電磁學(xué)教案-第九章導(dǎo)體電介質(zhì)

第九章導(dǎo)體和電介電荷激發(fā)電場(chǎng)，靜止電荷激發(fā)靜電場(chǎng)。靜電場(chǎng)用電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)描述，電荷分布決定電場(chǎng)分布情況，電場(chǎng)也影響電荷分布。本章討論導(dǎo)體和電介質(zhì)的靜電特性。導(dǎo)體中存在大量自由電荷，在電場(chǎng)的作用下能產(chǎn)生電流，使電荷分布發(fā)生變化，進(jìn)而使電場(chǎng)發(fā)生改變。電介質(zhì)中幾乎電荷，但在外電場(chǎng)作用下介質(zhì)分子內(nèi)電荷能在很小范圍內(nèi)重新分布，使電場(chǎng)發(fā)生改變。本章內(nèi)容提要導(dǎo)體靜電平衡條件靜電電位移矢量介質(zhì)中的定電容器的電容電容器的串并聯(lián)接電場(chǎng)的能量、能量密度#作業(yè)：9-4)、9-6)、9-12)、9-14)、9-16)、9-19)、9-21)、9-29)、9-369-42)――――――――――――――—――――――――――――――――― 9-1靜電場(chǎng)中的導(dǎo)下圖為一電中性的導(dǎo)體板在外電場(chǎng)的作用下，導(dǎo)體中的自由電荷重新分布的過靜電感 在外電場(chǎng)的作用下起導(dǎo)體中的電荷重新分布而呈現(xiàn)出的帶電現(xiàn)象?！獙?dǎo)體靜電平衡條件(a)原來的電 (b)放入導(dǎo)體球后的電場(chǎng)圖9-2均勻電場(chǎng)中的導(dǎo)體球?qū)w靜電平衡是指：導(dǎo)體、表面都沒有電荷作定向運(yùn)動(dòng)。導(dǎo)體靜電平衡條件：導(dǎo)體場(chǎng)強(qiáng)處處為零。靜電平衡導(dǎo)體的幾點(diǎn)基本性質(zhì)1)導(dǎo)體是一個(gè)等勢(shì)體，表面是一個(gè)等勢(shì)面。導(dǎo)體表面的場(chǎng)強(qiáng)與表面垂直。靜電平衡實(shí)心導(dǎo)體所帶電荷只能分布在導(dǎo)體表面，導(dǎo)體內(nèi)各處的凈電荷為零。靜電平衡導(dǎo)體表面附近的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與該點(diǎn)附近表面電荷面密度的系為(qS

E圖9-3導(dǎo)體表面附近的電場(chǎng)E不是由該點(diǎn)附近的表面電荷產(chǎn)生，它是在場(chǎng)所有電荷的合貢獻(xiàn)。孤立導(dǎo)體的電荷面密度與導(dǎo)體表面曲率成正比。若沒有其它電場(chǎng)的影響，導(dǎo)體上曲率越大的地方電荷面密度也越大。―――――――――――――――――――――――――――――――――例9.1有兩塊面積較大的導(dǎo)體薄板平行放置，它們的面積均為S，距離為d(見圖)。若給aQa，bQb，求導(dǎo)體板四個(gè)表面的電荷分布、空間的場(chǎng)強(qiáng)分布及兩板之間的電勢(shì)差；b板接地，再求電荷分布、場(chǎng)強(qiáng)分布及兩板的電勢(shì)差。解(1)不考慮邊緣效應(yīng)，靜電平衡時(shí)電荷將分布在導(dǎo)體板的表面上形成四個(gè)均勻帶電平面，設(shè)電荷面密度分別為12、3、4由電荷守恒定律可知13

SS

(1)(2)由靜電平衡條件，導(dǎo)體板內(nèi)的A點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為零。A點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng):A點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)由四個(gè)均勻帶電平面場(chǎng)強(qiáng)迭加，向右為正，則 1

在A

/20 在A點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)可記作E2

/20依次類推，A點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)可表示為1

4，故有:

1

(1

34)同理，B

4)聯(lián)立以上四式可得 兩板左邊的場(chǎng)強(qiáng)

兩板之間的場(chǎng)強(qiáng)

20兩板右邊的場(chǎng)強(qiáng)EIII

(1234) 可驗(yàn)證上述三個(gè)區(qū)間的場(chǎng)強(qiáng)與附近導(dǎo)體表面電荷密度的關(guān)系均滿足E兩板之間的電勢(shì)差

/aaUab dlb

d b20B可認(rèn)為是一個(gè)延伸到無窮遠(yuǎn)處的導(dǎo)體，若以無窮遠(yuǎn)處作為電勢(shì)零點(diǎn)，則地面和接地的導(dǎo)體電勢(shì)均為零。此時(shí)B面的電荷應(yīng)為零,即

4否則將有電場(chǎng)線由B板向右延伸到無窮遠(yuǎn)處，按電場(chǎng)線電勢(shì)降落的結(jié)論，意味B板電勢(shì)與無窮遠(yuǎn)的電勢(shì)不同，這顯然不符合等勢(shì)條件。此時(shí)問題(1)中的(2)式由于B板和地面交換電荷已經(jīng)不成立了，而(1)、(3)、(4)式仍成立。注意到已有4

0，可解得

2

3 即電荷分布集中于兩導(dǎo)體板的內(nèi)側(cè)(一個(gè)典型的平板電容器的電荷分布)。進(jìn)而可求出三個(gè)區(qū)域此時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)為EI

0

EII

0S兩板間的電勢(shì)差為Uab

EIId

0S――――――――――――――――――――――――――― ―――――二空腔導(dǎo)體靜電空腔導(dǎo)體―――導(dǎo)體內(nèi)有空腔，稱之為空腔導(dǎo)體。空腔內(nèi)沒有帶電體設(shè)空腔導(dǎo)體帶電

q0，在導(dǎo)體內(nèi)外兩個(gè)表面，其電荷怎樣分布？結(jié)論：外表面帶電分布。

q0，內(nèi)表面沒有電荷(1)空腔外電荷對(duì)空腔內(nèi)無影響證明:在導(dǎo)體中作一閉合曲面S包圍空腔，由 定理ES

q/

可知，由于曲面S場(chǎng)強(qiáng)為零故電場(chǎng)通量為零，所以S凈電荷為零。由于空腔內(nèi)沒有電荷，這表明空腔內(nèi)表面的凈電荷也為零。問題在于是否可能在內(nèi)表面上存在等值異號(hào)的電荷分布而在空腔內(nèi)形成電場(chǎng)？如果真是這樣，正電荷將發(fā)出電場(chǎng)線，由于導(dǎo)體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零，這意味著電場(chǎng)線不能穿過導(dǎo)體而只能終止于同樣位于空腔內(nèi)表面的負(fù)電荷上，這將違背導(dǎo)體的等勢(shì)條件，所以空腔內(nèi)表面也不能有電荷分布。空腔內(nèi)有帶電體設(shè)空腔導(dǎo)體帶電

q0，空腔內(nèi)帶電體帶電q，在導(dǎo)體內(nèi)外兩個(gè)表面，其電荷怎樣分布？q0

證明:在導(dǎo)體中作一閉合曲面包圍空腔，由定理可知曲面內(nèi)的凈電荷為零，即空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷應(yīng)與空腔的電荷等值異號(hào)，即為

q。按電荷守恒定律，空腔外表面要出現(xiàn)感應(yīng)電荷

q并在空腔外產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)。把導(dǎo)體球接地，見圖(b)，這時(shí)外表面的感應(yīng)電荷被中合，導(dǎo)體電勢(shì)為零。同于空腔外沒有電荷分布，所以也沒有電場(chǎng)，可見一個(gè)接地的導(dǎo)體空腔能空腔內(nèi)電荷對(duì)外部的影響。靜電靜電―――研究當(dāng)空腔內(nèi)外帶電況發(fā)生變化時(shí)，空腔內(nèi)外的電場(chǎng)是否互相影響的問題。導(dǎo)體空腔了外電荷相互影響外部電荷會(huì)不會(huì)影響電場(chǎng)？結(jié)論是：不會(huì)影響。外部電荷和外表面電荷在空腔內(nèi)合場(chǎng)強(qiáng)為零?？涨粌?nèi)的電場(chǎng)只由空腔內(nèi)的電荷和內(nèi)表面電荷決定?？梢岳斫鉃椋弘妶?chǎng)線終止于導(dǎo)體表面，或發(fā)出于導(dǎo)體表面，沒有電場(chǎng)線穿過導(dǎo)體進(jìn)入空腔。2電荷會(huì)不會(huì)影響外部電場(chǎng)？結(jié)論是：一般會(huì)有影響。電荷和內(nèi)表面電荷在空腔外部產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)為零。而外表面電荷要影響外部電場(chǎng)。當(dāng)把外殼接地時(shí)，外表面感應(yīng)電荷被中和空腔外沒有電場(chǎng)，這樣就把帶電體對(duì)外部的影響全部隔絕了。結(jié)論：一個(gè)接地的空腔導(dǎo)體可以內(nèi)外電場(chǎng)的影響，這是靜電原理。按靜電的結(jié)論，如果把空腔中的點(diǎn)電荷移到球心，則空腔內(nèi)表面的電荷會(huì)均勻分布，空腔內(nèi)的電場(chǎng)會(huì)是一個(gè)對(duì)稱的點(diǎn)電荷電場(chǎng)而不會(huì)受到空腔外電荷的非對(duì)稱性的影響。如果空腔內(nèi)電荷不在球心并把空腔外的點(diǎn)電荷移到遠(yuǎn)處，則空腔外表面的電荷會(huì)均勻分布，空腔外電場(chǎng)將是一個(gè)均勻帶電球面的電場(chǎng)而不會(huì)受到空腔內(nèi)電荷的非對(duì)稱性的影響。―――――――――――――――――――――――――――-―――-9.2一半徑為R1的導(dǎo)體球帶有電量q，球外有一內(nèi)、外半徑分別為R2和R3的同心導(dǎo)體球殼帶電為Q，求導(dǎo)體球和和球殼的電勢(shì)；若用導(dǎo)線連接球和球殼，再求它們的電勢(shì)；若不是連接而是使外球接地，再求它們的電勢(shì)。解(1)由靜電平衡條件可知電荷只分布于導(dǎo)體表面。在球殼中作一閉合曲面可求得球殼內(nèi)表面感應(yīng)電荷為

q荷守恒，球殼外表面電量為由于球和球殼同心放置，滿足球?qū)ΨQ性，故電荷均勻分布形成三個(gè)均勻帶電球面（a）。用電勢(shì)迭加原理可直接求出:導(dǎo)體球的電勢(shì)為

(qq 導(dǎo)體球殼的電勢(shì)為V2

若用導(dǎo)線連接球和球殼，球上電荷q球殼內(nèi)表面電荷

q中合，電荷只分布于球殼外表面（見圖b）。此時(shí)球和球殼的電勢(shì)相等，為VV

若使球殼接地，球殼外表面電荷被中合，這時(shí)只有球和球殼的內(nèi)表面帶電(見圖c)，此時(shí)球殼電勢(shì)為零球的電勢(shì)

(

q此題也可以先求出空間的場(chǎng)強(qiáng)分布，再用電勢(shì)的定義

Ea

用場(chǎng)強(qiáng)積分求出電勢(shì)。-9.3一半徑為R的導(dǎo)體球原來不帶電，在球外距球心為d處放一點(diǎn)電荷，求球電勢(shì)。若將球接地，求其上的感應(yīng)電荷。解由于導(dǎo)體球是一個(gè)等勢(shì)體，故只要求得球內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)，即為球的電勢(shì)。此球心的電勢(shì)可以用電勢(shì)迭加原理求出，它等于點(diǎn)電荷在球心提供的電勢(shì)與導(dǎo)體球在球心提供的電勢(shì)的代數(shù)和。若導(dǎo)體球上的總電量為Q，由于Q布在球表面，故它在球心提供的電勢(shì)為球面上各微元電荷在球心提供的微元電

勢(shì)的積分

來不帶電即總電量Q=0，故導(dǎo)體球在球心提供的電勢(shì)為零，只有點(diǎn)電荷在球心提供電勢(shì)V 若將導(dǎo)體球接地，則導(dǎo)體球總電量Q再為零，而球心處電勢(shì)應(yīng)為零，即有V 可解得

0RQRd— ――――――――――――――§9-2電介質(zhì)介質(zhì)中的定只討論均勻的、各向同性的電介質(zhì)。各向同性：它要求介質(zhì)沿不同方向極化時(shí)，同一點(diǎn)的相對(duì)介電常量r相同。均勻：指不同的r相同?！橘|(zhì)的極化電介質(zhì)分類電介質(zhì)分兩類:由無極分子構(gòu)成的電介質(zhì)和有極分子構(gòu)成的電介質(zhì)。無極分子―――分子的正、負(fù)電荷中心在無外場(chǎng)時(shí)是重合的。例如：甲烷CH有極分子―――分子的正、負(fù)電荷中心在無外場(chǎng)時(shí)也不重合的。 H2分子由等量的正負(fù)電荷構(gòu)成，可以近似把分子中的正、負(fù)電荷作為兩個(gè)點(diǎn)電荷處理，稱為等效電荷，等效電荷的位置稱為電荷中心。若分子的正、負(fù)電荷中心不重合，則等效電荷形成一個(gè)電偶極子，其電偶極矩p

稱為分子的固有電矩，這種分子叫有極分子,如HCl若分子的正、負(fù)電荷中心重合，則分子的電偶極矩為零，這種分子叫無極分子。如H2、O2、N2、CO2分子。兩種材料的極化有極分子介質(zhì)的取向極化在外電場(chǎng)

E0中，有極分子受力矩轉(zhuǎn)向外場(chǎng)方向，在垂直外場(chǎng)的表面產(chǎn)生束縛電q（只是在表面，），q在介質(zhì)內(nèi)產(chǎn)生附加電場(chǎng)

E

E<<

介質(zhì)內(nèi)有電場(chǎng)。無極分子介質(zhì)的位移極化在外電場(chǎng)

E0中，無極分子正負(fù)電荷中心受力不再重合，等效為一個(gè)電偶極子，在垂直于外場(chǎng)的表面產(chǎn)生束縛電荷（只是在表面）q在介質(zhì)內(nèi)產(chǎn)生附加電場(chǎng)

E，反抗原場(chǎng)，但E<<

介質(zhì)內(nèi)有電場(chǎng)。兩種極化宏觀結(jié)果相同，宏觀上可不區(qū)分。討論：對(duì)于均勻電介質(zhì)，極化電荷只出現(xiàn)在介質(zhì)的表面，即極化電荷體密度處處為零。極化電荷和導(dǎo)體中自由電荷不同，它們不能離開電介質(zhì)轉(zhuǎn)移到其它物體上，總是正、負(fù)電荷成雙的束縛在一起。二介質(zhì)中的電場(chǎng)實(shí)驗(yàn)證明，若自由電荷的分布不變，當(dāng)介質(zhì)均勻地充滿電場(chǎng)后，介質(zhì)中任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E為原來真空中的電場(chǎng)強(qiáng)E0

分之一，即

EE(9-其中

1為介質(zhì)的相對(duì)介電常量，取決于介質(zhì)的電學(xué)性質(zhì)。注意：(成立的條件是介質(zhì)均勻地充滿電場(chǎng)何為介質(zhì)均勻地充滿電場(chǎng)，舉例來說，對(duì)于平板電容器，只需要一種各向同性的均勻介質(zhì)充滿兩板之間就夠了；而對(duì)于點(diǎn)電荷，原則上要充滿到無窮遠(yuǎn)的地方。對(duì)于“真空”，r1，對(duì)于空氣，近似有

1，對(duì)其它介質(zhì)r

1由此推之：均充條件下介質(zhì)中的電學(xué)規(guī)律與真空時(shí)的電學(xué)規(guī)律形式上完全相同，但式中的0

0r如：介質(zhì)中的點(diǎn)電荷電E r3極化電荷的計(jì)算電介質(zhì)中的電場(chǎng)是由自由電荷的電場(chǎng)與介質(zhì)中的極化電荷激發(fā)的附加電場(chǎng)迭加而形成的。在介質(zhì)均勻地充滿電場(chǎng)條件下，通過真空中的電場(chǎng)和介質(zhì)中的電場(chǎng)的比較，由自由電荷分布推算出極化電荷的分布。以點(diǎn)電荷為例，真空中的點(diǎn)電荷周圍空間任一點(diǎn)p激發(fā)的電場(chǎng)為

q0在其r0 r0 充滿介質(zhì)以后，點(diǎn)電荷本身激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)不因極化電荷的出現(xiàn)而改變。極化電荷分布在介質(zhì)表面上，即介質(zhì)與點(diǎn)電荷交界面上。這是一個(gè)很小的范圍，極化電荷也是一個(gè)點(diǎn)電荷其電量為q，它在p點(diǎn)激發(fā)的電場(chǎng)應(yīng)為E

40r介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)是

E0E迭加結(jié)E

E

q0

0 4r 4r00又由 可知介質(zhì)中點(diǎn)電荷電場(chǎng)1的合場(chǎng)強(qiáng)為真空中場(chǎng)強(qiáng)的

，故有E q04r0r

(9-比較這兩式即可得到0r

(9-上式表示自由電荷和束縛電荷的總和等1于自由電荷的電荷

。于是我們可解得點(diǎn)周圍的極化電荷電量(9-r號(hào)。

1，故極化電荷與自由電荷反對(duì)于其它的電荷分布，只要是在介質(zhì)均勻地充滿電場(chǎng)的條件下，均可如此分析。介質(zhì)中的點(diǎn)電荷電場(chǎng)(9-3)式為(9-6)

E q040rr

q0與點(diǎn)電荷在真空中的場(chǎng)強(qiáng)比較，公式形式不變，唯一的變化是把由

換成于在所有的場(chǎng)強(qiáng)公式中，真空中的介電

均在分母中，故在介質(zhì)均勻地充滿電場(chǎng)時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)公式的形式都不會(huì)變，0。介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)比真空中要小，這是由于極化電荷的場(chǎng)強(qiáng)影響的結(jié)果，但極化電荷在式子中并未出現(xiàn)，它們影響已包含在之中。三介質(zhì)中的定下面通過上述特殊情況來推導(dǎo)介質(zhì)中的定理真空中靜電場(chǎng)的定ES

q/當(dāng)電場(chǎng)中有介質(zhì)時(shí)，它應(yīng)當(dāng)是自由電荷與極化電荷的總和即定理可記作

0 q于是 dSEq0 極化電荷q一般情況下是一個(gè)未知量，不方便，設(shè)法把它用自由電荷來表示。介質(zhì)均勻地充滿電場(chǎng)時(shí)，極化電荷出現(xiàn)在自由電荷旁， 斯定理有

，代入高EdSS

0 E，于是有ES

q0定義：(9-7)

D

0r電位移矢量即在電場(chǎng)中的任意一點(diǎn)，電位移矢量等于該點(diǎn)介質(zhì)的介電常數(shù)與電場(chǎng)強(qiáng)度之積。于 定理表示(9-8)

DS

q0介質(zhì)中的定理（簡(jiǎn)稱D定理表明：電場(chǎng)中通過任一閉合曲面的D量等于閉合曲面圍住的凈自由電荷?？梢宰C明，介質(zhì)中的定理對(duì)任意電荷分布和任意介質(zhì)分布都成立。若介質(zhì)就是“真空”，此時(shí)

0介質(zhì)中的定理(9-8)式還原為真空中的 定理形式ES

q0ED電位移矢量D在電場(chǎng)空間構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)，其矢量線稱為電位移線，簡(jiǎn)稱DDDD線的數(shù)密度DD的通量

DSDd

D 定理表示，在閉合面SD量等于曲面S內(nèi)自由電荷的代數(shù)和即凈自由電荷。D定理的物理意義是D線發(fā)自于正的自由電荷，終止于負(fù)自由電荷。這與電場(chǎng)線即E線不同，E線始于正電荷，終于負(fù)電荷而無論這種電荷是自由的還是束縛的。D線的起點(diǎn)和終點(diǎn)與極化電荷無關(guān)，但不能認(rèn)為D化電荷無關(guān)。場(chǎng)強(qiáng)E是由自由電荷和極化電荷共同產(chǎn)生的，故E與極化電荷的分布相關(guān)，故由E定義的D亦與極化電荷的分布相關(guān)。下圖是在一個(gè)均勻電場(chǎng)中放入一個(gè)介質(zhì)球前后的ED線的分布情況，極化電荷對(duì)電場(chǎng)的影響，特別是對(duì)ED向的影響是十分明顯的。圖9-14均勻電場(chǎng)中放入介質(zhì)球前后的D電位移矢量的單位是c/m2即每平方米，與電荷面密度的單位相同。――――――――――――――――――――――――――――――――――――四介質(zhì)中定理的應(yīng)電場(chǎng)中有介質(zhì)時(shí)，一般不宜用迭加原理求場(chǎng)強(qiáng)E和電勢(shì)V，否則必須要考慮極化電荷q單獨(dú)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E和電勢(shì)V常用方法：在一定的對(duì)稱條件下，用定理求出DE

D/

E，進(jìn) 而

V-9.4若導(dǎo)體外有介質(zhì)，求證，導(dǎo)體表面附近的電位移矢量與導(dǎo)體表面電荷面密度的關(guān)系DD證明如圖9-15所示在導(dǎo)體表面附近作一底面為S的閉合柱面S，其側(cè)面與導(dǎo)體表面垂直。按D定理，柱面上的D通量DS

由于在導(dǎo)體內(nèi)

0

D0，所以柱的下D通量。由于導(dǎo)體表面是等勢(shì)面，表面附近E與表面垂直，故D也與表面垂直。所以柱的側(cè)面也沒有D通量。只有柱面上底面有D通量。所以有得到

D

(9-9)故命題得證，同時(shí)還有ED 為正電荷，DE垂直于導(dǎo)體表面指向?qū)w外，否則垂直于表面指向?qū)w內(nèi)。若介質(zhì)為空氣，則回到原來的導(dǎo)體表面附近場(chǎng)強(qiáng)與電荷面密度的關(guān)系E09.5半徑為r1的導(dǎo)體球帶電為

q，球外有一層內(nèi)徑為r1r2的各向同性均勻介質(zhì)，介電常量為，見圖。求介質(zhì)中和空氣中的場(chǎng)強(qiáng)分布和電勢(shì)分布。解由于導(dǎo)體和介質(zhì)都滿足球?qū)ΨQ性，故自由電荷和極化電荷分布也滿足球?qū)ΨQ性，因而電場(chǎng)的E和D分布也具有球?qū)ΨQ性，即其方向沿徑向發(fā)散，且在以O(shè)為中心的同一球面上DE的大小相同。如圖在介質(zhì)中作一半徑為r的球面S1，按D 定理DdS有D4r2故所以介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)

D ED (方向沿徑向發(fā)散)

同理在介質(zhì)外作一球面S2，則仍然有故介質(zhì)外的場(chǎng)強(qiáng)

D ED (方向沿徑向發(fā)散)

0 介質(zhì)中距球心為r的一點(diǎn)的電勢(shì)為 r

E

r

r

dr

r r (1

1)

空氣中距球心為r的一點(diǎn)的電勢(shì)為V

dl

Edr

drr r

r 40r ――――――――――――――― ―――――――――――――――§9-3電容器電容器:兩個(gè)相互絕的導(dǎo)體就構(gòu)成一個(gè)電容器（下圖）：A,B稱為電容器的兩個(gè)極板,兩極間的電壓UQ成正比上式中的比例常數(shù)

QCU定義:C為電容器的電容。它取決于兩導(dǎo)體形狀，大小，相對(duì)位置和導(dǎo)體周圍電介質(zhì)的性質(zhì)。—常見電容器平板電容器由D定理可求得兩板間的電位移兩板間的電場(chǎng)強(qiáng)度為

DAB

D

其中:為介質(zhì)的介電常量?jī)砂彘g的電壓為U

E

故平板電容器的電容為CQ 0

為介質(zhì)的電容率，

為真空的電容率。2、圓柱形電容器由D定理可求得兩筒之間距離軸rp點(diǎn)的電位移矢量D進(jìn)而求出電場(chǎng)強(qiáng)度 E2場(chǎng)強(qiáng)方向沿半徑方向由AB將場(chǎng)強(qiáng)沿徑向積分可得到兩筒間的電壓BUEdlBBR

lnA Qln

RA

RA故圓柱形電容器的電容CQ

(9-13)

/RA單位長(zhǎng)度上的電容為 2l3、球形電容器

/RA通過D定理可求得兩球之間距離rp點(diǎn)的的場(chǎng)強(qiáng)E 方向沿半徑方向。兩球之間的電壓BUB

Edl

RA

dr

4(A故球形電容器的電容為C

4

RA RA一個(gè)孤立的導(dǎo)體球可當(dāng)作是球形電容器的一種特殊情況RB，此時(shí)B上的電荷

將均勻地分布在一個(gè)無窮大的球面上，實(shí)際上可以認(rèn)為該電荷分布忽略不計(jì)。B球在無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，A、B球之間的電壓就是A球的電勢(shì)。設(shè)介質(zhì)為空氣，則A球電勢(shì)為V 40

(9-14)RA球半徑，孤立導(dǎo)體球的電容(9-15)

CV

40(9-14RB

而來。二電容的聯(lián)接1、并聯(lián)電容器充電以后，每個(gè)電容器兩個(gè)極板間的電壓相等為U，有U

U

UnU是電容器組的電壓。電容器組所帶總電量為 所以電容器組的等效電容為CU

U

U

qnUU

i為每個(gè)電容器的電容，所以iC

CCn

(9-16)即并聯(lián)電容器的等效電容等于每個(gè)電容器電容之和。2串聯(lián)電容器充電后，由于靜電感應(yīng)，每個(gè)電容器都帶上等量異號(hào)的電荷Q和Q，這也是電容器組所帶電量，故有 電容器組上的總電壓為各電容器的電壓之和U

U

U為了方便，我們計(jì)算等效電容的倒數(shù)1U

q

Uq

Unq即有1

Cn

(9-17)表示:串聯(lián)電容器的電容的倒數(shù)等于各電容器電容的倒數(shù)之和。9.6平行板電容器兩板面積均為S。在兩板間平行地重迭地放置兩塊面積也是厚度分別為d1d22容。

的介質(zhì)板，見下圖，求電容器的電AB

q

q面電荷密度qS。忽略邊緣效應(yīng)，兩種介質(zhì)中分別出現(xiàn)均勻電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E位移矢量D均垂直于平板向下。如圖作兩個(gè)底面積分別為ΔS1和ΔS2的柱形S1S2，兩底與平板平行，側(cè)面與平板垂直。由于它們的上底在導(dǎo)體板內(nèi)，E=0，D=0，所以D通量為零。側(cè)面與D線平行，所以D通量也為零，所以只有下底有D通量。注意下底分別在兩種介質(zhì)中，由D定理D

D

有D2得到D1

即此時(shí)兩種介質(zhì)中的D是相等的，此結(jié)果也可以例9.4的結(jié)論直接給出。兩種介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)E1D1 E2D22 2兩板之間的電壓BU A

E1d1

E2d2d1 2

2S所以電容器的電容為CQ

U或記作

2d11

2S

1 可見當(dāng)平板電容器中平行的重迭放置兩種介質(zhì)時(shí)，其電容相當(dāng)于兩個(gè)平板電容器的串聯(lián)。這兩個(gè)電容器的板面積仍為S，板距分別為d1d2，其中介質(zhì)的介電常量分別為

12§9-4靜電場(chǎng)的能量一電容器的能量某時(shí)刻t，兩極板帶電兩極板之間電壓為U

q(t

q(t)dq從負(fù)板移到正板，外力做功dA

Udq

極板從不帶電到帶電QQ容器充電過程中外力的總功為 0

按能量守恒定律，其功全部轉(zhuǎn)化為電容 的電能：Q2QWeA

12

1CU2注意：使用公式時(shí)要注意區(qū)分兩種不同的情況，即是在維持二極板電量不變的前提下（電容器充電后與電源斷開），還是維持二極板電壓不變（電容器充電后不與電源斷開）的前提下來討論問題。這樣就不會(huì)出