文科經(jīng)管類微積分微積分(上)總復(fù)習(xí)

一、函數(shù)、極限、連續(xù)二、導(dǎo)數(shù)與微分微積分（上）總復(fù)習(xí)三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四、不定積分一、函數(shù)、極限、連續(xù)1.函數(shù)定義:定義域值域設(shè)函數(shù)為特殊的映射:其中定義域：使表達式有意義的實數(shù)全體或由實際意義確定。函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性

復(fù)合函數(shù)(構(gòu)造新函數(shù)的重要方法)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算與有限次復(fù)合而成且能用一個式子表示的函數(shù).例如.函數(shù)基本初等函數(shù):常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義,

x1及x2為區(qū)間I上任意兩點,且x1<x2.如果恒有f(x1)<f(x2),則稱f(x)在I上是單調(diào)增加的.1.函數(shù)的單調(diào)性如果恒有f(x1)>f(x2),則稱f(x)在I上是單調(diào)減少的.單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).

下頁2極限3極限存在準則及極限運算法則4.無窮小無窮小無窮小的性質(zhì);無窮小的比較;常用等價無窮小:

兩個重要極限～～～～～～～～～等價無窮小代換5.連續(xù)與間斷函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)間斷點第一類（左右極限存在）第二類（左右極限至少有一個不存在）可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點例3.

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則

a

=

,b=

.提示:有無窮間斷點及可去間斷點解:為無窮間斷點,所以為可去間斷點,極限存在例4.設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a及b.主要內(nèi)容（一）導(dǎo)數(shù)與微分的概念（二）導(dǎo)數(shù)與微分的運算第二章導(dǎo)數(shù)與微分微積分(上)期末復(fù)習(xí)課件導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的定義幾何意義可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo).高階導(dǎo)數(shù)的定義記作二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)的運算求導(dǎo)法則和、差、積、商的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則初等函數(shù)的求導(dǎo)分段點要分別求導(dǎo)基本初等函數(shù)或分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)特殊求導(dǎo)方法隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).對數(shù)求導(dǎo)法方法:先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).微分可微的條件微分的求法求法:計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.微分形式的不變性近似計算的基本公式函數(shù)增量的近似值函數(shù)的近似值2、基本導(dǎo)數(shù)公式（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）第二章導(dǎo)數(shù)與微分3、求導(dǎo)法則(1)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則第二章導(dǎo)數(shù)與微分(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(3)對數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍:第二章導(dǎo)數(shù)與微分(4)隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).5、微分的求法求法:計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.第二章導(dǎo)數(shù)與微分基本初等函數(shù)的微分公式第二章導(dǎo)數(shù)與微分函數(shù)和、差、積、商的微分法則8、微分的基本法則微分形式的不變性第二章導(dǎo)數(shù)與微分二、典型例題例1解第二章導(dǎo)數(shù)與微分例2解第二章導(dǎo)數(shù)與微分目錄后退主頁退出本章的重點與難點本章的目的與要求本章的復(fù)習(xí)指導(dǎo)例3解兩邊取對數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分目錄后退主頁退出本章的重點與難點本章的目的與要求本章的復(fù)習(xí)指導(dǎo)第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.需求對價格的彈性定義：設(shè)某商品的市場需求量為Q，價格為P，需求函數(shù)為Q=Q(P)可導(dǎo)，則稱為該商品的需求價格彈性，簡稱為需求彈性，通常記為主要內(nèi)容重要理論---中值定理導(dǎo)數(shù)在求極限中的應(yīng)用---洛比達法則應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究討論函數(shù)性質(zhì)及作圖形第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三、中值定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)若(3)

f(a)=f(b)使在(a,b)內(nèi)至少存在一點羅爾定理拉格朗日中值公式應(yīng)用：(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明方程有解(存在ξ滿足方程)方法導(dǎo)數(shù)在求極限中的應(yīng)用---洛比達法則函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性單調(diào)性的判別法單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)極值函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法函數(shù)最值最值存在判別法函數(shù)最值的求法曲線凹凸性曲線凹凸的判定曲線的拐點及其求法上凹下凹拐點(1)極值可疑點:使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(2)第一充分條件過由正變負為極大值過由負變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值連續(xù)函數(shù)的極值可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在

I

上單調(diào)遞減最大值最小值極大值極小值拐點上凹的駐點單增單減應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究討論函數(shù)性質(zhì)及作圖形例1.設(shè)且證明至少存在一點使解:由結(jié)論可知,只需證即驗證在上滿足羅爾定理條件.設(shè)故由于證只要證從而利用拉格朗日定理可證明不等式

例8

證明多項式在上不可能有兩個零點.分析:反證法

由羅爾定理矛盾設(shè)有兩個零點例13例5證：綜上所述,當x≠0時,總有e

x>1+x令f

(x)=

e

x－(1+x)則f

(x)=e

x－1當

x>0

時,f

(x)>0,f

(x)在[0,+∞)為增函數(shù)即e

x>1+xf

(x)>f

(0)=0.當

x<0

時,f

(x)<0,f

(x)在(－∞,0]為減函數(shù)即e

x>1+xf

(x)>

f

(0)=0.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式：例4證因此,例解奇函數(shù)作圖極大值拐點極小值主要內(nèi)容第四章不定積分不定積分的概念不定積分計算方法及類型基本要求：正確進行不定積分的計算不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念原函數(shù)不定積分的定義基本積分表積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.不定積分的性質(zhì)不定積分計算方法及類型直接積分法被積函數(shù)進行恒等變形，使用基本積分表計算不定積分的方法換元積分法第一類換元法第二類換元法分部積分法分部積分公式特殊類型函數(shù)的積分法有理函數(shù)的積分拆項法.三角函數(shù)有理式的積分簡單無理函數(shù)的積分解決方法作代換去掉根號.三角代換、倒代換、根式代換（湊微分法）例7解：倒代換或解：例7例.

求下列不定積分:(分部)(根式代換)(拆項法或倒代換)(拆項法)令則(分部)(分部)(配方)(湊微分)分母可因式分解的真分式的不定積分求真分式的不