大學(xué)高數(shù)向量及其線性運(yùn)算課件

第二節(jié)向量及其線性運(yùn)算<<工科數(shù)學(xué)分析>>北京理工大學(xué)2010-2011學(xué)年第二學(xué)期第二節(jié)向量及其線性運(yùn)算<<工科數(shù)學(xué)分析>>1大學(xué)高數(shù)向量及其線性運(yùn)算課件2向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長(zhǎng)為1的向量.零向量：模長(zhǎng)為0的向量.||向量的模：向量的大小.單位向量：一、向量的概念或或與同方向的單位向量可記作或零向量沒(méi)有方向，或者說(shuō)其方向是任意的向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長(zhǎng)為1的向量.零向量3自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)

與原點(diǎn)構(gòu)成的向量，叫做點(diǎn)M的向徑.即向量可以在空間中任意地平行移動(dòng)，如此移動(dòng)后仍被看成是原來(lái)的向量。本書(shū)中考慮的都是自由向量。自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同4[1]定義加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向（平行四邊形法則有時(shí)也稱為三角形法則）二、向量的加減法[1]定義加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反5向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）[2]定義減法向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（36三、向量與數(shù)的乘法三、向量與數(shù)的乘法7數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：兩個(gè)向量的平行關(guān)系數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：8證充分性顯然；必要性‖兩式相減，得證充分性顯然；必要性‖兩式相減，得9按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的10例1化簡(jiǎn)解例1化簡(jiǎn)解11例2試用向量方法證明：對(duì)角線互相

平分的四邊形必是平行四邊形.證與平行且相等,結(jié)論得證.例2試用向量方法證明：對(duì)角線互相

平分12向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（注意與標(biāo)量的區(qū)別）（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘后的方向）四、小結(jié)向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（注意與標(biāo)量的區(qū)別）（平13大學(xué)高數(shù)向量及其線性運(yùn)算課件14一、向量在軸上的投影與投影定理一、向量在軸上的投影與投影定理15大學(xué)高數(shù)向量及其線性運(yùn)算課件16證于是證于是17空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的18空間一點(diǎn)在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影19空間一向量在軸上的投影

數(shù)空間一向量在軸上的投影數(shù)20關(guān)于向量的投影定理（1）證關(guān)于向量的投影定理（1）證21定理1的說(shuō)明：投影為正；投影為負(fù)；投影為零；(4)相等向量在同一軸上投影相等；定理1的說(shuō)明：投影為正；投影為負(fù)；投影為零；(4)相等向量22關(guān)于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個(gè)）關(guān)于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個(gè)）23特別地，如果把上述向量a在軸上

的投影換成向量a在向量b上的投影,

可得到類似的概念與性質(zhì)：特別地，如果把上述向量a在軸上

的投影換成向量a在向量b上的24二、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)二、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)25由例1知由例1知26向量在軸上的投影向量在軸上的投影向量在軸上的投影向量在軸上的投影向量在軸上的27按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)表達(dá)式：特殊地：按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐28向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式29解為直線上的點(diǎn)，解為直線上的點(diǎn)，30由題意知：#由題意知：#31非零向量的方向角：非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式非零向量的方向角：非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方32由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向.向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向.向33當(dāng)時(shí)，向量方向余弦的坐標(biāo)表示式當(dāng)34方向余弦的特征特殊地：?jiǎn)挝幌蛄繛榉较蛴嘞业奶卣魈厥獾兀簡(jiǎn)挝幌蛄繛?5解所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)反向或解所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)反向或36解例4

設(shè)有向量21PP,已知221=PP，它與x軸和y軸的夾角分別為3p和4p，如果1P的坐標(biāo)為)3,0,1(，求2P的坐標(biāo).解例4設(shè)有向量21PP,已知221=PP，它與x軸和y軸37大學(xué)高數(shù)向量及其線性運(yùn)算課件38解解39向量在軸上的投影與投影定理.向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo).向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式.四、小結(jié)（注意分向量與向量的坐標(biāo)的區(qū)別）向量在軸上的投影與投影定理.向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐40作業(yè)P3,

3,4P4,

5P10-11,

2,7,10,15,作業(yè)P3,

3,441思考題思考題42思考題解答對(duì)角線的長(zhǎng)為思考題解答對(duì)角線的長(zhǎng)為43練習(xí)題練習(xí)題44大學(xué)高數(shù)向量及其線性運(yùn)算課件45練習(xí)題答案練習(xí)題答案46思考題已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線試用表示平行四邊形四邊上對(duì)應(yīng)的向量.思考題已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線試用表示47思考題解答思考題解答48練習(xí)題練習(xí)題49大學(xué)高數(shù)向量及其線性運(yùn)算課件50練習(xí)題答案練習(xí)題答案51第二節(jié)向量及其線性運(yùn)算<<工科數(shù)學(xué)分析>>北京理工大學(xué)2010-2011學(xué)年第二學(xué)期第二節(jié)向量及其線性運(yùn)算<<工科數(shù)學(xué)分析>>52大學(xué)高數(shù)向量及其線性運(yùn)算課件53向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長(zhǎng)為1的向量.零向量：模長(zhǎng)為0的向量.||向量的模：向量的大小.單位向量：一、向量的概念或或與同方向的單位向量可記作或零向量沒(méi)有方向，或者說(shuō)其方向是任意的向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長(zhǎng)為1的向量.零向量54自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)

與原點(diǎn)構(gòu)成的向量，叫做點(diǎn)M的向徑.即向量可以在空間中任意地平行移動(dòng)，如此移動(dòng)后仍被看成是原來(lái)的向量。本書(shū)中考慮的都是自由向量。自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同55[1]定義加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向（平行四邊形法則有時(shí)也稱為三角形法則）二、向量的加減法[1]定義加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反56向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）[2]定義減法向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（357三、向量與數(shù)的乘法三、向量與數(shù)的乘法58數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：兩個(gè)向量的平行關(guān)系數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：59證充分性顯然；必要性‖兩式相減，得證充分性顯然；必要性‖兩式相減，得60按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的61例1化簡(jiǎn)解例1化簡(jiǎn)解62例2試用向量方法證明：對(duì)角線互相

平分的四邊形必是平行四邊形.證與平行且相等,結(jié)論得證.例2試用向量方法證明：對(duì)角線互相

平分63向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（注意與標(biāo)量的區(qū)別）（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘后的方向）四、小結(jié)向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（注意與標(biāo)量的區(qū)別）（平64大學(xué)高數(shù)向量及其線性運(yùn)算課件65一、向量在軸上的投影與投影定理一、向量在軸上的投影與投影定理66大學(xué)高數(shù)向量及其線性運(yùn)算課件67證于是證于是68空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的69空間一點(diǎn)在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影70空間一向量在軸上的投影

數(shù)空間一向量在軸上的投影數(shù)71關(guān)于向量的投影定理（1）證關(guān)于向量的投影定理（1）證72定理1的說(shuō)明：投影為正；投影為負(fù)；投影為零；(4)相等向量在同一軸上投影相等；定理1的說(shuō)明：投影為正；投影為負(fù)；投影為零；(4)相等向量73關(guān)于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個(gè)）關(guān)于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個(gè)）74特別地，如果把上述向量a在軸上

的投影換成向量a在向量b上的投影,

可得到類似的概念與性質(zhì)：特別地，如果把上述向量a在軸上

的投影換成向量a在向量b上的75二、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)二、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)76由例1知由例1知77向量在軸上的投影向量在軸上的投影向量在軸上的投影向量在軸上的投影向量在軸上的78按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)表達(dá)式：特殊地：按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐79向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式80解為直線上的點(diǎn)，解為直線上的點(diǎn)，81由題意知：#由題意知：#82非零向量的方向角：非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式非零向量的方向角：非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方83由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向.向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向.向84當(dāng)時(shí)，向量方向余弦的坐標(biāo)表示式當(dāng)85方向余弦的特征特殊地：?jiǎn)挝幌蛄繛榉较蛴嘞业奶卣魈厥獾兀簡(jiǎn)挝幌蛄繛?6解所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)反向或解所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)反向或87解例4

設(shè)有向量21PP,已知221=PP，它與x軸和y軸的夾角分別為3p和4p，如果1P的坐標(biāo)為)3,0,1(，求2P的坐標(biāo).解例4設(shè)有向量21PP,已知221=PP，它與x軸和y軸88大學(xué)高數(shù)向量及其線性運(yùn)算課件89解解90向量在軸上的投影與投影定理.向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo).向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式.四、小結(jié)（注意分向量與向量的坐標(biāo)的區(qū)別）向量在軸上的投影與投影定理.向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐91作業(yè)P3,

3,4P4,