八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座 第六講 實(shí)數(shù)的概念及性質(zhì)

PAGE1用心愛(ài)心PAGE1用心愛(ài)心專(zhuān)心第六講實(shí)數(shù)的概念及性質(zhì)數(shù)是隨著客觀實(shí)際與社會(huì)實(shí)踐的需要而不斷擴(kuò)充的．從有理數(shù)到無(wú)理數(shù)，經(jīng)歷過(guò)漫長(zhǎng)曲折的過(guò)程，是一個(gè)巨大的飛躍，由于引入無(wú)理數(shù)后，數(shù)域就由有理數(shù)域擴(kuò)充到實(shí)數(shù)域，這樣，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)就建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．一元二次方程等知識(shí)的基礎(chǔ)．平方根、立方根是最簡(jiǎn)單的方根，建立概念的方法有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)有下列重要性質(zhì)：有理數(shù)都可以寫(xiě)成有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)的形式，都可以表示成分?jǐn)?shù)q的形式；無(wú)理數(shù)是pqp、qp0．p無(wú)理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算不具有封閉性，即兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和、差、積、商不一定是無(wú)理數(shù)．a(chǎn)例題求解aa】若ab3a

5b3=7，則S＝2

3b的取值范圍．(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)a思路點(diǎn)撥運(yùn)用a

、b的非負(fù)性，建立關(guān)于S的不等式組．是該學(xué)派的成員希伯索斯發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度既不是整數(shù)希伯索斯投入海中處死．【例2】設(shè)a是一個(gè)無(wú)理數(shù)，且a、b滿(mǎn)足ab－a－b+1=0，則b是一個(gè)()A．小于0的有理數(shù)B．大于0的有理數(shù)C．小于0的無(wú)理數(shù)D．大于0的無(wú)理數(shù)(武漢市選拔賽試題)思路點(diǎn)撥對(duì)等式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，建立ab【例】已知a、b是有理數(shù)，且(1 3)a(1 13)b2119

30，求a、b的值．3 2 4 12 4 20思路點(diǎn)拔把原等式整理成有理數(shù)與無(wú)理數(shù)兩部分，運(yùn)用實(shí)數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于a、b的方程組．7【例4(1)已知abxy分別表示57

的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且滿(mǎn)足axy+by2＝1，求a+b(2)設(shè)x為一實(shí)數(shù)，[x]表示不大于x的最大整數(shù)，求滿(mǎn)足[－77.66x]=[－77.66]x+1的整數(shù)x的值．(江蘇省競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥(1)運(yùn)用估算的方法，先確定x，y的值，再代入xy+by2＝1中求出a、b的值；(2)運(yùn)用[x]的性質(zhì)，簡(jiǎn)化方程．x[xxx下基本性質(zhì)：(1)x－1<[x]≤x)若y<[y]≤[x]x[x+a]=[x]+PAGE5用心愛(ài)心PAGE5用心愛(ài)心專(zhuān)心axbs、bcdcxd當(dāng)a、、、dab、、d(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)思路點(diǎn)撥)把s用只含、、cda是有理數(shù)，是無(wú)理數(shù)；②若a≠0，則arr的倒數(shù)1也是無(wú)理數(shù)，解本例的關(guān)鍵之一還需運(yùn)用分式的性質(zhì)，對(duì)a、、、d取值進(jìn)行r詳細(xì)討論．注：要證一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，常證這個(gè)數(shù)能表示威幾十有理數(shù)的和，差，積、商的形式；要證一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)，常用反證法，即假設(shè)這個(gè)數(shù)是有理數(shù)，設(shè)法推出矛盾．學(xué)力訓(xùn)練3x3x4

y26y90，若axy3xy，則．y18(2002年個(gè)數(shù)的平方根是a2b2和4a13，那么這個(gè)數(shù)y18xxy5

0的解．121．請(qǐng)你觀察思考下列計(jì)算過(guò) 程：∵112＝121，∴121

11；同樣∵1112=12321，∴12321234567898765432111；?由此猜想1232123456789876543212如圖，數(shù)軸上表示1、 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為AB，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，則點(diǎn)C所222表示的數(shù)( )2222A． 1 B．122(江西省中考題)

C．2

D． 2x已知x是實(shí)數(shù)，x

x1x

的值是( )A．11

B．11

C．

1 D．無(wú)法確定的xx2x代數(shù)式x

x1

的最小值( )2A．0 B．12

C．1 (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)b2a3若實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足(ab2)2 b2a3(ft西省中考題)細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問(wèn)題．(1)212，S 1

；( 2)213，S12 1

；( 3)214，222S 3；?3 2請(qǐng)用含有n(n推算出OA的長(zhǎng)；10求出S2+S2+S2+?+S2 的值． 煙臺(tái)市中考)12l 2 3 12已知實(shí)數(shù)、、c

ab

c2c2b2bc

0，則a(b+c)= ．設(shè)y都是有理數(shù)，且滿(mǎn)足方程(1)x(1)y40，那么x－y的值．2 3 3 2(“希望杯’邀請(qǐng)賽試題)設(shè)a是一個(gè)無(wú)理數(shù)，且ab滿(mǎn)足ab+a－b＝1，則四川省競(jìng)賽)已知正數(shù)、bab①若a=1，b＝1，則ab

1；②若a

1,b5，則 3；abab2 2 2abab③若a＝2，b=3，則

5；④若a=1，b=5，則ab2ab

3．a(chǎn)b根據(jù)以上幾個(gè)命題所提供的信息，請(qǐng)猜想，若a=6，b=7，則ab

．(黃岡市競(jìng)賽題)已知：1a1，那么代數(shù)式1a的值( )55a a55A．5

B．

C． D．2 22233412[xx(x≠n+0.5，n12

]+[

]+[

]+?100101+[ ]的值100101A．5151 B．5150 D．5049(“五羊杯”邀請(qǐng)賽試題)設(shè)a<b<0，a2b24ab，則ab的值( )ab36A． B． C．2 D．336(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)111(a111(ab)2 (bc)2 (ca)2

為有理數(shù)．a(chǎn)300900(安徽省中考題)．19．閱讀下面材料，并解答下列問(wèn)題：在形如ab=N的式于中，我們已經(jīng)研究過(guò)兩種情況：①已知ab，求N，這是乘方運(yùn)算，②已知bN，求a，這是開(kāi)方運(yùn)算．現(xiàn)在我們研究第三種情況；已知aN，求b，我們把這種運(yùn)算叫做對(duì)數(shù)運(yùn)算．定義：如果ab=N(a>0，a≠1，N>0)，則b叫做以a為底的N的對(duì)數(shù)，記作b=logN．a(chǎn)1 123=8，所以log8=32-3=，所以log=－3．2

8 28①log；②log；③log；④如果log16=4，那么x= ．3 3 3 xax=M，ay＝N，則logM=x；logN＝y(tǒng)(a>0，a≠1，N>0，M，Na a