大學文科數(shù)學-張國楚-不定積分課件

第五章微分的逆運算問題

——不定積分引言數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù).有了變數(shù),進入了數(shù)學;有了變數(shù),辯證法進入了數(shù)學;有了變數(shù),微分和積分也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)并且是由牛頓和萊布尼茨大體上完成的,他們發(fā)明的.------恩格斯運動生,但不是由數(shù)學發(fā)展的動力主要來源于17世紀,面臨的四類核心問題中的第四類問題,的長度、量.微積分的創(chuàng)立首先是為了解決當時數(shù)學即求曲線曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、社會發(fā)展的環(huán)境力引言數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù).有了變數(shù),進入了數(shù)學;有了變數(shù),辯證法進入了數(shù)學;有了變數(shù),微分和積分也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)并且是由牛頓和萊布尼茨大體上完成的,他們發(fā)明的.------恩格斯運動生,但不是由數(shù)學發(fā)展的動力主要來源于17世紀,面臨的四類核心問題中的第四類問題,的長度、量.微積分的創(chuàng)立首先是為了解決當時數(shù)學即求曲線曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、社會發(fā)展的環(huán)境力引言由求運動速度、曲線的切線和極值等問題產(chǎn)生了導數(shù)和微分,構成了微積分學的微分學部分;時由已知速度求路程、已知切線求曲線以及上述求面積與體積等問題,產(chǎn)生了不定積分和定積分,同構成了微積分學的積分學部分.前面已經(jīng)介紹已知函數(shù)求導數(shù)的問題,們要考慮其反問題:已知導數(shù)求其函數(shù),數(shù)或微分求原來函數(shù)的逆運算稱為不定積分.現(xiàn)在我這種由導完教學目標：本章目標是介紹不定積分的概念、性質(zhì)和求不定積分的主要方法（換元積分法和分部積分法）。要求理解不定積分的概念和性質(zhì)、掌握不定積分的基本積分公式、換元積分法和分部積分法。了解萊布尼茨的生平事蹟和他對數(shù)學發(fā)展所作的貢獻。教學重點：不定積分的概念和性質(zhì)、不定積分的基本積分公式；教學時數(shù)：8學時；教學內(nèi)容

§1逆向思維又一例——原函數(shù)與不定積分

§2矛盾轉(zhuǎn)化法——換元積分和分部積分法

數(shù)學家啟示錄教學難點：不定積分的換元積分和分部積分法；1.1原函數(shù)與不定積分的概念定義1設函數(shù)與在區(qū)間I上有定義.若在I上，則稱函數(shù)為在區(qū)間I上的一個原函數(shù).研究原函數(shù)必須解決的兩個重要問題：⑴什么條件下，一個函數(shù)存在原函數(shù)？⑵如果一個函數(shù)存在原函數(shù)，那么原函數(shù)有多少？原函數(shù)的概念從上述后面兩個例子可見:唯一的.一個函數(shù)的原函數(shù)不是一個函數(shù)的任意二個原函數(shù)之間相差一個常數(shù).事實上,則事實上,即有若為在區(qū)間上的原函數(shù),(為任意常數(shù)).從而也是在區(qū)間上的原函數(shù).設和都是的原函數(shù),(為任意常數(shù)).由此知道,若為在區(qū)間上的原函數(shù),則定理1若函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，則在I上存在原函數(shù).定理2設是在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則⑴也是的一個原函數(shù)，其中C為任意常數(shù)；⑵的任意兩個原函數(shù)之間，相差一個常數(shù).以下兩個定理為我們作了回答.不定積分的概念注:由定義知,求函數(shù)的不定積分,就是求的全體原函數(shù),在中,故求不定積分的運算實質(zhì)上就是求導(或求微積分)運算的逆運算.積分號表示對函數(shù)實行求原函數(shù)的運算,完例1問與是否相等?解不相等.設則而由不定積分定義所以完例2求下列不定積分解(1)所以是的一個原函數(shù),從而(2)所以是的一個原函數(shù),從而(3)因為因為因為例2求下列不定積分解(2)因為所以是的一個原從而(3)因為函數(shù),的原函數(shù),從而完故是的不定積分的幾何意義若是的一個原函數(shù)，則稱的圖象為的一條積分曲線.于是，函數(shù)的不定積分在幾何上表示的積分曲線族，它可由的某一條積分曲線沿y軸方向上下平移而得到.顯然，曲線族中每一條積分曲線橫坐標相同點處的切線相互平行.（如圖）微分運算與積分運算的關系由不定積分的定義知,即所以原函數(shù),若為在區(qū)間上的或則在區(qū)間內(nèi)的不定積分為易見是的原函數(shù),或所以又由于是的原函數(shù),或微分運算與積分運算的關系所以又由于是的原函數(shù),或從上可見微分運算與積分運算是互逆的.兩個運算連在一起時,一常數(shù).完全抵消,抵消后差完基本積分表(7)(9)(10)(11)(12)(13)(8)完說明:完直接積分法從前面的例題知道,不定積分是非常不方便的.為解決不定積分的計算質(zhì)和積分基本公式,直接求出不定積分的方法,直接積分法.利用不定積分的定義來計算問題,這里我們先介紹一種利用不定積分的運算性即例如,計算不定積分不定積分性質(zhì)積分基本公式直接積分法不定積分性質(zhì)積分基本公式注:多個不定積分作代數(shù)和運算時,只需統(tǒng)一記一個積分常數(shù)完例4求解例3求.解例6求不定積分解完例7求不定積分解完例8求不定積分解完例9求不定積分解完例10求下列不定積分:解完例11求不定積分解完第一類換元法(湊微分法)問題?觀察從公式令則有解法可將微分湊成的形式,即第一類換元法(湊微分法)一般地,設具有原函數(shù)即則換元回代第一類換元法(湊微分法)回代部分常用的湊微分公式:(1)(2)應用湊微分法求的關鍵是將它化為上述方法稱為第一類換元法或湊微分法.第一類換元法(湊微分法)部分常用的湊微分公式:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)完2.1換元積分法換元積分法的實質(zhì)是一種矛盾轉(zhuǎn)化法，分為第一換元積分法和第二換元積分法.1.第一換元積分法定理1（第一換元積分法）設及連續(xù)，且則作變量代換后，有例1解求不定積分利用湊微分公式所以完換元回代例2求解令，則.由公式有例3求解例4解求不定積分換元回代注:一般情形:完例5解計算不定積分換元回代注:一般情形:完例5解計算不定積分注:對變量代換比較熟練后,可省去書寫中間變量的換元和回代過程.例6求.解例7求⑴⑵解⑴⑵例8解求不定積分換元回代注:一般情形:完例9求下列不定積分解例9求下列不定積分解注:一般情形:完例10求下列不定積分.解(1)(2)原式原式完例11求下列不定積分(1)解原式例11求下列不定積分解注:一般情形:完例12解法一求不定積分原式解法二原式解法三原式注:一般情形:完例13求不定積分解完例14解求不定積分原式注:利用平方差公式進行根式有理化是化簡積分計算的常用手段之一.完例15求解由于所以例16求解（利用例15的結(jié)果）從以上幾例可以看到，使用第一換元積分法的關鍵是設法把被積表達式湊成

的形式，因此，第一還原積分法又稱為“湊微分法”.第二類換元法問題方法通過變量替換引入新的積分變量.例如,令則用”湊微分”即可求出結(jié)果2

第二換元積分法定理2（第二換元積分法）設及均連續(xù)，且又存在原函數(shù)F(t),則運用第二換元積分法的關鍵是變量代換存在反函數(shù)注：從定理2可知，第二類換元積分法與第一類換元積分法的換元與回代過程正好相反.例1求解為取掉被積函數(shù)中的根式，令則有，于是例2求不定積分解令變量即作變量代換從而微分所以不定積分完例3求不定積分方法當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時,可令(為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)).解令完例4求解為去掉被積函數(shù)中的根號，令（在的其它單調(diào)區(qū)間上也同樣討論），則于是我們用如下的方法還原變量x.因，有.作如圖所示的直角三角形.從而有且在內(nèi)存在反函數(shù)于是例5求解令（在的其它單調(diào)區(qū)間上也可同樣討論）.于是借助右圖，求得故有例6解求不定積分令完分部積分公式問題思路利用兩個函數(shù)乘積的求導公式,設函數(shù)和具有連續(xù)導數(shù),則移項得兩邊積分得或分部積分公式求解關鍵如何將所給積分化為分部積分公式求解關鍵如何將所給積分化為形式,并使它更容易計算,主要采用湊微分法,例如,利用分部積分法計算不定積分,選擇好非常、關鍵,選擇不當將使積分的計算變得更加復雜,例如,分部積分公式例如,更復雜下面將通過例題介紹分部積分法的應用.完2.2分部積分法定理（分部積分法）若與可導且不定積分存在，則也存在，且有(5.9)公式(5.9)可將積分轉(zhuǎn)化為積分，稱為分部積分公式，常簡寫為(5.10)有關分部積分公式的幾點說明1.有些函數(shù)的積分需要連續(xù)多次應用分部積分法;2.有些函數(shù)的積分在連續(xù)兩次應用分部積分法后出現(xiàn)了原來的積分式,這時通過解方程可得到所求不定積分;3.一般來說,下列類型的被積函數(shù)常考慮應用分部積分法,其中都是正整數(shù).等.完例1求解令則有由(5.10)有例2求解把看作u，dx看作dv，則例3求解通過以上各例可知，使用分部積分法的關鍵在于選定被積表達式中的u和dv，使等式(5.10)右邊的不定積分容易求出.例4求不定積分解令完例4求不定積分解令例5求不定積分解令小結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積,可設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為而將冪函數(shù)湊微分進入微分號,使得應用分部積分公式后,對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)消失.例6求不定積分解完例7求不定積分解令則于是完數(shù)學家啟示錄（5）符號大師——萊布尼茨

萊布尼茨是德國著名數(shù)學家、物理學家和哲學家。他的研究興趣極為廣泛，涉及數(shù)學、力學、光學、機械學等40多個領域，且在每一領域都有杰出成就。主要表現(xiàn)如下：⑴創(chuàng)始微積分他與同時代的牛頓在不同國家，各自獨立地創(chuàng)建了微積分學，闡明了求導數(shù)和積分是互逆的運算，發(fā)明了比牛頓的符號優(yōu)越的微積分符號，奠定了微積分學基礎，為變量數(shù)學的興起和發(fā)展作出了奠基性、開創(chuàng)性貢獻。⑵高等數(shù)學上的眾多成就

他的研究及成果滲透到高