古希臘的三角學(xué)史

5/5古希臘的三角學(xué)史學(xué)夫子三角學(xué)像其他數(shù)學(xué)分支一樣,也不是任何一個(gè)人或一個(gè)民族的工作。關(guān)于相似三角形的邊之比的那些定理,古埃及人和巴比倫人早就知道并加以利用了。考慮到前希臘時(shí)代缺乏角的度量的概念,這樣的研究最好是稱作“三邊學(xué)〞,或三邊形的度量,而不是“三角學(xué)〞——?數(shù)學(xué)史?要說(shuō)起幾何研究,從古埃及、巴比倫那里就已經(jīng)開(kāi)始,不管是研究圓,還是研究其他幾何圖形,三角形的影子絕對(duì)是隨處可見(jiàn)。對(duì)三角形的研究應(yīng)該是最為系統(tǒng)才對(duì),不過(guò)一開(kāi)始,對(duì)“邊〞的概念要比“角〞的概念要深刻得多,所以早起的三角學(xué)嚴(yán)格來(lái)說(shuō)更應(yīng)該稱之為“三邊學(xué)〞,關(guān)于三角形的邊的很多定理早就被希臘人所熟悉,在研究圓的性質(zhì)時(shí),涉及到圓心角的定理,都是以弦與弧的關(guān)系來(lái)建立的,這些結(jié)論假設(shè)翻譯成現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言,那么你會(huì)發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)上就是如今的三角公式,比方歐幾里得在?幾何原本?就用幾何語(yǔ)言描述了鈍角和銳角的余弦法那么；在阿基米德的著作中,也用幾何方法描述了等同于“兩角和與差的正弦公式〞的定理——折弦定理。然而在亞歷山大時(shí)代,這種純粹的幾何語(yǔ)言描述的局限性逐漸開(kāi)始顯現(xiàn),特別是在埃拉托斯特尼與阿里斯塔克斯對(duì)天文學(xué)的研究中,對(duì)“角度與弦長(zhǎng)的系統(tǒng)知識(shí)〞的需求變得越加迫切。一：三角學(xué)的孕育阿里斯塔克斯一個(gè)最有名的論斷,就是提出日心說(shuō),這比哥白尼的學(xué)說(shuō)早1500多年,不過(guò)這一學(xué)說(shuō)的著作全部都失傳,我們倒是有一篇名為?論太陽(yáng)和月亮的大小和距離?的文章,這篇文章比提出日心說(shuō)的時(shí)間要早,因?yàn)槠鋬?nèi)容還是假定地球?yàn)橹行?。在這篇文章里,他觀察到：當(dāng)月亮剛好半滿的時(shí)候,太陽(yáng)和月亮的視線之間的夾角小于四分之一圓的三十分之一。用現(xiàn)代語(yǔ)言來(lái)說(shuō),這意味著月亮與太陽(yáng)的距離之比是sin3°,阿里斯塔克斯利用他那個(gè)時(shí)代的定理,得出這個(gè)值的范圍在1/20到1/18之間,于是他斷言：地球與太陽(yáng)的距離之比大于它與月亮的距離18倍,但小于20倍。這個(gè)結(jié)果跟現(xiàn)代的“約400倍〞相差甚遠(yuǎn),但是阿里斯塔克斯的計(jì)算方法是無(wú)懈可擊的,錯(cuò)就錯(cuò)在觀察結(jié)果上：視線的夾角應(yīng)該是1/6°而不是3°。不過(guò)總比歐多克索斯的9倍和菲迪亞斯〔阿基米德的老爸〕的12倍要好些。不僅如此,阿里斯塔克斯還利用他的觀察計(jì)算出了太陽(yáng)、月亮、地球的直徑之比,雖然結(jié)果與真實(shí)相差甚遠(yuǎn),但其中涉及到的數(shù)學(xué)特別是三角知識(shí),絕對(duì)具有標(biāo)志性。僅僅得到大小的比值當(dāng)然不夠,人類還想得到太陽(yáng)月亮確實(shí)切大小,所需要的自然是地球的大小數(shù)據(jù),于是,對(duì)地球半徑的測(cè)量就變得必要起來(lái)。亞里士多德曾經(jīng)得到的半徑為40000英里,還有一些人的結(jié)果是30000英里。一個(gè)更為準(zhǔn)確、也更為著名的計(jì)算,要?dú)w功于埃拉托斯特尼。埃拉托斯特尼注意到,夏至那天的正午,太陽(yáng)的光線直射進(jìn)塞尼城的一口深井里,而在同一時(shí)間、同一經(jīng)線上的亞歷山大城,太陽(yáng)光的投影外表：太陽(yáng)距離定點(diǎn)之間的角度是圓的五十分之一,如下列圖所示：這意味著∠S'AZ是圓的五十分之一,自然弧長(zhǎng)AS也是地球周長(zhǎng)的五十分之一,測(cè)出塞尼城與亞歷山大城之間的距離,就能得到地球的周長(zhǎng),大約為25000英里。阿里斯塔克斯和埃拉托斯特尼的工作已經(jīng)讓大家感覺(jué)到,是有必要建立起專門的“角度〞的學(xué)科了,而到這里,甚至于關(guān)于角度的測(cè)量都還沒(méi)建立起來(lái),有兩個(gè)人的工作,把三角學(xué)向前推進(jìn)了一步,值得我們提起——希帕克斯和梅涅勞斯。二：三角學(xué)的過(guò)渡從希波克拉底到埃拉托斯特尼,希臘的數(shù)學(xué)家一直在研究直線與圓之間的關(guān)系,并且把這些關(guān)系應(yīng)用于天文學(xué),但是都沒(méi)有產(chǎn)生系統(tǒng)的三角學(xué),雖然人們已經(jīng)注意到圓里面弧與弦的關(guān)系。一直到公元前2世紀(jì)的下半葉,才由天文學(xué)家希帕克斯編制出了第一章三角函數(shù)表,他因此獲得了“三角學(xué)之父〞的資格。其實(shí)阿里斯塔克斯就已經(jīng)注意到,弧長(zhǎng)與弦長(zhǎng)之比,隨著他們所對(duì)的圓心角的遞減〔從180°到0°〕而遞減,趨近于極限值1,我估計(jì)也不止他一個(gè)人知道,但不管怎么樣,始終沒(méi)有一個(gè)人把整個(gè)一系列角度所對(duì)應(yīng)的弧弦之比列出一個(gè)表格出來(lái)。也許是因?yàn)樘煳挠^測(cè)的需要,埃拉托斯特尼完成了這一任務(wù),這就是人類數(shù)學(xué)史上的第一章三角函數(shù)表——實(shí)際上就是不同角度的弦長(zhǎng)與弧長(zhǎng)之比。而梅涅勞斯這個(gè)名字,相信大家首先想到的就是那著名的“梅涅勞斯定理〞,這個(gè)定理如此美妙,如果考慮進(jìn)當(dāng)時(shí)連系統(tǒng)的角度制都還沒(méi)有建立的社會(huì)背景,我們就不得不佩服他的工作。他對(duì)球面三角和平面幾何的研究,在古代天文學(xué)中扮演著重要角色,他的著作是第一部三角學(xué)的系統(tǒng)作品,里面所涉及到的三角學(xué)結(jié)論也是開(kāi)創(chuàng)性的。在希帕克斯和梅涅勞斯的工作下,三角學(xué)的系統(tǒng)建立猶如黎明前的最后一絲黑暗,最終在托勒密的怒吼下逐漸清晰可見(jiàn)。三：托勒密和海倫的工作托勒密是一位非常了不起的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家,我們對(duì)他的生平信息的了解依然很少,就好似我們對(duì)阿基米德和歐幾里得的生平也根本上是一無(wú)所知一樣。提起這個(gè)名字,大家印象最深的恐怕要數(shù)幾何中著名的托勒密定理了。托勒密利用他所制定的法那么,成功建立起一個(gè)更為詳細(xì)的三角函數(shù)表,雖然這個(gè)表很有可能是參考了希帕克斯的成果。360度的角度制也就是從他這里開(kāi)始走向正軌,雖然這并非托勒密的創(chuàng)造。在天文學(xué)中,他設(shè)計(jì)出了“均輪〞的設(shè)想,以此來(lái)解決前輩們思想上的一些矛盾。但是這個(gè)思想太過(guò)于偏激,以致后來(lái)哥白尼看了以后也大呼受不了。他不接受埃拉托斯特尼估算的25000英里的地球周長(zhǎng),而采用波西多尼烏斯的18000英里,并且認(rèn)為的歐亞世界占據(jù)地球圓周的180度以上,而不是130度,這個(gè)巨大的錯(cuò)誤讓后來(lái)的航海家們〔包括哥倫布〕誤認(rèn)為,從歐洲向西航行到印度也許并不遠(yuǎn)。倘假設(shè)哥倫布知道托勒密對(duì)地球尺寸的低估是多么離譜的話,他可能就不起航了。托勒密不僅熱衷于天文學(xué),還對(duì)光學(xué)感興趣,在他的?光學(xué)?一書中,論述了反射幾何學(xué),以及探索早期折射定律的早期努力。海倫這個(gè)名字大概也是因那著名的三角形面積公式而知名,這說(shuō)明海倫在幾何學(xué)中應(yīng)該有頗深的造詣。我們從他的作品中得知,海倫的數(shù)學(xué)研究看來(lái)多偏向于實(shí)用性,不過(guò)正是他,將三角學(xué)玩弄得越發(fā)成熟。另外,他在科學(xué)史上被人銘記的原因,乃是因?yàn)樗麆?chuàng)造了一種原始型號(hào)的蒸汽機(jī)。但是,不管是你讀了這篇文章也罷,還是讀過(guò)托勒密和海倫的著作也罷,他們的工作實(shí)際上并沒(méi)有對(duì)三角形的系統(tǒng)開(kāi)展做出過(guò)多大奉獻(xiàn)。實(shí)際上三角學(xué)也沒(méi)有大的進(jìn)展,只不過(guò)三角學(xué)作為一門學(xué)科的界限開(kāi)始清晰起來(lái)而已。到了這里,也就是公元150年前后,希臘數(shù)學(xué)實(shí)際上已經(jīng)開(kāi)始停滯,即便三角學(xué)有了一些開(kāi)展,他的地位也僅僅是充當(dāng)天文學(xué)的測(cè)量工具而已。希臘數(shù)學(xué)從畢達(dá)哥拉斯就開(kāi)始的“純理論〞上的開(kāi)展,慢慢地向?qū)嵺`靠攏,這正是希臘數(shù)學(xué)開(kāi)始衰落的結(jié)果。有人把希臘數(shù)學(xué)的衰落歸咎于希臘幾何代數(shù)的缺乏和困難,另一些人那么