計數(shù)原理（理）課件

1．理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理．2．會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理

解決一些簡單的實際問題．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理[理][理要點]一、分類加法計數(shù)原理做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法．m1＋m2＋…＋mn二、分步乘法計數(shù)原理做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方法，……做第n個步驟有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法．m1×m2×m3×…×mn[究疑點]計數(shù)問題中如何判定是分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理？提示：如果已知的每類辦法中的每一種方法都能完成這件事，應(yīng)該用分類加法計數(shù)原理；如果每類辦法中的每一種方法只能完成事件的一部分就用分步乘法計數(shù)原理．[題組自測]1．從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持本班的某次主題班會，則不同的選法為(

)A．6種B．5種C．3種

D．2種解析：有3＋2＝5種．答案：B2．一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有 (

)A．24種

B．36種C．48種

D．72種解析：分兩類：(1)第一道工序安排甲時有1×1×4×3＝12種；(2)第一道工序不安排甲有1×2×4×3＝24種．∴共有12＋24＝36種．答案：

B3．在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有(

)A．24個

B．28個C．36個

D．48個答案：

C解析：法一：按十位數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個，由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36個．法二：按個位數(shù)字分別是2,3,4,5,6,7,8,9的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36個．在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字大于個位數(shù)字的兩位數(shù)有多少？解：十位數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8,9時，對應(yīng)的兩位數(shù)分別有1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，9個．由分類加法計數(shù)原理可知，符合題意的兩位數(shù)的個數(shù)共有：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45(個)．[歸納領(lǐng)悟]利用分類加法原理解題時要注意：1．根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)

準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏．2．分類時注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于

某一類，不能重復(fù)．[題組自測]1．用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有 (

)A．6個B．9個C．18個

D．36個解析：由題意知，1,2,3中必有某一個數(shù)字重復(fù)使用2次．第一步確定誰被使用2次，有3種方法；第二步把這2個相等的數(shù)放在四位數(shù)不相鄰的兩個位置上，也有3種方法；第三步將余下的2個數(shù)放在四位數(shù)余下的2個位置上，有2種方法．故共可組成3×3×2＝18個不同的四位數(shù)．答案：C2．從6個人中選4個人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市至少有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6個人中，甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有(

)A．300種

B．240種C．144種

D．96種解析：能去巴黎的有4個人，能去剩下三個城市的依次有5個、4個、3個人，所以不同的選擇方案有4×5×4×3＝240(種)．答案：B3．(2010·全國卷Ⅱ)將標(biāo)號為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張，其中標(biāo)號為1,2的卡片放入同一信封，則不同的放法共有(

)A．12種B．18種C．36種

D．54種答案：B本題中條件“標(biāo)號為1,2的卡片放入同一信封”若改為“標(biāo)號1,2的卡片不能放入同一信封”則不同的方法共有多少種？[歸納領(lǐng)悟]利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時應(yīng)注意：1．要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順

序的．2．各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都

完成才算完成這件事．

[題組自測]1．2010年廣州亞運會火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有____________種(用數(shù)字作答)．答案：962．(2010·天津高考)如圖，用四種不

同顏色給圖中的A，B，C，D，

E，F(xiàn)六個點涂色，要求每個點涂

一種顏色，且圖中每條線段的兩

個端點涂不同顏色．則不同的涂

色方法共有 (

)A．288種B．264種

C．240種

D．168種解析：先涂A、D、E三個點，共有4×3×2＝24種涂法，然后再按B、C、F的順序涂色，分為兩類：一類是B與E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8種涂法；另一類是B與E或D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3種涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264種．答案：B3．某電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告、兩個不同的世博會宣傳廣告、一個公益廣告，要求最后播放的不能是商業(yè)廣告，且世博會宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放，兩個世博會宣傳廣告也不能連續(xù)播放，則有多少種不同的播放方式？解：用1、2、3、4、5、6表示廣告的播放順序，則完成這件事有3類方法．第一類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是2、4、6.分6步完成這件事共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式．第二類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1、4、6，分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式．第三類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1、3、6，同樣分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式．由分類加法計數(shù)原理得：6個廣告不同的播放方式有36＋36＋36＝108種．[歸納領(lǐng)悟]1．在處理具體的應(yīng)用題時，首先必須弄清是“分類”還是“分步”，其次要搞清“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么，選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事件，可以避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏．2．對于一些比較復(fù)雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰．一、把脈考情從近兩年的高考試題來看，兩個計數(shù)原理在高考中單獨命題較少，一般與排列組合問題相結(jié)合，多為選擇、填空題．重點考查學(xué)生分析問題解決問題的能力及分類討論思想的應(yīng)用．二、考題診斷1．(2010·湖北高考)現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加上海世博會志愿者服務(wù)活動，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項工作之一，每項工作至少有一人參加．甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是 (

)A．152

B．126C．90 D．54答案：B2．(2010·山東高考)某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位．該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有 (

)A．36種

B．42種C．48種

D．54種答案：B3．(2010·上海高考)從集合U＝{a，b，c，d}的子集中選出4個不同的子集，需同時滿足以下兩個條件：(1)?，U都要選出；(2)對選出的任意兩個子集A和B，必有A?B或A?B.那么，共有________種不同的選法．解析：將選法分成兩類．第一類：其中一個是單元素集合，則另一集合為兩個或三個元素且含有單元素集合中的元素，有C×6＝24種．第二類：其中一個是兩個元素集合，則另一個是含有這兩個元素的三元素集合，有C×2＝12種．綜上共有24＋12