全國自考線性代數(shù)往年試題復(fù)習(xí)資料

----------------------------欠缺的答案欠缺的答案--------------------全國２全國２0121月自考《線性代數(shù)經(jīng)管類》答案課程代碼：04184----------------------------------------20１11月自考線性代數(shù)(經(jīng)管類)參考答案三、計算題--------------２01０年10月全國自考線性代數(shù)(經(jīng)管類)參考答案全國2010年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案3i一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分,共２0分)3i13１．設(shè)3階方陣A,131 2

,,其中

（i）為的列向量,若|B|

,．2 ．

,)|6,則|A（ C )|A,Ａ．11

,)3030202105000202323

,62

,)|632.計算行列式

B.??Ｃ．6????Ｄ．12（ Ａ ）30202105000202323A．180 ?302021050002023233 0 232 10 5 3(2)0 0 23.若A為3階方陣且|A1|2,則|2A|（ C )1

3 02 10

3(2)30180.A．2 ?? B.2?? ?Ｃ.4 ? Ｄ．8|A1,|2A23|A812 2

4．4.設(shè),1 2

,,123 12

都是３維向量，則必有( Ｂ ）A.,21 22

,,3

線性無?? B．,

,,23 2

線性相關(guān)1C.11

可由

,,3

線性表示 ? D.

不可由

,,3

線性表示r(若A為６階方陣,齊次方程組基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)為２，則Ａ．２ ? ?B．３? C．4? ??6r2r4．設(shè)、B為同階方陣,且r(r(B),則（ C ）與B相似 B．|AB| ? 與等價 ?D．A與B合注：A與B有相同的等價標(biāo)準(zhǔn)形．設(shè)為3階方陣,其特征值分別為,則|A2E|( D )A.０?? Ｂ.2?? C．3? D.24A2E,所以|A2E43224．若、B相似，則下列說法的是( B ）

( C ）A．A與

Ｂ．A與B合? C．|AB|? D．A與B有相同特征值注:只有正交相似才是合同的．９．若向量

與t)正交，則t( Ｄ ）A．2???B．０??26t0,得t

Ｃ.2? ??D．410．設(shè)３階實(shí)對稱矩陣A的特征值分別為,則（ B ）A．A正?? 半正? ?C．A負(fù)?? 半負(fù)定2z1

z2

0z3

0，是半正定的.二、填空題(本大題共1０小題,每小題２分,共20分）3 2 2 1 11１.設(shè)A0 1,B0 1 0,則AB ＿ ＿＿ ＿.2 2 3 2 6 5 3 2 1 1 AB0 10 1 00 1 0.2 4

4 2 2 12.設(shè)A為3階方陣,且|A|3， 則|3A1| ＿_(dá)＿ ＿＿＿＿_(dá)．|3A1|33|A1|33

1 33 9.1|A| 31１3．三元方程x x1 2

x 1的通解是 ＿_(dá)＿ .x 1x x1 2

1 1 13 30x

,通解是

k1k

0.2

2 0 10 21x3

x3 １４．設(shè),則與反方向的單位向量是_＿_(dá)＿_(dá)＿ ＿_(dá)＿＿． 1 1(1,2,2).|||| 3115．設(shè)A為５階方陣，且r(3,則線性空間W{x|Ax的維數(shù)是 ＿_(dá)＿＿ W{x|Ax的維數(shù)等于Ax0基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù):nr532．1１6.設(shè)為3階方陣，特征值分別為2則|5A1|＿＿ ＿＿_(dá)＿．1 53．|5A1|53．|

125A| 2(1/2)1若、B為５階方陣，且Ax0只有零解，且r(B)3,則r(AB) ＿＿ ＿＿.Ax0只有零解,所以A可逆，從而r(AB)r(B)3.2 1 0 實(shí)對稱矩陣1 0 1所對應(yīng)的二次型f(x,

,x)＿ ＿ ＿. 0 1

1 2 3f(x,x,x)2x2x

2x

2xx.1 2

1 3 1

2 31 1 3元非齊次線性方程組Axb有解1

2，3

2，且r(2，則Axb的通解是 ＿_(dá)＿ .31

1 1 1 ) 0是Ax0的基礎(chǔ)解系,Axb的通解是 2k0.2 1 21

0 3 0 3 20．設(shè)2,則A3 3

T的非零特征值是_＿ ＿ .1 由T214A23 3 則21414.

(T)

14A，設(shè)A的非零特征值是，三、計算題(本大題共６小題,每小題9分，共5４分)200010200021．計算5階行列式D 00200.0002010002解：連續(xù)3次按第2行展開，D2

2 0 12001020000201002420010200002010021 1 0 2

8324．2200100143010X001201

0 0 2 0 1 0 1 2 0

，求Ｘ． 2 0 0 1 0 0 解:記A0 1 0,B0 0 1，C2 0 1,則AXBC， 0 0 2 0 1 0 1/2 0 0 1 0 0A1

0 1 0，B0

1，0 0 1/2 0 1 0 1 0 01 4 31 0 01 XA1CB1

20 2 02 0 10 0 10 0 11 2 00 1 0 1 4 31 0 0 1 3 41 1 24 0 20 0 124 2 0．1 2 00 1 0 1 0 2 x x 3x x 11 2 3 4２３．求非齊次線性方程組3x x 3x 4x

4 的通解.x1 2 3 4b

5x 9x 8x 01113111131111331344 04671 0461598004671000

1 17 1

0 04444124440635103/23/45/404671 04671 013/27/41/

，0

0 0 0

0

0 0 0

0 0

0 0 x 5 3x 3x1 4

2 3 4 4

5/4 3/2 3/4 x 1

3x 7

，通解為1/4

3/2

7/

，k,

都是任意常數(shù)．2 4 2 3 4 4

0

1 1

2 0 1 2x x3 3

001 001x x，4 4，求向量組1

19219219210041502041

，3，

(2,4,2,8)的秩和一個極大無關(guān)組．2T,T,T

0 1 2 3 1 10

1 10

0 19 04 4 8 1 1 2 0 8 0 1 9 2 1 0 2 0 1

0 1

，向量組的秩為2,

是一個極大無關(guān)組.0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 2 1 2已知A

a 3的一個特征向量b及 1 b

2 1 21 1 1 是所對應(yīng)的特征值,則A,即

a 3

1

1,從而a2

a3b01; 1 b 21 1 對于1，解齊次方程組A)x0:2 1 2

3 1 2 1 0 1

1 0 1 1 0 1 xxEA5 3 35 2 35 2 3

0 2 20 1 1 13

，x x , 1 0 2 1 0 1

0 1 1

0 0 0 x2 x3 1 1 1 基礎(chǔ)解系為 1，屬于 的全部特征向量

1， 為任意非零實(shí)數(shù)． 1 1 2 1 1 2 26．設(shè)A1 2 1 a，試確定a使r(2 解:A

1 1 2 22211211221122121a 112 03321 1 2 2

1 2

a 0 3 3 a2 1 1 2 20 3 3 2a0r2． 0 0 0 a 2四、證明題(本大題共1小題,6分）21２7.若,,11 2

是Axbb0)的線性無關(guān)解,證明

,1

是對應(yīng)齊次線性方程組Ax0的線性無關(guān)解.證:因?yàn)?,1 2

是Axb的解,所以

,1 ,

是Ax0的解;

211123k k 0211123設(shè)k1 2

)k1 2

)01

，即(k

k2

k1

k2

0,由,,

1 2k1線性無關(guān),得 k 0k1212021

，只有零解k k1 2

0,所以

,1

線性無關(guān).全國2010年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題(本大題共1０小題,每小題2分，共20分)xyz1.設(shè)行列式4031，則行列式xyz1.設(shè)行列式4031，則行列式1114 0 1 （ Ａ )31 1 1A．2 ??Ｂ.1 ???C.2 D.3 32x 2y 2z

x y z4 0 1 3

24 0 32.3 31 1 1

1 1 1２．設(shè)B,C為同階可逆方陣,則(ABC)1( Ｂ )2A．A1B1C1??B．C1B1A1? C．C1A1B1? D.A1C1B121３．設(shè),1

,,

是4維列向量，矩陣A,

,,

)．如果|A|2,則|2A|（ Ｄ ）??????

3 44

1 2 3 4? C.4 ? ?|2A|(2)4|A|? C.4 ? ?4.設(shè),1 A．,1

,,3 ,,3

是三維實(shí)向量,則（ Ｃ ）1123一定線性無?? B． 一定可由1123

,,23 2

線性表出C．,1 2

,,，3 ，

一定線性相關(guān) ???D.,,

一定線性無關(guān)向量組1

2

，3，

的秩為（ Ｃ )A．１? Ｂ．2 ? C.3 ???D.4設(shè)A是46矩陣,r(2,則方程組Ax0的基礎(chǔ)解系中所含向量的個數(shù)是( Ｄ ）Ａ．1??B.2?C．3???D.４A.1??B．2??C．3????D．4nr624．７.設(shè)A是mn矩陣,已知Ax0只有零解,則以下結(jié)論正確的是（ A )A．mn ?B.Axb（其中bm維實(shí)向量）必有唯一解Crm D．Ax0存在基礎(chǔ)解系若mn，即方程個數(shù)小于未知量個數(shù),則Ax0必有非零解．4 5 2設(shè)矩陣A5 7 3，則以下向量中是A的特征向量的是（ A ） 6 9 4Ａ．? Ｂ.???C．? ?D．x 4 5 2x

x 1

1

122223設(shè)px是A的特征向量,則Ap223

p，5 7 3x

x，x x 3

6 9 4x

x 3x4x

5x

2x

x 5x

27x

33x

1x

,將各備選答案代入驗(yàn)證,可知

是A的特征向量．61 2 3 2x 9x1

4x x3 31 1設(shè)矩陣A3 的三個特征值分別為,,

,則

（ Ｂ ) 1 2

1 2 31 1A．4??B．５???C．6??D.71

tr(A)1315.3.

f(x,

,x)x24xx

6x

4x

12x

9x2的矩陣為（ Ａ )1 2 3 1

12 13

2 3 31 2 3 1 4

1 2 6 1 2 3A．2 4 6??B.0 4 6? C.2 4 6 ?D.2 4 0 3 6

3 6 9

6

3 12 9二、填空題(本大題共1０小題，每小題2分,共20分）12311．行列式459_＿＿ .671312310459 430 12310459 4336 7 13 6 5 55 2 0 02 1 0 0

5 5

0.１2.設(shè)A

，則A1_＿_(dá)＿_(dá)＿ .0 0 2 1200100200100010400200010001001050005005(E)200

021001010210010110001 0 0 2 2

0 1 00 0 21040400200010000102000100250001002500021001000200022

00 10001200 100012001200010025005000 0 1 0 0 0 1 1，A1

0

0 1 1.0 0 0 1

0 1 2

0

1 2 5 2 2 1解法二:令A(yù)

2 1,A 1 1,則1 2 A1 |

1 2 1|A2 5，A1| |A

1 1 1 2 121 A 1 12

A 2 1 2 0 0 A

1 A1

O 2 5 0 0A1 1

.O A O 2 2

0 0 1 1 0 0 1 2 設(shè)方陣A滿足A3

2AEO,則A2

2E)

＿ ＿.A32AEO,A32AE，(A22E)AE，(A22E)(A)E，(A22E)1A.實(shí)數(shù)向量空間V{(xx1 2

,x)|x x3 1

x 0}的維數(shù)是 ＿ ＿.3V就是齊次方程組x3

x x12 1

0的解向量組,它的基礎(chǔ)解系(即極大無關(guān)組)含有nr312個向2量,所以V的維數(shù)是2．2１５.設(shè),1 2

是非齊次線性方程組Axb的解.則A(5

41

)＿ ＿_(dá).A(52

41

)5A2

4A1

5b4bb.16．設(shè)A是mn實(shí)矩陣,若r(ATA)5，則r(_＿ 利用P.１15例7的結(jié)論：r(r(ATA)5.a 1 1x 1 1 17．設(shè)線性方程組1 a 1x21有無窮多個解,則a＿＿ ．31 1 ax3

2a 1 1 1 1 1 a 2 1 1 a 2 (b)1 a 1 11 a 1 10 a1 1a 3 1 1 a 2 a 1 1 1 0 1a 1a2 2a1 1 1 a 2 1 1 a 2 0 a1 1a 3 0 a1 1a 3 ， 0 0 2aa2 2a4 0 0 (aa) 2(a2) 方程組有無窮多個解，則a2.18．設(shè)n階矩陣A有一個特征值3,則|3EA＿.0是3EA的特征值,所以|3EA|0．1９.設(shè)向量，(2,，且與正交，則a 由(,)0，即22a60，得a2.二次型f(xx02 224424424424 4022022022A

,x)4x3 2

3x3

4xx12

4xx13

8xx2

的秩為 ＿ .3．2 4 3 2 4 3 0 8 1 0 0 9 三、計算題(本大題共6小題，每小題9分,共５4分)2 3 4 53 4 5 6計算４階行列式D

4 5 6 7．5 6 7 82 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 53 4 5 64567456745671111526378111111111

3 4 5 6

3 4 5 6

0(標(biāo)準(zhǔn)答案．設(shè)A4 5 2，判斷A是否可逆，若可逆,求其逆矩陣A1． 5 7 331311002311001210152010452010452017300112101123110E455

1000 121121011121011032054 011122 0 1 1 1 2 2 0 3 2 0 5 1 2 1 0 1 1 1 2 0 3 0 10 1 1 1 2 20 1 0 2 1 00

1 3 1 2

0 0 1 3 1 2

1 2 11100121010210 所以A可逆，且A12 1 0（標(biāo)準(zhǔn)答案． 0 0 1 3 1 2 23．設(shè)向量,求T)101. T)101T)(T)(T 101 100由于

T(3,2)322

，

3

9 6所以T)101T13100T13100 (3,2)13100

（標(biāo)準(zhǔn)答案)．24.設(shè)向量組1

，2，

(1,1,2,4),3,

2，，4

6 4(1,2,3,2).（1)求該向量組的一個極大無關(guān)組;（2)將其余向量表示為該極大無關(guān)組的線性組合.1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 0 3 3 0解:(1)T,T,T,T

1 2 3

3 2 2 3 0 1 1 0 6 4 8 2 0 2 2 1111111101100110

1

1 1 0 1 1 00

1 0 0 0 0 0 0

2 2 00 1 1 2 0 0 2 01 1 1 1 1 1 0 2 1 0 0 1100100 100100

0 00 1 1 0

1

1 0 1，0 0 1 1

1

0 1 10 0 0 0

0

0 0 0 ,,1 2

是一個極大線性無關(guān)組;(2）4

1

(標(biāo)準(zhǔn)答案）.3x x 2x 034x 4x 2５.求齊次線性方程組 x x3x1x2x3 4

0的基礎(chǔ)解系及其通解.01111021104111 051

2 1

0 2解：A

7

0 1 0 1 3 1 1 0 0 4 1 6 1101102110 2100 10101 010 1 010 1

， 0 4 1 6 0 0 1 2 xx1

1 1 x x

1 12 4 ,基礎(chǔ)解系為 ，通解為k