2.24）

在求解之前，先設(shè)計與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo)用目標(biāo)達到法求解多目標(biāo)規(guī)劃的計算過程，可以通過調(diào)用Matlab軟件系統(tǒng)優(yōu)化工具箱中的fgoalattain函數(shù)實現(xiàn)。該函數(shù)的使用方法，詳見教材的配套光盤。用目標(biāo)達到法求解多目標(biāo)規(guī)劃的計算過程，可以通過調(diào)用Matl3目標(biāo)規(guī)劃方法通過上節(jié)的介紹和討論，我們知道，目標(biāo)規(guī)劃方法是解決多目標(biāo)規(guī)劃問題的重要技術(shù)之一。這一方法是美國學(xué)者查恩斯（A.Charnes）和庫伯（W.W.Cooper）于1961年在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上提出來的。后來，查斯基萊恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，進一步給出了求解目標(biāo)規(guī)劃問題的一般性方法——單純形方法。3目標(biāo)規(guī)劃方法本節(jié)主要內(nèi)容：目標(biāo)規(guī)劃模型求解目標(biāo)規(guī)劃的單純形方法本節(jié)主要內(nèi)容：一、目標(biāo)規(guī)劃模型（一）基本思想：給定若干目標(biāo)以及實現(xiàn)這些目標(biāo)的優(yōu)先順序，在有限的資源條件下，使總的偏離目標(biāo)值的偏差最小。一、目標(biāo)規(guī)劃模型（二）目標(biāo)規(guī)劃的有關(guān)概念例1：某一個企業(yè)利用某種原材料和現(xiàn)有設(shè)備可生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其中，甲、乙兩種產(chǎn)品的單價分別為8元和10元；生產(chǎn)單位甲、乙兩種產(chǎn)品需要消耗的原材料分別為2個單位和1個單位，需要占用的設(shè)備分別為1臺時和2臺時；原材料擁有量為11個單位；可利用的設(shè)備總臺時為10臺時。試問：如何確定其生產(chǎn)方案？（二）目標(biāo)規(guī)劃的有關(guān)概念如果決策者所追求的唯一目標(biāo)是使總產(chǎn)值達到最大，則這個企業(yè)的生產(chǎn)方案可以由如下線性規(guī)劃模型給出：求，，使而且滿足：式中：和為決策變量，為目標(biāo)函數(shù)值。將上述問題化為標(biāo)準(zhǔn)后，用單純形方法求解可得最佳決策方案為（萬元）（3.1）（3.2）（3.3）（3.4）如果決策者所追求的唯一目標(biāo)是使總產(chǎn)值達到最大，則這個企業(yè)的但是，在實際決策時，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者必須考慮市場等一系列其它條件，如：①根據(jù)市場信息，甲種產(chǎn)品的需求量有下降的趨勢，因此甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不應(yīng)大于乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量。②超過計劃供應(yīng)的原材料，需用高價采購，這就會使生產(chǎn)成本增加。③應(yīng)盡可能地充分利用設(shè)備的有效臺時，但不希望加班。④應(yīng)盡可能達到并超過計劃產(chǎn)值指標(biāo)56元。這樣，該企業(yè)生產(chǎn)方案的確定，便成為一個多目標(biāo)決策問題，這一問題可以運用目標(biāo)規(guī)劃方法進行求解。但是，在實際決策時，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者必須考慮市場等一系列其它條件為了建立目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，下面引入有關(guān)概念。1.偏差變量在目標(biāo)規(guī)劃模型中，除了決策變量外，還需要引入正、負偏差變量、。其中，正偏差變量表示決策值超過目標(biāo)值的部分，負偏差變量表示決策值未達到目標(biāo)值的部分。因為決策值不可能既超過目標(biāo)值同時又未達到目標(biāo)值，故有成立。

目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念為了建立目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，下面引入有關(guān)概念。目標(biāo)規(guī)劃模型的有2、絕對約束和目標(biāo)約束絕對約束，必須嚴格滿足的等式約束和不等式約束，譬如，線性規(guī)劃問題的所有約束條件都是絕對約束，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。目標(biāo)約束，目標(biāo)規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項看作是追求的目標(biāo)值，在達到此目標(biāo)值時允許發(fā)生正的或負的偏差，可加入正負偏差變量，是軟約束。線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)，在給定目標(biāo)值和加入正、負偏差變量后可以轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束，也可以根據(jù)問題的需要將絕對約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念2、絕對約束和目標(biāo)約束目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念3.優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與權(quán)系數(shù)一個規(guī)劃問題,常常有若干個目標(biāo)，決策者對各個目標(biāo)的考慮,往往是有主次或輕重緩急的。凡要求第一位達到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子，……，并規(guī)定表示比有更大的優(yōu)先權(quán)。這就是說，首先保證級目標(biāo)的實現(xiàn)，這時可以不考慮次級目標(biāo)；而級目標(biāo)是在實現(xiàn)級目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的目標(biāo)的差別，就可以分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù)。這些優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)都由決策者按照具體情況而定。目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念3.優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與權(quán)系數(shù)目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念4.目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)（準(zhǔn)則函數(shù)）是按照各目標(biāo)約束的正、負偏差變量和賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子而構(gòu)造的。當(dāng)每一目標(biāo)確定后，盡可能縮小與目標(biāo)值的偏離。因此，目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)只能是：基本形式有三種：a)要求恰好達到目標(biāo)值，就是正、負偏差變量都要盡可能小,即目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念（3.5）（3.6）4.目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念（3.5）（3.6）b)要求不超過目標(biāo)值，即允許達不到目標(biāo)值，就是正偏差變量要盡可能小，即

c)要求超過目標(biāo)值，也就是超過量不限，但負偏差變量要盡可能小，即在實際問題中，可以根據(jù)決策者的要求，引入正、負偏差變量和目標(biāo)約束，并給不同目標(biāo)賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，建立模型。目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念（3.7）（3.8）b)要求不超過目標(biāo)值，即允許達不到目標(biāo)值，就是正偏差變量要例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴格控制的基礎(chǔ)上考慮：首先是甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量；其次是充分利用設(shè)備的有限臺時，不加班；再次是產(chǎn)值不小于56元。并分別賦予這三個目標(biāo)優(yōu)先因子。試建立該問題的目標(biāo)規(guī)劃模型。例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴格控制的基礎(chǔ)上考慮解：根據(jù)題意，這一決策問題的目標(biāo)規(guī)劃模型是（3.9）（3.10）（3.11）（3.12）（3.13）（3.14）解：根據(jù)題意，這一決策問題的目標(biāo)規(guī)劃模型是（3.9）（3.1假定有L個目標(biāo)，K個優(yōu)先級(K≤L)，n個變量。在同一優(yōu)先級中不同目標(biāo)的正、負偏差變量的權(quán)系數(shù)分別為、，則多目標(biāo)規(guī)劃問題可以表示為：（三）目標(biāo)規(guī)劃模型的一般形式

（3.15）（3.16）（3.17）（3.18）（3.19）假定有L個目標(biāo)，K個優(yōu)先級(K≤L)，n個變量。在同一優(yōu)先級在以上各式中，、分別為賦予優(yōu)先因子的第個目標(biāo)的正、負偏差變量的權(quán)系數(shù)，為第個目標(biāo)的預(yù)期值，為決策變量，、分別為第個目標(biāo)的正、負偏差變量，（3.15）式為目標(biāo)函數(shù)，（3.16）式為目標(biāo)約束，（3.17）式為絕對約束，（3.18）式和（3.19）式為非負約束，、、分別為目標(biāo)約束和絕對約束中決策變量的系數(shù)及約束值。其中，；；。

在以上各式中，二、求解目標(biāo)規(guī)則的單純形方法

目標(biāo)規(guī)劃模型仍可以用單純形方法求解，在求解時作以下規(guī)定：①因為目標(biāo)函數(shù)都是求最小值，所以，最優(yōu)判別檢驗數(shù)為：②因為非基變量的檢驗數(shù)中含有不同等級的優(yōu)先因子，

二、求解目標(biāo)規(guī)則的單純形方法目標(biāo)規(guī)劃模型仍可以用單純形方法所以檢驗數(shù)的正、負首先決定于的系數(shù)的正、負，若，則檢驗數(shù)的正、負就決定于的系數(shù)的正、負，下面可依此類推。

據(jù)此，我們可以總結(jié)出求解目標(biāo)規(guī)劃問題的單純形方法的計算步驟如下：①建立初始單純形表，在表中將檢驗數(shù)行按優(yōu)先因子個數(shù)分別排成L行，置。所以檢驗數(shù)的正、負首先決定于的系數(shù)的正、負，若②檢查該行中是否存在負數(shù)，且對應(yīng)的前L-1行的系數(shù)是零。若有，取其中最小者對應(yīng)的變量為換入變量，轉(zhuǎn)③。若無負數(shù)，則轉(zhuǎn)⑤。③按最小比值規(guī)則（規(guī)則）確定換出變量，當(dāng)存在兩個和兩個以上相同的最小比值時，選取具有較高優(yōu)先級別的變量為換出變量。④按單純形法進行基變換運算，建立新的計算表，返回②。⑤當(dāng)l=L時，計算結(jié)束，表中的解即為滿意解。否則置l=l+1，返回②。②檢查該行中是否存在負數(shù)，且對應(yīng)的前L-1行的系數(shù)是零。若有例3：試用單純形法求解例2所描述的目標(biāo)規(guī)劃問題解：首先將這一問題化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：

例3：試用單純形法求解例2所描述的目標(biāo)規(guī)劃問題①取為初始基變量，列出初始單純形表。表3.1①取為初始基變量，列出初始單純形表。②取，檢查檢驗數(shù)的行，因該行無負檢驗數(shù)，故轉(zhuǎn)⑤。⑤因為，置，返回②。②檢查發(fā)現(xiàn)檢驗數(shù)行中有，，因為有，所以為換入變量，轉(zhuǎn)入③。

③按規(guī)則計算：，所以為換出變量，轉(zhuǎn)入④。④進行換基運算，得到表3.2。以此類推，直至得到最終單純形表為止，如表3.3所示。

②取，檢查檢驗數(shù)的行，因該行無負檢驗數(shù)，故轉(zhuǎn)⑤表3.2表3.2表3.3由表6.2.3可知，，，為滿意解。檢查檢驗數(shù)行，發(fā)現(xiàn)非基變量的檢驗數(shù)為0，這表明該問題存在多重解。表3.3由表6.2.3可知，，，為滿意解表2.4

在表3.3中，以非基變量為換入變量，為換出變量，經(jīng)迭代得到表6.3.4。

從表3.4可以看出，，也是該問題的滿意解。

表2.4在表3.3中，以非基變量為換入變量，一、土地利用問題

二、生產(chǎn)計劃問題三、投資問題4多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實例

一、土地利用問題4多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實例我們運用線性規(guī)劃方法討論了表1.4所描述的農(nóng)場作物種植計劃的問題。但是，由于線性規(guī)劃只有單一的目標(biāo)函數(shù)，所以當(dāng)時我們建立的作物種植計劃模型屬于單目標(biāo)規(guī)劃模型，給出的種植計劃方案，要么使總產(chǎn)量最大，要么使總產(chǎn)值最大；兩個目標(biāo)無法兼得。那么，究竟怎樣制定作物種植計劃，才能兼顧總產(chǎn)量和總產(chǎn)值雙重目標(biāo)呢？下面我們用多目標(biāo)規(guī)劃的思想方法解決這個問題。

一、土地利用問題我們運用線性規(guī)劃方法討論了表1.4所描述的農(nóng)場作物種植計劃的

取決策變量，它表示在第j等級的耕地上種植第i種作物的面積。如果追求總產(chǎn)量最大和總產(chǎn)值最大雙重目標(biāo)，那么，目標(biāo)函數(shù)包括：①追求總產(chǎn)量最大②追求總產(chǎn)值最大

（4.1）

（4.2）

取決策變量，它表示在第j等級的耕地上種植第根據(jù)題意，約束方程包括：耕地面積約束最低收獲量約束（4.3）

（4.4）

非負約束（4.5）

對上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，我們可以采用如下方法，求其非劣解。根據(jù)題意，約束方程包括：（4.3）（4.4）非負約束（4

1.用線性加權(quán)方法

取，重新構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

這樣，就將多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)線性規(guī)劃。

1.用線性加權(quán)方法取，

用單純形方法對該問題求解，可以得到一個滿意解（非劣解）方案，結(jié)果見表6.4.1。此方案是：III等耕地全部種植水稻，I等耕地全部種植玉米，II等耕地種植大豆19.1176公頃、種植玉米280.8824公頃。在此方案下，線性加權(quán)目標(biāo)函數(shù)的最大取值為6445600。

用單純形方法對該問題求解，可以得到一個滿意解（非劣解表4.1線性加權(quán)目標(biāo)下的非劣解方案（單位：hm2）

表4