第1講　萬(wàn)有引力與宇宙航行高考物理總復(fù)習(xí)新教材版

第講萬(wàn)有引力與宇宙航行[教材閱讀指導(dǎo)](對(duì)應(yīng)人教版新教材必修第二冊(cè)頁(yè)碼及相關(guān)問(wèn)題)P45開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的表述。提示：開(kāi)普勒第一定律：所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。開(kāi)普勒第二定律：對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等。開(kāi)普勒第三定律：所有行星軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等。P45～46，對(duì)行星運(yùn)動(dòng)軌道簡(jiǎn)化為圓軌道后的開(kāi)普勒三個(gè)定律的表述。提示：(1)行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道十分接近圓，太陽(yáng)處在圓心。(2)對(duì)某一行星來(lái)說(shuō)，它繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度(或線速度)大小不變，即行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(3)所有行星軌道半徑r的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方的比值都相等，即eq\f(r3,T2)＝k。P48[練習(xí)與應(yīng)用]T2。提示：近地點(diǎn)的速度較大。P49～50閱讀“行星與太陽(yáng)間的引力”這一部分內(nèi)容，太陽(yáng)與行星間引力公式依據(jù)什么推導(dǎo)出來(lái)的？提示：依據(jù)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律和圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式及牛頓第三定律推導(dǎo)出來(lái)的。P51什么是月—地檢驗(yàn)？提示：地面物體所受地球的引力，月球所受地球的引力，與太陽(yáng)、行星間的引力遵從相同的規(guī)律。P52引力常量是如何測(cè)得的？數(shù)值為多少？提示：英國(guó)物理學(xué)家卡文迪什利用扭秤裝置測(cè)得G＝6.67×10－11N·m2/kg2。P55～58萬(wàn)有引力理論的成就有哪些？提示：“稱(chēng)量”地球的質(zhì)量、計(jì)算天體的質(zhì)量、發(fā)現(xiàn)未知天體、預(yù)言哈雷彗星回歸。P59～60閱讀“宇宙速度”這一部分內(nèi)容，發(fā)射地球衛(wèi)星的最小速度是多少？有哪兩種計(jì)算方法？提示：7.9km/s。方法一：eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)，v＝eq\r(\f(GM,R))＝7.9km/s；方法二：mg＝eq\f(mv2,R)，v＝eq\r(gR)＝7.9km/s。P64[科學(xué)漫步]，黑洞的特點(diǎn)是什么？提示：黑洞是引力非常大的天體，光以3×108m/s的速度都不能從其表面逃逸。P71[復(fù)習(xí)與提高]B組T2；T3；T4；T6。提示：T2：將行星看作球體，設(shè)半徑為R，質(zhì)量為m星，則行星的密度為ρ＝eq\f(m星,V)＝eq\f(m星,\f(4πR3,3))。衛(wèi)星貼近行星表面運(yùn)行時(shí)，運(yùn)動(dòng)半徑為R，由萬(wàn)有引力提供向心力可知eq\f(Gm星m,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，即m星＝eq\f(4π2R3,GT2)。由此可以解得ρT2＝eq\f(3π,G)，式中G為引力常量，可見(jiàn)ρT2是一個(gè)對(duì)任何行星都相同的常數(shù)。溫馨提示：當(dāng)衛(wèi)星貼著行星表面飛行時(shí)，只要有一個(gè)計(jì)時(shí)工具就可以知道行星的密度。T3：eq\f(7Gmm′,36R2)。質(zhì)量分布均勻的球體之間的萬(wàn)有引力可以等效為質(zhì)量集中在兩球心的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的萬(wàn)有引力，直接代公式可求。本題采用先填補(bǔ)成完整的球體，再減去補(bǔ)上的小球部分產(chǎn)生的引力的方法來(lái)求解。T4：4h。地球自轉(zhuǎn)周期變小，衛(wèi)星要與地球保持同步，則衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期也應(yīng)隨之變小，由eq\f(Gm地m,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得T＝eq\r(\f(4π2r3,Gm地))，故衛(wèi)星與地球間的距離變小。要想僅用三顆同步衛(wèi)星來(lái)實(shí)現(xiàn)地球赤道上任意兩點(diǎn)之間保持無(wú)線電通信的目的，最小的軌道半徑對(duì)應(yīng)的幾何關(guān)系為衛(wèi)星連線正好和地球相切，如圖所示。由幾何關(guān)系可推出最小半徑，從而得到最小周期。T6：t≈1.1年。海王星的軌道半徑最大，海王星相鄰兩次沖日的時(shí)間間隔最短。行星沖日現(xiàn)象可類(lèi)比田徑場(chǎng)跑道上的運(yùn)動(dòng)員的追及相遇問(wèn)題。軌道半徑越大的行星公轉(zhuǎn)周期越長(zhǎng)，軌道半徑越小的行星公轉(zhuǎn)周期越短，公轉(zhuǎn)周期短的不斷超越公轉(zhuǎn)周期長(zhǎng)的。地外行星的公轉(zhuǎn)周期都比地球的公轉(zhuǎn)周期長(zhǎng)，地球的公轉(zhuǎn)周期最短，每超越一次就發(fā)生一次沖日。行星與地球的公轉(zhuǎn)周期相差越大，沖日的周期就越短。物理觀念開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律1．定律內(nèi)容(1)開(kāi)普勒第一定律：所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是eq\x(\s\up1(01))橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)eq\x(\s\up1(02))焦點(diǎn)上。(2)開(kāi)普勒第二定律：對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的eq\x(\s\up1(03))面積相等。(3)開(kāi)普勒第三定律：所有行星軌道的eq\x(\s\up1(04))半長(zhǎng)軸的三次方跟它的eq\x(\s\up1(05))公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等，即eq\x(\s\up1(06))eq\f(a3,T2)＝k。2．適用條件：適用于宇宙中一切環(huán)繞同一中心天體的運(yùn)動(dòng)。物理觀念萬(wàn)有引力定律及應(yīng)用1．內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與eq\x(\s\up1(01))物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與eq\x(\s\up1(02))它們之間距離r的二次方成反比。2．公式：F＝eq\x(\s\up1(03))Geq\f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，其值由卡文迪什通過(guò)扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)得。3．適用條件：適用于兩個(gè)eq\x(\s\up1(04))質(zhì)點(diǎn)或均勻球體；r為兩質(zhì)點(diǎn)或均勻球體球心間的距離。4．萬(wàn)有引力理論的主要成就(1)發(fā)現(xiàn)未知天體。(2)計(jì)算天體質(zhì)量。物理觀念環(huán)繞速度1．第一宇宙速度數(shù)值為eq\x(\s\up1(01))7.9km/s。2．第一宇宙速度是人造衛(wèi)星在eq\x(\s\up1(02))地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)具有的速度。3．第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最小eq\x(\s\up1(03))發(fā)射速度，也是人造衛(wèi)星的最大eq\x(\s\up1(04))環(huán)繞速度。4．第一宇宙速度的計(jì)算方法(1)由Geq\f(mm地,R2)＝meq\f(v2,R)，解得：v＝eq\x(\s\up1(05))eq\r(\f(Gm地,R))；(2)由mg＝meq\f(v2,R)，解得：v＝eq\x(\s\up1(06))eq\r(gR)。物理觀念第二宇宙速度和第三宇宙速度1．第二宇宙速度(脫離速度)使物體掙脫eq\x(\s\up1(01))地球引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為eq\x(\s\up1(02))11.2km/s。2．第三宇宙速度(逃逸速度)使物體掙脫eq\x(\s\up1(03))太陽(yáng)引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為eq\x(\s\up1(04))16.7km/s。物理觀念相對(duì)論時(shí)空觀與牛頓力學(xué)的局限性1.相對(duì)論時(shí)空觀(1)愛(ài)因斯坦的兩個(gè)假設(shè)：在不同的慣性參考系中，物理規(guī)律的形式都是eq\x(\s\up1(01))相同的；真空中的光速在不同的慣性參考系中大小都是eq\x(\s\up1(02))相同的。(2)同時(shí)的相對(duì)性：根據(jù)愛(ài)因斯坦的假設(shè)，如果兩個(gè)事件在一個(gè)參考系中是同時(shí)的，在另一個(gè)參考系中eq\x(\s\up1(03))不一定是同時(shí)的。(3)愛(ài)因斯坦假設(shè)的結(jié)果①時(shí)間延緩效應(yīng)如果相對(duì)于地面以v運(yùn)動(dòng)的慣性參考系上的人觀察到與其一起運(yùn)動(dòng)的物體完成某個(gè)動(dòng)作的時(shí)間間隔為Δτ，地面上的人觀察到該物體完成這個(gè)動(dòng)作的時(shí)間間隔為Δt，那么兩者之間的關(guān)系是Δt＝eq\x(\s\up1(04))eq\f(Δτ,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))2))。②長(zhǎng)度收縮效應(yīng)如果與桿相對(duì)靜止的人測(cè)得桿長(zhǎng)是l0，沿著桿的方向，以v相對(duì)桿運(yùn)動(dòng)的人測(cè)得桿長(zhǎng)是l，那么兩者之間的關(guān)系是l＝eq\x(\s\up1(05))l0eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))2)。2．牛頓力學(xué)的成就與局限性(1)牛頓力學(xué)的成就牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)是eq\x(\s\up1(06))牛頓運(yùn)動(dòng)定律。牛頓力學(xué)在eq\x(\s\up1(07))宏觀、eq\x(\s\up1(08))低速的廣闊領(lǐng)域里與實(shí)際相符，顯示了牛頓運(yùn)動(dòng)定律的正確性和牛頓力學(xué)的魅力。(2)牛頓力學(xué)的局限性①物體在以接近eq\x(\s\up1(09))光速運(yùn)動(dòng)時(shí)所遵從的規(guī)律，有些是與牛頓力學(xué)的結(jié)論并不相同的。②電子、質(zhì)子、中子等微觀粒子不僅具有粒子性，同時(shí)還具有eq\x(\s\up1(10))波動(dòng)性，它們的運(yùn)動(dòng)規(guī)律在很多情況下不能用牛頓力學(xué)來(lái)說(shuō)明，而eq\x(\s\up1(11))量子力學(xué)能夠很好地描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。③基于實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的牛頓力學(xué)不會(huì)被新的科學(xué)成就所否定，而是作為某些條件下的eq\x(\s\up1(12))特殊情形，被包括在新的科學(xué)成就之中。當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)速度eq\x(\s\up1(13))遠(yuǎn)小于光速c時(shí)，eq\x(\s\up1(14))相對(duì)論物理學(xué)與牛頓力學(xué)的結(jié)論沒(méi)有區(qū)別；當(dāng)另一個(gè)重要常數(shù)即普朗克常量h可以忽略不計(jì)時(shí)，eq\x(\s\up1(15))量子力學(xué)和牛頓力學(xué)的結(jié)論沒(méi)有區(qū)別。相對(duì)論與量子力學(xué)都沒(méi)有否定過(guò)去的科學(xué)，而只認(rèn)為過(guò)去的科學(xué)是自己在eq\x(\s\up1(16))一定條件下的特殊情形。一堵點(diǎn)疏通1．只有天體之間才存在萬(wàn)有引力。()2．行星在橢圓軌道上的運(yùn)行速率是變化的，離太陽(yáng)越遠(yuǎn)，運(yùn)行速率越小。()3．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)，其軌道平面一定過(guò)地心。()4．地球同步衛(wèi)星一定在赤道的正上方。()5．同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度一定小于地球第一宇宙速度。()6．發(fā)射火星探測(cè)器的速度必須大于11.2km/s。()答案1.×2.√3.√4.√5.√6.√二對(duì)點(diǎn)激活1．關(guān)于萬(wàn)有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)，以下說(shuō)法中正確的是()A．公式只適用于星球之間的引力計(jì)算，不適用于質(zhì)量較小的物體B．當(dāng)兩物體間的距離趨近于0時(shí)，萬(wàn)有引力趨近于無(wú)窮大C．兩物體間的萬(wàn)有引力也遵從牛頓第三定律D．公式中引力常量G的值是牛頓規(guī)定的答案C解析萬(wàn)有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)適用于質(zhì)點(diǎn)或均勻球體間引力的計(jì)算，當(dāng)兩物體間距離趨近于0時(shí)，兩個(gè)物體就不能看作質(zhì)點(diǎn)，故F＝Geq\f(m1m2,r2)已不再適用，所以不能說(shuō)萬(wàn)有引力趨近于無(wú)窮大，故A、B錯(cuò)誤；兩物體間的萬(wàn)有引力也遵從牛頓第三定律，C正確；G的值是卡文迪什通過(guò)扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)得的，D錯(cuò)誤。2．(人教版必修第二冊(cè)·P64·T4改編)火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的eq\f(1,10)和eq\f(1,2)，地球的第一宇宙速度為v，則火星的第一宇宙速度約為()A．eq\f(\r(5),5)v B．eq\r(5)vC．eq\r(2)v D．eq\f(\r(2),2)v答案A解析由eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)求得第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，故eq\f(v火,v)＝eq\r(\f(M火,M)·\f(R,R火))＝eq\r(\f(1,5))，所以v火＝eq\f(\r(5),5)v，故A正確。3．(人教版必修第二冊(cè)·P58·T4節(jié)選)地球的公轉(zhuǎn)軌道接近圓，但彗星的運(yùn)動(dòng)軌道則是一個(gè)非常扁的橢圓，如圖所示，天文學(xué)家哈雷成功預(yù)言哈雷彗星的回歸，哈雷彗星最近出現(xiàn)的時(shí)間是1986年，預(yù)測(cè)下次飛近地球?qū)⒃?061年左右。請(qǐng)根據(jù)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律估算哈雷彗星軌道的半長(zhǎng)軸是地球公轉(zhuǎn)半徑的多少倍。答案17.8解析設(shè)地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道半徑為R0，周期為T(mén)0，哈雷彗星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道半長(zhǎng)軸為a，周期為T(mén)，由題意可知T＝2061年－1986年＝75年，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，有eq\f(a3,T2)＝eq\f(R\o\al(3,0),T\o\al(2,0))，則eq\f(a,R0)＝eq\r(3,\f(T2,T\o\al(2,0)))≈17.8?？键c(diǎn)1開(kāi)普勒三定律的理解與應(yīng)用[科學(xué)思維梳理]1．微元法解讀開(kāi)普勒第二定律：行星在近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速度方向與兩點(diǎn)連線垂直，若行星在近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離分別為a、b，取足夠短的時(shí)間Δt，則行星在Δt時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)可看作勻速直線運(yùn)動(dòng)，由Sa＝Sb知eq\f(1,2)va·Δt·a＝eq\f(1,2)vb·Δt·b，可得va＝eq\f(vbb,a)。行星到太陽(yáng)的距離越大，行星的速率越小，反之越大。2．行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)通常按勻速圓周運(yùn)動(dòng)處理。3．開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)。4．開(kāi)普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同，故該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間。例1(2017·全國(guó)卷Ⅱ)(多選)如圖，海王星繞太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，P為近日點(diǎn)，Q為遠(yuǎn)日點(diǎn)，M、N為軌道短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，運(yùn)行的周期為T(mén)0。若只考慮海王星和太陽(yáng)之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)M、Q到N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中()A．從P到M所用的時(shí)間等于eq\f(T0,4)B．從Q到N階段，機(jī)械能逐漸變大C．從P到Q階段，速率逐漸變小D．從M到N階段，萬(wàn)有引力對(duì)它先做負(fù)功后做正功[答案]CD[解析]由開(kāi)普勒第二定律可知，相等時(shí)間內(nèi)，太陽(yáng)與海王星連線掃過(guò)的面積都相等，A錯(cuò)誤；由機(jī)械能守恒定律知，從Q到N階段，除萬(wàn)有引力做功之外，沒(méi)有其他的力對(duì)海王星做功，故機(jī)械能守恒，B錯(cuò)誤；從P到Q階段，萬(wàn)有引力做負(fù)功，動(dòng)能轉(zhuǎn)化成海王星的勢(shì)能，所以動(dòng)能減小，速率逐漸變小，C正確；從M到N階段，萬(wàn)有引力與速度的夾角先是鈍角后是銳角，即萬(wàn)有引力對(duì)它先做負(fù)功后做正功，D正確。[關(guān)鍵能力升華]繞太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)行的行星越靠近近日點(diǎn)線速度越大，線速度大小與行星到太陽(yáng)的距離成反比，在近日點(diǎn)線速度最大。[對(duì)點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練](開(kāi)普勒第三定律的應(yīng)用)(2021·全國(guó)甲卷)2021年2月，執(zhí)行我國(guó)火星探測(cè)任務(wù)的“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器在成功實(shí)施三次近火制動(dòng)后，進(jìn)入運(yùn)行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m。已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問(wèn)一號(hào)”的停泊軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離約為()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m答案C解析設(shè)沿火星表面運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的繞行周期為T(mén)0，則有Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T0)))2R，在火星表面處有eq\f(GMm,R2)＝mg，聯(lián)立可得T0＝2πeq\r(\f(R,g))；設(shè)“天問(wèn)一號(hào)”的停泊軌道與火星表面的最近距離為d1，最遠(yuǎn)距離為d2，則停泊軌道的半長(zhǎng)軸為a＝eq\f(d1＋d2＋2R,2)，由開(kāi)普勒第三定律可知eq\f(a3,T2)＝eq\f(R3,T\o\al(2,0))，由以上各式聯(lián)立，可得d2＝2eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－d1－2R≈6×107m，故C正確。考點(diǎn)2萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用考向1萬(wàn)有引力定律的理解及簡(jiǎn)單應(yīng)用[科學(xué)思維梳理]1．萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力F可分解為：重力mg、提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg0。(3)在一般位置：萬(wàn)有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg與向心力F向的矢量和。越靠近南、北兩極，向心力越小，g值越大。由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，通?？烧J(rèn)為萬(wàn)有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg。2．星球上空的重力加速度g′設(shè)星球上空距離星體中心r＝R＋h處的重力加速度為g′，則mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq\f(GM,R＋h2)，所以eq\f(g,g′)＝eq\f(R＋h2,R2)。3．萬(wàn)有引力的“兩點(diǎn)理解”和“兩個(gè)推論”(1)兩點(diǎn)理解①兩物體相互作用的萬(wàn)有引力是一對(duì)作用力和反作用力。②地球上的物體(兩極除外)受到的重力只是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力。(2)兩個(gè)推論①推論1：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬(wàn)有引力的合力為零，即∑F引＝0。②推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的球體其他部分物質(zhì)的萬(wàn)有引力，等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對(duì)其的萬(wàn)有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2)。4．萬(wàn)有引力定律的表達(dá)式F＝Geq\f(m1m2,r2)適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)或勻質(zhì)球體間的萬(wàn)有引力。當(dāng)物體間的作用力不符合萬(wàn)有引力公式的適用條件時(shí)，可以把物體分成若干部分，求出兩物體每部分之間的萬(wàn)有引力，然后求它們的合力。例2(2020·全國(guó)卷Ⅰ)火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為()A．0.2 B．0.4C．2.0 D．2.5[答案]B[解析]設(shè)該物體質(zhì)量為m，則在火星表面有F火＝Geq\f(M火m,R\o\al(2,火))，在地球表面有F地＝Geq\f(M地m,R\o\al(2,地))，由題意知eq\f(M火,M地)＝eq\f(1,10)，eq\f(R火,R地)＝eq\f(1,2)。聯(lián)立以上各式可得eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火,M地)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R地,R火)))2＝eq\f(1,10)×eq\f(4,1)＝0.4，故B正確。[對(duì)點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用)(2021·山東高考)從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國(guó)星際探測(cè)事業(yè)實(shí)現(xiàn)了由地月系到行星際的跨越。已知火星質(zhì)量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車(chē)的質(zhì)量約為“玉兔”月球車(chē)的2倍。在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會(huì)經(jīng)歷一個(gè)由著陸平臺(tái)支撐的懸停過(guò)程。懸停時(shí)，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺(tái)的作用力大小之比為()A．9∶1 B．9∶2C．36∶1 D．72∶1答案B解析懸停時(shí)，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺(tái)的作用力等于各自所受的萬(wàn)有引力，根據(jù)F＝Geq\f(Mm,R2)，可得eq\f(F祝融,F玉兔)＝eq\f(M火,M月)×eq\f(m祝融,m玉兔)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R月,R火)))2＝9×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(9,2)，故選B。2．(萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用)理論上已經(jīng)證明：質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的萬(wàn)有引力為零。現(xiàn)假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的實(shí)心球體，O為球心，以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸Ox，如圖所示。一個(gè)質(zhì)量一定的質(zhì)點(diǎn)(假設(shè)它能夠在地球內(nèi)部移動(dòng))在x軸上各位置受到的引力大小用F表示，則F隨x的變化關(guān)系圖像正確的是()答案A解析根據(jù)題意，質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在地球的內(nèi)部離球心x處時(shí)，受到地球的萬(wàn)有引力即為半徑等于x的同心球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力，所以F＝Geq\f(ρ·\f(4πx3,3)·m,x2)＝Geq\f(4πρm,3)x，其中ρ為地球的密度，m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量；當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在地球球面或球面以外，離球心x處時(shí)，地球可以看成質(zhì)量集中于球心的質(zhì)點(diǎn)，對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力F＝Geq\f(Mm,x2)，其中M為地球的質(zhì)量。綜上所述，當(dāng)x<R時(shí)，F(xiàn)與x成正比，當(dāng)x≥R后，F(xiàn)與x的平方成反比，所以A正確?？枷?天體質(zhì)量和密度的估算[科學(xué)思維梳理]1．重力加速度法：利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．天體環(huán)繞法：測(cè)出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可見(jiàn)，只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度。注：若已知的量不是r、T，而是r、v或v、T等，計(jì)算中心天體質(zhì)量和密度的思路相同。若已知r、v，利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得M＝eq\f(v2r,G)。若已知v、T，可先求出r＝eq\f(vT,2π)，再利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)或Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r求M。若已知ω、T則不能求出M。例3(2021·廣東高考)2021年4月，我國(guó)自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運(yùn)行。若核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量，由下列物理量能計(jì)算出地球質(zhì)量的是()A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期C．核心艙的繞地角速度和繞地周期D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑[答案]D[解析]根據(jù)核心艙做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由地球的萬(wàn)有引力提供，可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r，則M＝eq\f(v2r,G)＝eq\f(ω2r3,G)＝eq\f(4π2r3,GT2)，可知要計(jì)算地球的質(zhì)量M，除引力常量G外，還要知道核心艙的繞地半徑r及繞地線速度v、繞地角速度ω或繞地周期T中的一個(gè)。所以若已知核心艙的質(zhì)量和繞地半徑或已知核心艙的質(zhì)量和繞地周期，都不能計(jì)算出地球的質(zhì)量；若已知核心艙的繞地角速度和繞地周期，不能計(jì)算出核心艙的繞地半徑，也不能計(jì)算出地球的質(zhì)量；若已知核心艙的繞地線速度和繞地半徑，可由M＝eq\f(v2r,G)計(jì)算出地球的質(zhì)量。故D正確，A、B、C錯(cuò)誤。[關(guān)鍵能力升華]估算天體質(zhì)量和密度時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)利用萬(wàn)有引力提供天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力估算天體質(zhì)量時(shí)，估算的是中心天體的質(zhì)量，并非環(huán)繞天體的質(zhì)量。(2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星才有r≈R；計(jì)算天體密度時(shí)，V＝eq\f(4,3)πR3中的R只能是中心天體的半徑。(3)在考慮中心天體自轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)，只有在兩極處才有eq\f(GMm,R2)＝mg。[對(duì)點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練](天體質(zhì)量的求解)(2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，不能計(jì)算出地球質(zhì)量的是()A．地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉(zhuǎn))B．人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度及周期C．月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及月球與地球間的距離D．地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及地球與太陽(yáng)間的距離答案D解析根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg可知，已知地球的半徑及重力加速度可計(jì)算出地球的質(zhì)量，A能；根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)及v＝eq\f(2πR,T)可知，已知人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度及周期可計(jì)算出地球的質(zhì)量，B能；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可知，已知月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及月球與地球間的距離，可計(jì)算出地球的質(zhì)量，C能；已知地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及地球與太陽(yáng)間的距離只能求出太陽(yáng)的質(zhì)量，不能求出地球的質(zhì)量，D不能。考點(diǎn)3人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律[科學(xué)思維梳理]1．人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(1)一種模型：無(wú)論自然天體(如地球、月亮)還是人造天體(如宇宙飛船、人造衛(wèi)星)都可以看成質(zhì)點(diǎn)，圍繞中心天體(視為靜止)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)兩條思路①萬(wàn)有引力提供向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝man。②天體對(duì)其表面的物體的萬(wàn)有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg或gR2＝GM(R、g分別是天體的半徑、表面重力加速度)，公式gR2＝GM應(yīng)用廣泛，被稱(chēng)為“黃金代換”。(3)地球衛(wèi)星的運(yùn)行參數(shù)(將衛(wèi)星軌道視為圓)物理量推導(dǎo)依據(jù)表達(dá)式最大值或最小值線速度Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)v＝eq\r(\f(GM,r))當(dāng)r＝R時(shí)有最大值，v＝7.9km/s角速度Geq\f(Mm,r2)＝mω2rω＝eq\r(\f(GM,r3))當(dāng)r＝R時(shí)有最大值周期Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2rT＝2πeq\r(\f(r3,GM))當(dāng)r＝R時(shí)有最小值，約85min向心加速度Geq\f(Mm,r2)＝manan＝eq\f(GM,r2)當(dāng)r＝R時(shí)有最大值，最大值為g軌道平面圓周運(yùn)動(dòng)的圓心與中心天體中心重合共性：軌道半徑越小，運(yùn)動(dòng)越快，周期越小2．地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)(1)軌道平面一定：軌道平面和赤道平面重合。(2)周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝24h＝86400s。(3)角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同。(4)高度一定：據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))＝4.23×104km，衛(wèi)星離地面高度h＝r－R≈6R(為恒量)。(5)繞行方向一定：與地球自轉(zhuǎn)的方向一致。3．極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過(guò)南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋。(2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為7.9km/s。(3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過(guò)地球的球心。例4(2021·海南高考)2021年4月29日，我國(guó)在海南文昌用長(zhǎng)征五號(hào)B運(yùn)載火箭成功將空間站天和核心艙送入預(yù)定軌道。核心艙運(yùn)行軌道距地面的高度為400km左右，地球同步衛(wèi)星距地面的高度接近36000km。則該核心艙的()A．角速度比地球同步衛(wèi)星的小B．周期比地球同步衛(wèi)星的長(zhǎng)C．向心加速度比地球同步衛(wèi)星的大D．線速度比地球同步衛(wèi)星的小[答案]C[解析]核心艙和地球同步衛(wèi)星都是由萬(wàn)有引力提供向心力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有Geq\f(Mm,r2)＝mω2r＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r＝ma＝meq\f(v2,r)，可得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，而核心艙運(yùn)行軌道距地面的高度為400km左右，地球同步衛(wèi)星距地面的高度接近36000km，有r艙<r同，故有ω艙>ω同，T艙<T同，a艙>a同，v艙>v同，即核心艙的角速度比地球同步衛(wèi)星的大，周期比地球同步衛(wèi)星的短，向心加速度比地球同步衛(wèi)星的大，線速度比地球同步衛(wèi)星的大，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確。[關(guān)鍵能力升華]人造衛(wèi)星問(wèn)題的解題技巧(1)靈活運(yùn)用衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程的不同表述形式：Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r＝m(2πf)2r。(2)第一宇宙速度的兩種計(jì)算方法：①v＝eq\r(\f(GM,R))＝7.9km/s；②v＝eq\r(Rg)＝7.9km/s。(3)同步衛(wèi)星的特點(diǎn)：①具有特定的線速度、角速度和周期；②具有特定的位置高度和軌道半徑；③運(yùn)行軌道平面必須處于地球赤道平面上。注：比較衛(wèi)星與地球表面的物體的運(yùn)動(dòng)參量時(shí)，可以間接通過(guò)比較衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的參量來(lái)確定。(4)天體相遇與追及問(wèn)題的處理方法首先根據(jù)eq\f(GMm,r2)＝mrω2判斷出誰(shuí)的角速度大，然后根據(jù)兩星轉(zhuǎn)動(dòng)的角度關(guān)系求解。當(dāng)兩星追上或相距最近時(shí)滿足兩星運(yùn)動(dòng)的角度差等于2π的整數(shù)倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1,2,3…)，相距最遠(yuǎn)時(shí)兩星運(yùn)行的角度差等于π的奇數(shù)倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0,1，2…)。[對(duì)點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律)(2020·北京高考)我國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)被命名為“天問(wèn)一號(hào)”。已知火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的10%，半徑約為地球半徑的50%，下列說(shuō)法正確的是()A．火星探測(cè)器的發(fā)射速度應(yīng)大于地球的第二宇宙速度B．火星探測(cè)器的發(fā)射速度應(yīng)介于地球的第一和第二宇宙速度之間C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度答案A解析當(dāng)發(fā)射速度大于地球的第二宇宙速度時(shí)，火星探測(cè)器才能克服地球引力的束縛進(jìn)入太陽(yáng)系空間，從而被火星引力俘獲，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于在星球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，所受萬(wàn)有引力提供向心力，則有eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)，解得該星球的第一宇宙速度為v1＝eq\r(\f(GM,R))，所以火星的第一宇宙速度為v火＝eq\r(\f(GM火,R火))＝eq\r(\f(10%GM地,50%R地))＝eq\f(\r(5),5)v地，即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C錯(cuò)誤；對(duì)于在星球表面的物體，忽略星球的自轉(zhuǎn)，則所受萬(wàn)有引力近似等于物體在該星球所受的重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg星，解得該星球表面的重力加速度g星＝eq\f(GM,R2)，所以火星表面的重力加速度為g火＝eq\f(GM火,R\o\al(2,火))＝eq\f(10%GM地,50%2R\o\al(2,地))＝eq\f(2,5)g地，即火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D錯(cuò)誤。2．(人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律)(2021·遼寧高考)(多選)2021年2月，我國(guó)首個(gè)火星探測(cè)器“天問(wèn)一號(hào)”實(shí)現(xiàn)了對(duì)火星的環(huán)繞。若已知該探測(cè)器在近火星圓軌道與在近地球圓軌道運(yùn)行的速率比和周期比，則可求出火星與地球的()A．半徑比 B．質(zhì)量比C．自轉(zhuǎn)角速度比 D．公轉(zhuǎn)軌道半徑比答案AB解析設(shè)該探測(cè)器在近火星圓軌道與在近地球圓軌道運(yùn)行的速率比eq\f(v火,v地)＝a，周期比eq\f(T火,T地)＝b。探測(cè)器在近星球軌道做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑等于星球的半徑，所以根據(jù)2πR＝vT可得火星與地球的半徑比eq\f(R火,R地)＝eq\f(v火,v地)·eq\f(T火,T地)＝ab，故A正確；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得M＝eq\f(v2R,G)，所以火星與地球的質(zhì)量比eq\f(M火,M地)＝eq\f(v\o\al(2,火),v\o\al(2,地))·eq\f(R火,R地)＝a2·ab＝a3b，故B正確；由于不知道火星與地球的同步衛(wèi)星軌道半徑比或自轉(zhuǎn)周期比，所以無(wú)法求解火星與地球的自轉(zhuǎn)角速度比，故C錯(cuò)誤；由于不知道火星與地球圍繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的速度比或周期比，所以無(wú)法求解火星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑比，故D錯(cuò)誤。3．(綜合)有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星：a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球表面一起轉(zhuǎn)動(dòng)；b在地球的近地圓軌道上正常運(yùn)行；c是地球同步衛(wèi)星；d是高空探測(cè)衛(wèi)星。各衛(wèi)星排列位置如圖，則下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)的向心加速度大于b的向心加速度B．四顆衛(wèi)星的速度大小關(guān)系是：va＞vb＞vc＞vdC．在相同時(shí)間內(nèi)d轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)D．d的運(yùn)動(dòng)周期可能是30h答案D解析由題意可知，衛(wèi)星a、c的角速度相同，根據(jù)an＝ω2r，可知a的向心加速度小于c；b、c是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有：Geq\f(Mm,r2)＝man，得：an＝eq\f(GM,r2)，可知b的向心加速度大于c；綜上分析可知，a的向心加速度小于b的向心加速度，故A錯(cuò)誤。因?yàn)閍、c的角速度相同，根據(jù)v＝ωr，可知a的速度大小小于c，即va＜vc；b、c、d是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得：v＝eq\r(\f(GM,r))，因rb＜rc＜rd，則vb＞vc＞vd，故B錯(cuò)誤。因b的線速度最大，則在相同時(shí)間內(nèi)b轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤。c、d是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因d的軌道半徑大于c的軌道半徑，則d的周期大于c，而c的周期是24h，則d的運(yùn)動(dòng)周期可能是30h，故D正確。4．(天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律)(2021·湖北高考)2021年5月，天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器軟著陸火星取得成功，邁出了我國(guó)星際探測(cè)征程的重要一步?；鹦桥c地球公轉(zhuǎn)軌道近似為圓，兩軌道平面近似重合，且火星與地球公轉(zhuǎn)方向相同?；鹦桥c地球每隔約26個(gè)月相距最近，地球公轉(zhuǎn)周期為12個(gè)月。由以上條件可以近似得出()A．地球與火星的動(dòng)能之比B．地球與火星的自轉(zhuǎn)周期之比C．地球表面與火星表面重力加速度大小之比D．地球與火星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小之比答案D解析設(shè)地球和火星的公轉(zhuǎn)周期分別為T(mén)1、T2，由題意知火星和地球每隔約t＝26個(gè)月相距最近一次，又火星的軌道半徑大于地球的軌道半徑，則eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝1，可解得T2＝eq\f(156,7)月，則地球與火星繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)周期之比T1∶T2＝12∶eq\f(156,7)＝7∶13，但不能求得地球與火星的自轉(zhuǎn)周期之比，B錯(cuò)誤；由開(kāi)普勒第三定律eq\f(r\o\al(3,1),r\o\al(3,2))＝eq\f(T\o\al(2,1),T\o\al(2,2))可求得地球與火星的軌道半徑之比，又由Geq\f(M太M星,r2)＝M星eq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM太,r))，則地球與火星的線速度之比可以求得，但由于地球與火星的質(zhì)量關(guān)系未知，因此不能求得地球與火星的動(dòng)能之比，A錯(cuò)誤；由Geq\f(M星m,R2)＝mg得g＝eq\f(GM星,R2)，由于地球和火星的質(zhì)量關(guān)系以及半徑關(guān)系均未知，則不能求得地球表面與火星表面重力加速度大小之比，C錯(cuò)誤；由Geq\f(M太M星,r2)＝M星a得a＝eq\f(GM太,r2)，由于兩星球的軌道半徑之比可以求得，則地球與火星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小之比可以求得，D正確?？键c(diǎn)4衛(wèi)星變軌問(wèn)題[科學(xué)思維梳理]當(dāng)衛(wèi)星開(kāi)啟發(fā)動(dòng)機(jī)，或者受空氣阻力作用時(shí)，萬(wàn)有引力不再等于衛(wèi)星所需向心力，衛(wèi)星的軌道將發(fā)生變化。1．衛(wèi)星軌道的漸變(1)當(dāng)衛(wèi)星的速度增加時(shí)，Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，即萬(wàn)有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)，脫離原來(lái)的圓軌道，如果速度增加很緩慢，衛(wèi)星每轉(zhuǎn)一周均可看成做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，軌道半徑變大，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道運(yùn)行時(shí)，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其運(yùn)行速度比在原軌道時(shí)小。例如，由于地球的自轉(zhuǎn)和潮汐力，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑緩慢增大，每年月球遠(yuǎn)離地球3.8厘米。(2)當(dāng)衛(wèi)星的速度減小時(shí)，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，即萬(wàn)有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng)，脫離原來(lái)的圓軌道，如果速度減小很緩慢，衛(wèi)星每轉(zhuǎn)一周均可看成做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，軌道半徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道運(yùn)行時(shí)，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其運(yùn)行速度比在原軌道時(shí)大。例如，人造衛(wèi)星受到高空稀薄大氣的摩擦力，軌道高度不斷降低。2．衛(wèi)星軌道的突變：由于技術(shù)上的需要，有時(shí)要在適當(dāng)?shù)奈恢枚虝r(shí)間內(nèi)啟動(dòng)飛行器上的發(fā)動(dòng)機(jī)，使飛行器軌道發(fā)生突變，使其進(jìn)入預(yù)定的軌道。如圖所示，發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí)，可以分多過(guò)程完成：(1)先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道Ⅰ，使其繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率為v1。(2)變軌時(shí)在P點(diǎn)點(diǎn)火加速，短時(shí)間內(nèi)將速率由v1增加到v2，這時(shí)eq\f(GMm,r2)<meq\f(v2,r)，衛(wèi)星脫離原軌道做離心運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入橢圓形的轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ。(3)衛(wèi)星運(yùn)行到遠(yuǎn)地點(diǎn)Q時(shí)的速率為v3，此時(shí)進(jìn)行第二次點(diǎn)火加速，在短時(shí)間內(nèi)將速率由v3增加到v4，使衛(wèi)星進(jìn)入同步軌道Ⅲ，繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。飛船和空間站的對(duì)接過(guò)程與此類(lèi)似。衛(wèi)星的回收過(guò)程和飛船的返回則是相反的過(guò)程，通過(guò)突然減速，eq\f(GMm,r2)>meq\f(v2,r)，變軌到低軌道，最后在橢圓軌道的近地點(diǎn)處返回地面。3．衛(wèi)星變軌時(shí)一些物理量的定性分析(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ、Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v4，在軌道Ⅱ上過(guò)P、Q點(diǎn)時(shí)的速率分別為v2、v3，在P點(diǎn)加速，則v2>v1；在Q點(diǎn)加速，則v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。(2)加速度：因?yàn)樵赑點(diǎn)不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò)，P點(diǎn)到地心的距離都相同，衛(wèi)星的加速度都相同，設(shè)為aP。同理，在Q點(diǎn)加速度也相同，設(shè)為aQ。又因Q點(diǎn)到地心的距離大于P點(diǎn)到地心的距離，所以aQ<aP。(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運(yùn)行周期分別為T(mén)1、T2、T3，軌道半徑或半長(zhǎng)軸分別為r1、r2、r3，由eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。例5(2021·天津高考)2021年5月15日，天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器著陸火星取得成功，邁出了我國(guó)星際探測(cè)征程的重要一步，在火星上首次留下國(guó)人的印跡。天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器成功發(fā)射后，順利被火星捕獲，成為我國(guó)第一顆人造火星衛(wèi)星。經(jīng)過(guò)軌道調(diào)整，探測(cè)器先沿橢圓軌道Ⅰ運(yùn)行，之后進(jìn)入稱(chēng)為火星停泊軌道的橢圓軌道Ⅱ運(yùn)行，如圖所示，兩軌道相切于近火點(diǎn)P，則天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器()A．在軌道Ⅱ上處于受力平衡狀態(tài)B．在軌道Ⅰ運(yùn)行周期比在Ⅱ時(shí)短C．從軌道Ⅰ進(jìn)入Ⅱ在P處要加速D．沿軌道Ⅰ向P飛近時(shí)速度增大[答案]D[解析]天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器在軌道Ⅱ上做變速運(yùn)動(dòng)，受力不平衡，故A錯(cuò)誤；軌道Ⅰ的半長(zhǎng)軸大于軌道Ⅱ的半長(zhǎng)軸，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律可知，在軌道Ⅰ運(yùn)行周期比在Ⅱ時(shí)長(zhǎng)，故B錯(cuò)誤；天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器從軌道Ⅰ進(jìn)入Ⅱ，是從高軌道進(jìn)入低軌道，則應(yīng)在P處減速，故C錯(cuò)誤；天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器沿軌道Ⅰ向P飛近時(shí)，萬(wàn)有引力做正功，動(dòng)能增大，速度增大，故D正確。[關(guān)鍵能力升華]航天器變軌問(wèn)題的三點(diǎn)注意事項(xiàng)(1)航天器變軌時(shí)半徑(半長(zhǎng)軸)的變化，根據(jù)萬(wàn)有引力和所需向心力的大小關(guān)系判斷；穩(wěn)定在新圓軌道上的運(yùn)行速度變化由v＝eq\r(\f(GM,r))判斷。兩個(gè)不同軌道的“切點(diǎn)”處線速度不相等，同一橢圓上近地點(diǎn)的線速度大于遠(yuǎn)地點(diǎn)的線速度。(2)航天器在不同軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能不同，軌道半徑(半長(zhǎng)軸)越大，機(jī)械能越大。只考慮萬(wàn)有引力作用，不考慮其他阻力影響，航天器在同一軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)械能守恒。在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，從遠(yuǎn)地點(diǎn)到近地點(diǎn)，萬(wàn)有引力對(duì)航天器做正功，動(dòng)能Ek增大，引力勢(shì)能減小。(3)兩個(gè)不同軌道的“切點(diǎn)”處加速度a相同。[對(duì)點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(衛(wèi)星變軌問(wèn)題)(2021·福建省廈門(mén)市高三三模)(多選)“嫦娥五號(hào)”從環(huán)月軌道Ⅰ上的P點(diǎn)實(shí)施變軌，進(jìn)入近月點(diǎn)為Q的環(huán)月軌道Ⅱ，如圖所示，則“嫦娥五號(hào)”()A．在軌道Ⅱ上的機(jī)械能比在軌道Ⅰ上的機(jī)械能小B．在軌道Ⅱ運(yùn)行的周期比在軌道Ⅰ上運(yùn)行的周期大C．沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)至P點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)火后發(fā)動(dòng)機(jī)噴氣方向與運(yùn)動(dòng)方向相同才能進(jìn)入軌道ⅡD．沿軌道Ⅱ運(yùn)行在P點(diǎn)的加速度大于沿軌道Ⅰ運(yùn)行在P點(diǎn)的加速度答案AC解析同一衛(wèi)星繞行的軌道半徑(或半長(zhǎng)軸)越大機(jī)械能越大，故可知“嫦娥五號(hào)”在軌道Ⅱ上機(jī)械能小，A正確；由開(kāi)普勒第三定律可知，“嫦娥五號(hào)”在軌道Ⅱ運(yùn)行的周期比在軌道Ⅰ上運(yùn)行的周期小，故B錯(cuò)誤；“嫦娥五號(hào)”沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)至P點(diǎn)時(shí)進(jìn)入軌道Ⅱ，需要制動(dòng)減速，所以點(diǎn)火后發(fā)動(dòng)機(jī)噴氣方向與運(yùn)動(dòng)方向相同，故C正確；由牛頓第二定律可知，“嫦娥五號(hào)”沿軌道Ⅱ和軌道Ⅰ運(yùn)行到P點(diǎn)的加速度相同，故D錯(cuò)誤。2．(衛(wèi)星變軌問(wèn)題)(2021·浙江6月選考)空間站在地球外層的稀薄大氣中繞行，因氣體阻力的影響，軌道高度會(huì)發(fā)生變化。空間站安裝有發(fā)動(dòng)機(jī)，可對(duì)軌道進(jìn)行修正。圖中給出了國(guó)際空間站在2020.02～2020.08期間離地高度隨時(shí)間變化的曲線，則空間站()A．繞地運(yùn)行速度約為2.0km/sB．繞地運(yùn)行速度約為8.0km/sC．在4月份繞行的任意兩小時(shí)內(nèi)機(jī)械能可視為守恒D．在5月份繞行的任意兩小時(shí)內(nèi)機(jī)械能可視為守恒答案D解析由題意可知，空間站繞地運(yùn)行的軌道半徑略大于地球半徑，根據(jù)v＝eq\r(\f(GM,r))可知，空間站繞地運(yùn)行速度略小于地球的第一宇宙速度7.9km/s，故A、B錯(cuò)誤；由圖中曲線知，在4月份空間站繞行的軌道半徑出現(xiàn)明顯變化，則可知空間站的發(fā)動(dòng)機(jī)做功對(duì)軌道進(jìn)行了修正，修正時(shí)空間站的機(jī)械能明顯變大，不可視為守恒，故C錯(cuò)誤；由圖中曲線知，在5月份空間站繞行的軌道半徑變化很小，故任意兩個(gè)小時(shí)內(nèi)機(jī)械能可視為守恒，D正確。建模提能2雙星、多星模型前面我們討論的是類(lèi)似太陽(yáng)系的單星系統(tǒng)，其特點(diǎn)是有一個(gè)主星，質(zhì)量遠(yuǎn)大于周?chē)钠渌求w，可以看成近似不動(dòng)，所以其他星體繞它運(yùn)動(dòng)。除此之外，在宇宙空間，還存在兩顆或多顆質(zhì)量差別不大的星體，它們離其他星體很遠(yuǎn)，在彼此間的萬(wàn)有引力作用下運(yùn)動(dòng)，組成雙星或多星系統(tǒng)。雙星系統(tǒng)軌道比較穩(wěn)定，很常見(jiàn)，三星及其他更多星體的系統(tǒng)軌道不穩(wěn)定，非常罕見(jiàn)。下面介紹具有代表性的雙星模型和三星模型。1雙星模型(1)兩顆星體繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖1所示。(2)特點(diǎn)①各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力相互提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2。②兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1＋r2＝L。④兩顆星到軌道圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)。⑤雙星的運(yùn)動(dòng)周期T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))。⑥雙星的總質(zhì)量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)。2三星模型(1)三星系統(tǒng)繞共同圓心在同一平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)比較穩(wěn)定，三顆星的質(zhì)量一般不同，其軌道如圖2所示。每顆星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由其他星體對(duì)該星體的萬(wàn)有引力的合力提供。(2)特點(diǎn)：對(duì)于這種穩(wěn)定的軌道，除中央星體外(如果有)，每顆星體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同，運(yùn)行的角速度、周期相同。(3)理想情況下，它們的位置具有對(duì)稱(chēng)性，下面介紹兩種特殊的對(duì)稱(chēng)軌道。①三顆星位于同一直線上，兩顆質(zhì)量均為m的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行(如圖3甲所示)。②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上(如圖3乙所示)。【典題例證】“雙星系統(tǒng)”由相距較近的星球組成，每個(gè)星球的半徑均遠(yuǎn)小于兩者之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體，它們?cè)诒舜说娜f(wàn)有引力作用下，繞某一點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示，某一雙星系統(tǒng)中A星球的質(zhì)量為m1，B星球的質(zhì)量為m2，它們球心之間的距離為L(zhǎng)，引力常量為G，則下列說(shuō)法正確的是()A．B星球的軌道半徑為eq\f(m2,m1＋m2)LB．A星球運(yùn)行的周期為2πLeq\r(\f(L,Gm1＋m2))C．A星球和B星球的線速度大小之比為m1∶m2D．若在O點(diǎn)放一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則它受到兩星球的引力之和一定為零[答案]B[解析]由于兩星球的周期相同，則它們的角速度也相同，設(shè)兩星球運(yùn)行的角速度為ω，軌道半徑分別為r1、r2，根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)A星球有：Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，對(duì)B星球有：Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2，得r1∶r2＝m2∶m1，又r1＋r2＝L，得r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq\f(m1,m1＋m2)L，A錯(cuò)誤；根據(jù)Geq\f(m1m2,L2)＝m1eq\f(4π2,T2)r1，r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，解得A星球運(yùn)行的周期T＝2πL·eq\r(\f(L,Gm1＋m2))，B正確；A星球和B星球的線速度大小之比eq\f(vA,vB)＝eq\f(ωr1,ωr2)＝eq\f(m2,m1)，C錯(cuò)誤；O點(diǎn)處質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受到B星球的萬(wàn)有引力FB＝eq\f(Gm2m,r\o\al(2,2))＝eq\f(Gm2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m1,m1＋m2)L))2)，受到A星球的萬(wàn)有引力FA＝eq\f(Gm1m,r\o\al(2,1))＝eq\f(Gm1m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,m1＋m2)L))2)，故該質(zhì)點(diǎn)受到兩星球的引力之和不為零，D錯(cuò)誤?！久麕燑c(diǎn)睛】解決雙星、多星問(wèn)題，要抓住四點(diǎn)(1)根據(jù)雙星或多星的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)及規(guī)律，確定系統(tǒng)的中心以及運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。(2)星體的向心力由其他天體的萬(wàn)有引力的合力提供。(3)星體的角速度相等。(4)星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識(shí)，尋找兩者之間的關(guān)系，正確計(jì)算萬(wàn)有引力和向心力?！踞槍?duì)訓(xùn)練】1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)(多選)2017年，人類(lèi)第一次直接探測(cè)到來(lái)自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過(guò)程，在兩顆中子星合并前約100s時(shí)，它們相距約400km，繞二者連線上的某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈。將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬(wàn)有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識(shí)，可以估算出這一時(shí)刻兩顆中子星()A．質(zhì)量之積 B．質(zhì)量之和C．速率之和 D．各自的自轉(zhuǎn)角速度答案BC解析依題意已知兩顆中子星的周期T、距離L，各自的自轉(zhuǎn)角速度不可求，D錯(cuò)誤；對(duì)m1：Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，對(duì)m2：Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2，已知幾何關(guān)系：r1＋r2＝L，ω＝eq\f(2π,T)，聯(lián)立以上各式可解得：r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq\f(m1,m1＋m2)L，m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)，B正確；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝eq\f(2πL,T)，C正確；質(zhì)量之積m1m2＝eq\f(ω2L2r2,G)·eq\f(ω2L2r1,G)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2πL,T)))4,G2)·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A錯(cuò)誤。2．(2021·河南省濟(jì)源市、平頂山市、許昌市高三下第三次質(zhì)量檢測(cè))(多選)宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星球位于邊長(zhǎng)為R的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并繞其中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。忽略其他星球?qū)λ鼈兊囊ψ饔?，引力常量為G，以下對(duì)該三星系統(tǒng)的說(shuō)法正確的是()A．每顆星球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都為eq\f(\r(3),3)RB．每顆星球做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度都與三顆星球的質(zhì)量無(wú)關(guān)C．每顆星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期都為2πReq\r(\f(R,3Gm))D．若距離R和m均增大為原來(lái)的3倍，則每顆星球的線速度大小不變答案ACD解析由幾何關(guān)系知每顆星球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝eq\f(\r(3),3)R，故A正確；任意兩顆星球之間的萬(wàn)有引力為F＝eq\f(Gm2,R2)，每一顆星球受到的合力F1＝eq\r(3)F，由合力提供向心力，有eq\f(\r(3)Gmm,R2)＝ma，解得a＝eq\f(\r(3)Gm,R2)，即每顆星球做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度都與三顆星球的質(zhì)量m成正比，故B錯(cuò)誤；由合力提供向心力，有eq\f(\r(3)Gmm,R2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得每顆星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T＝2πReq\r(\f(R,3Gm))，故C正確；由合力提供向心力，有eq\f(\r(3)Gmm,R2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(Gm,R))，若距離R和m均增大為原來(lái)的3倍，則每顆星球的線速度大小不變，故D正確。一、選擇題(本題共8小題，其中第1～5題為單選，第6～8題為多選)1．(2021·北京高考)2021年5月，“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器成功在火星軟著陸，我國(guó)成為世界上第一個(gè)首次探測(cè)火星就實(shí)現(xiàn)“繞、落、巡”三項(xiàng)任務(wù)的國(guó)家?！疤靻?wèn)一號(hào)”在火星停泊軌道運(yùn)行時(shí)，近火點(diǎn)距離火星表面2.8×102km、遠(yuǎn)火點(diǎn)距離火星表面5.9×105km，則“天問(wèn)一號(hào)”()A．在近火點(diǎn)的加速度比遠(yuǎn)火點(diǎn)的小B．在近火點(diǎn)的運(yùn)行速度比遠(yuǎn)火點(diǎn)的小C．在近火點(diǎn)的機(jī)械能比遠(yuǎn)火點(diǎn)的小D．在近火點(diǎn)通過(guò)減速可實(shí)現(xiàn)繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)答案D解析根據(jù)牛頓第二定律有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，故“天問(wèn)一號(hào)”在近火點(diǎn)的加速度比遠(yuǎn)火點(diǎn)的大，故A錯(cuò)誤；根據(jù)開(kāi)普勒第二定律，可知“天問(wèn)一號(hào)”在近火點(diǎn)的運(yùn)行速度比遠(yuǎn)火點(diǎn)的大，故B錯(cuò)誤；“天問(wèn)一號(hào)”在同一軌道上運(yùn)行時(shí)，只有火星的萬(wàn)有引力做功，則其機(jī)械能守恒，故C錯(cuò)誤；“天問(wèn)一號(hào)”在近火點(diǎn)做的是離心運(yùn)動(dòng)，若要變?yōu)槔@火星做圓周運(yùn)動(dòng)，需要在近火點(diǎn)減速，故D正確。2．(2021·江蘇高考)我國(guó)航天人發(fā)揚(yáng)“兩彈一星”精神砥礪前行，從“東方紅一號(hào)”到“北斗”不斷創(chuàng)造奇跡。“北斗”第49顆衛(wèi)星的發(fā)射邁出組網(wǎng)的關(guān)鍵一步。該衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，軌道平面與地球赤道平面成一定夾角。該衛(wèi)星()A．運(yùn)動(dòng)速度大于第一宇宙速度B．運(yùn)動(dòng)速度小于第一宇宙速度C．軌道半徑大于“靜止”在赤道上空的同步衛(wèi)星D．軌道半徑小于“靜止”在赤道上空的同步衛(wèi)星答案B解析根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可知r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，因?yàn)椤氨倍贰钡?9顆衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，等于“靜止”在赤道上空的同步衛(wèi)星的周期，可知該衛(wèi)星的軌道半徑等于“靜止”在赤道上空的同步衛(wèi)星的軌道半徑，C、D錯(cuò)誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可知v＝eq\r(\f(GM,r))，第一宇宙速度是指物體繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，該衛(wèi)星的軌道半徑遠(yuǎn)大于地球的半徑，可知運(yùn)行速度小于第一宇宙速度，A錯(cuò)誤，B正確。3．(2021·河北高考)“祝融號(hào)”火星車(chē)登陸火星之前，“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，其周期為2個(gè)火星日。假設(shè)某飛船沿圓軌道繞火星飛行，其周期也為2個(gè)火星日。已知一個(gè)火星日的時(shí)長(zhǎng)約為一個(gè)地球日，火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的0.1倍，則該飛船的軌道半徑與地球同步衛(wèi)星的軌道半徑的比值約為()A．eq\r(3,4) B．eq\r(3,\f(1,4))C．eq\r(3,\f(5,2)) D．eq\r(3,\f(2,5))答案D解析飛船或衛(wèi)星繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，則r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))；已知eq\f(T飛,T同)＝2，eq\f(M火,M地)＝0.1，則eq\f(r飛,r同)＝eq\r(3,\f(M火,M地)·\f(T\o\al(2,飛),T\o\al(2,同)))＝eq\r(3,0.1×22)＝eq\r(3,\f(2,5))，D正確。4．(2020·海南高考)2020年5月5日，長(zhǎng)征五號(hào)B運(yùn)載火箭在中國(guó)文昌航天發(fā)射場(chǎng)成功首飛，將新一代載人飛船試驗(yàn)船送入太空，若試驗(yàn)船繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T(mén)，離地高度為h，已知地球半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，則()A．試驗(yàn)船的運(yùn)行速度為eq\f(2πR,T)B．地球的第一宇宙速度為eq\f(2π,T)eq\r(\f(R＋h3,R))C．地球的質(zhì)量為eq\f(2πR＋h3,GT2)D．地球表面的重力加速度為eq\f(4π2R＋h2,RT2)答案B解析試驗(yàn)船的運(yùn)行速度為eq\f(2πR＋h,T)，故A錯(cuò)誤；近地軌道衛(wèi)星的速度等于地球的第一宇宙速度，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，對(duì)近地衛(wèi)星有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，對(duì)試驗(yàn)船有Geq\f(Mm船,R＋h2)＝m船eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(R＋h)，聯(lián)立兩式，解得地球的第一宇宙速度v＝eq\f(2π,T)eq\r(\f(R＋h3,R))，故B正確；根據(jù)Geq\f(Mm船,R＋h2)＝m船eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(R＋h)，解得地球的質(zhì)量為M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，故C錯(cuò)誤；地球表面的重力加速度等于近地軌道衛(wèi)星的向心加速度，對(duì)近地衛(wèi)星，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R2)＝mg，再根據(jù)地球的質(zhì)量M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，可得地球表面的重力加速度g＝eq\f(4π2R＋h3,R2T2)，故D錯(cuò)誤。5．北京時(shí)間2019年4月10日晚21點(diǎn)，人類(lèi)史上首張黑洞照片面世。黑洞的概念是：如果將大量物質(zhì)集中于空間一點(diǎn)，其周?chē)鷷?huì)產(chǎn)生奇異的現(xiàn)象，即在質(zhì)點(diǎn)周?chē)嬖谝粋€(gè)界面——事件視界面，一旦進(jìn)入界面，即使光也無(wú)法逃脫，黑洞的第二宇宙速度大于光速。把上述天體周?chē)录暯缑婵醋髑蛎?，球面的半徑稱(chēng)為史瓦西半徑。已知地球的半徑約為6400km，地球的第一宇宙速度為7.9km/s，天體的第二宇宙速度是第一宇宙速度的eq\r(2)倍，光速為3.0×108m/s，假設(shè)地球保持質(zhì)量不變收縮成黑洞，則地球黑洞的史瓦西半徑最接近()A．1mm B．1cmC．1m D．1km答案B解析設(shè)地球半徑為R，則第一宇宙速度v1＝eq\r(\f(GM,R))；當(dāng)?shù)厍蚴湛s成黑洞時(shí)，設(shè)半徑為R0，根據(jù)題意，這時(shí)的第二宇宙速度v2′＝eq\r(2)v1′＝eq\r(\f(2GM,R0))≥c，聯(lián)立可得R0≤eq\f(2v\o\al(2,1),c2)R，代入數(shù)據(jù)得，R0的最大值R0max≈9×10－3m≈1cm，B正確。6．(2021·湖南高考)2021年4月29日，中國(guó)空間站天和核心艙發(fā)射升空，準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道。根據(jù)任務(wù)安排，后續(xù)將發(fā)射問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙，計(jì)劃2022年完成空間站在軌建造。核心艙繞地球飛行的軌道可視為圓軌道，軌道離地面的高度約為地球半徑的eq\f(1,16)。下列說(shuō)法正確的是()A．核心艙進(jìn)入軌道后所受地球的萬(wàn)有引力大小約為它在地面時(shí)的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,17)))2倍B．核心艙在軌道上飛行的速度大于7.9km/sC．核心艙在軌道上飛行的周期小于24hD．后續(xù)加掛實(shí)驗(yàn)艙后，空間站由于質(zhì)量增大，軌道半徑將變小答案AC解析根據(jù)萬(wàn)有引力定律F＝Geq\f(Mm,r2)，核心艙進(jìn)入軌道后所受地球的萬(wàn)有引力大小與它在地面時(shí)所受地球的萬(wàn)有引力大小之比為eq\f(F1,F2)＝eq\f(r\o\al(2,2),r\o\al(2,1))＝eq\f(R2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋\f(1,16)R))2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,17)))2，A正確；7.9km/s是地球的第一宇宙速度，也是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可知v＝eq\r(\f(GM,r))，則核心艙在軌道上飛行的速度小于7.9km/s，B錯(cuò)誤；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r可知T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，核心艙