實(shí)驗(yàn)13　用單擺測(cè)量重力加速度的大小高考物理總復(fù)習(xí)新教材版

實(shí)驗(yàn)用單擺測(cè)量重力加速度的大小用單擺測(cè)量重力加速度的大小。由單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，可得出g＝eq\f(4π2,T2)l，測(cè)出單擺的擺長(zhǎng)l和振動(dòng)周期T，就可求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭。帶中心孔的小鋼球、約1m長(zhǎng)的細(xì)線、帶有鐵夾的鐵架臺(tái)、游標(biāo)卡尺、毫米刻度尺、停表。1．測(cè)擺長(zhǎng)用毫米刻度尺量出擺線長(zhǎng)L(精確到毫米)，用游標(biāo)卡尺測(cè)出小球直徑D，則單擺的擺長(zhǎng)l＝L＋eq\f(D,2)。2．測(cè)周期將單擺從平衡位置拉開一個(gè)角度(不超過(guò)5°)，然后釋放小球，記下單擺擺動(dòng)30次或50次全振動(dòng)的總時(shí)間，算出平均每擺動(dòng)一次全振動(dòng)的時(shí)間，即為單擺的振動(dòng)周期T。數(shù)據(jù)處理的兩種方法：方法一：公式法。根據(jù)公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，g＝eq\f(4π2l,T2)。將測(cè)得的幾組周期T和擺長(zhǎng)l分別代入公式g＝eq\f(4π2l,T2)中算出多組重力加速度g的值，再求出g的平均值，即為當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹怠７椒ǘ簣D像法。由單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可得l＝eq\f(g,4π2)T2，因此以擺長(zhǎng)l為縱軸，以T2為橫軸描點(diǎn)作圖，作出的l-T2圖像理論上是一條過(guò)原點(diǎn)的直線，如圖所示，求出圖像的斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，k＝eq\f(l,T2)＝eq\f(Δl,ΔT2)。1．本實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差主要來(lái)源于單擺模型本身是否符合要求，即：懸點(diǎn)固定，小球質(zhì)量大、體積小，細(xì)線輕質(zhì)非彈性，振動(dòng)是在同一豎直平面內(nèi)的振動(dòng)，這些要求是否符合。2．本實(shí)驗(yàn)的偶然誤差主要來(lái)自時(shí)間的測(cè)量和擺線長(zhǎng)度的測(cè)量，因此，要從擺球通過(guò)平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，不能多計(jì)或漏計(jì)擺球全振動(dòng)次數(shù)。使用刻度尺測(cè)量擺線長(zhǎng)度時(shí)，要多次測(cè)量取平均值以減小誤差。3．利用圖像法處理數(shù)據(jù)具有形象、直觀的特點(diǎn)，同時(shí)也能減小實(shí)驗(yàn)誤差。利用圖像法分析處理時(shí)要特別注意圖像的斜率及截距的物理意義。1．小球選用密度大的鋼球。2．選用1m左右難以伸縮，且盡量輕的細(xì)線。3．懸線頂端不能晃動(dòng)，需用夾子夾住，保證懸點(diǎn)固定。4．單擺必須在同一平面內(nèi)振動(dòng)，且擺角小于5°。5．選擇在擺球擺到平衡位置處時(shí)開始計(jì)時(shí)，并數(shù)準(zhǔn)全振動(dòng)的次數(shù)?？键c(diǎn)1教材原型實(shí)驗(yàn)例1(2021·天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)學(xué)校一模)某實(shí)驗(yàn)小組在進(jìn)行“用單擺測(cè)定重力加速度”的實(shí)驗(yàn)中，已知單擺在擺動(dòng)過(guò)程中的擺角小于5°；在測(cè)量單擺的周期時(shí)，從單擺運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)開始計(jì)時(shí)且記數(shù)為1，到第n次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)所用的時(shí)間為t；在測(cè)量單擺的擺長(zhǎng)時(shí)，先用毫米刻度尺測(cè)得懸掛后的擺線長(zhǎng)(從懸點(diǎn)到擺球的最上端)為L(zhǎng)，再用螺旋測(cè)微器測(cè)得擺球的直徑為d(讀數(shù)如圖)。(1)該單擺在擺動(dòng)過(guò)程中的周期為________。(2)用上述物理量的符號(hào)寫出求重力加速度的一般表達(dá)式g＝________。(3)從圖可知，擺球的直徑為________mm。(4)實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)他測(cè)得的重力加速度的值總是偏大，其原因可能是下述原因中的________。A．單擺的懸點(diǎn)未固定緊，振動(dòng)中出現(xiàn)松動(dòng)，使擺線增長(zhǎng)了B．把n次擺動(dòng)的時(shí)間誤記為(n＋1)次擺動(dòng)的時(shí)間C．以擺線長(zhǎng)作為擺長(zhǎng)來(lái)計(jì)算D．以擺線長(zhǎng)與擺球的直徑之和作為擺長(zhǎng)來(lái)計(jì)算[答案](1)eq\f(2t,n－1)(2)eq\f(π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L＋\f(d,2)))n－12,t2)(3)5.980(4)BD[解析](1)單擺在擺動(dòng)過(guò)程中從第1次到第n次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)，經(jīng)歷的周期數(shù)是eq\f(n－1,2)個(gè)，周期為T＝eq\f(t,\f(n－1,2))＝eq\f(2t,n－1)。(2)根據(jù)T＝2πeq\r(\f(l,g))，l＝L＋eq\f(d,2)，T＝eq\f(2t,n－1)，解得g＝eq\f(4π2l,T2)＝eq\f(π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L＋\f(d,2)))n－12,t2)。(3)螺旋測(cè)微器的主尺讀數(shù)為5.5mm，可動(dòng)刻度讀數(shù)為48.0×0.01mm＝0.480mm，則擺球的直徑為5.980mm。(4)單擺的懸點(diǎn)未固定緊，振動(dòng)中出現(xiàn)松動(dòng)，使擺線增長(zhǎng)了，擺長(zhǎng)的測(cè)量值偏小，根據(jù)g的表達(dá)式，重力加速度的測(cè)量值偏小，故A錯(cuò)誤。把n次擺動(dòng)的時(shí)間誤記為(n＋1)次擺動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)g的表達(dá)式，重力加速度的測(cè)量值偏大，故B正確。以擺線長(zhǎng)作為擺長(zhǎng)計(jì)算，擺長(zhǎng)的測(cè)量值偏小，根據(jù)g的表達(dá)式，重力加速度的測(cè)量值偏小，故C錯(cuò)誤。以擺線長(zhǎng)與擺球的直徑之和作為擺長(zhǎng)計(jì)算，擺長(zhǎng)的測(cè)量值偏大，根據(jù)g的表達(dá)式，重力加速度的測(cè)量值偏大，故D正確。[對(duì)點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練](2020·浙江7月選考)某同學(xué)用單擺測(cè)量重力加速度，(1)為了減少測(cè)量誤差，下列做法正確的是________(多選)；A．?dāng)[的振幅越大越好B．?dāng)[球質(zhì)量大些、體積小些C．?dāng)[線盡量細(xì)些、長(zhǎng)些、伸縮性小些D．計(jì)時(shí)的起、止位置選在擺球達(dá)到的最高點(diǎn)處(2)改變擺長(zhǎng)，多次測(cè)量，得到周期平方與擺長(zhǎng)的關(guān)系圖象如圖所示，所得結(jié)果與當(dāng)?shù)刂亓铀俣戎迪喾?，但發(fā)現(xiàn)其延長(zhǎng)線沒有過(guò)原點(diǎn)，其原因可能是________。A．測(cè)周期時(shí)多數(shù)了一個(gè)周期B．測(cè)周期時(shí)少數(shù)了一個(gè)周期C．測(cè)擺長(zhǎng)時(shí)直接將擺線的長(zhǎng)度作為擺長(zhǎng)D．測(cè)擺長(zhǎng)時(shí)將擺線的長(zhǎng)度加上擺球的直徑作為擺長(zhǎng)答案(1)BC(2)C解析(1)單擺在擺角很小的情況下才做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故單擺的擺角不能太大，一般應(yīng)小于5°，則擺的振幅也不能太大，故A錯(cuò)誤；實(shí)驗(yàn)時(shí)應(yīng)盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的擺球，以減小空氣阻力對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響，故B正確；為了減小實(shí)驗(yàn)誤差，擺線應(yīng)選擇細(xì)些、長(zhǎng)些、伸縮性小些的繩子，故C正確；擺球經(jīng)過(guò)平衡位置(最低點(diǎn))時(shí)速度最大，選此位置計(jì)時(shí)較準(zhǔn)確，故D錯(cuò)誤。(2)根據(jù)單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，有T2＝eq\f(4π2,g)·l。實(shí)驗(yàn)測(cè)得的結(jié)果與當(dāng)?shù)刂亓铀俣戎迪喾瑒tT2-l圖線斜率為理論值eq\f(4π2,g)；所得T2-l圖線沒有過(guò)原點(diǎn)，圖線在T2軸的截距為正，則T2＝eq\f(4π2,g)·(l＋l0)，故原因可能是測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí)直接將擺線的長(zhǎng)度作為擺長(zhǎng)，故選C?？键c(diǎn)2實(shí)驗(yàn)拓展與創(chuàng)新例2(2021·山東省臨沂市高三下二模)班里同學(xué)組織春游爬山，在山頂發(fā)現(xiàn)一棵合抱古樹，他們想知道這顆古樹的樹圍。由于未帶卷尺，只備有救生繩(質(zhì)量不計(jì)且不可伸長(zhǎng))，于是他們利用單擺原理對(duì)古樹的樹圍進(jìn)行粗略測(cè)量。他們用救生繩繞樹一周，截取長(zhǎng)度等于樹干周長(zhǎng)的一段(已預(yù)留出打結(jié)部分的長(zhǎng)度)，然后在這段救生繩的一端系一個(gè)小石塊。接下來(lái)的操作步驟為：Ⅰ.將截下的救生繩的另一端固定在一根離地足夠高的樹枝上；Ⅱ.移動(dòng)小石塊，使伸直的救生繩偏離豎直方向一個(gè)小于5°的角度，然后由靜止釋放，使小石塊在同一豎直面內(nèi)擺動(dòng)；Ⅲ.從小石塊經(jīng)過(guò)平衡位置(已經(jīng)選定參考位置)開始，用手機(jī)中的“秒表”軟件計(jì)時(shí)(記為第1次經(jīng)過(guò)平衡位置)，至小石塊第41次經(jīng)過(guò)平衡位置，測(cè)出這一過(guò)程所用的總時(shí)間為94.20s。(1)根據(jù)步驟Ⅲ，可得小石塊擺動(dòng)的周期T＝________s。(2)經(jīng)百度查得該地區(qū)的重力加速度為9.79m/s2，可估得該古樹的樹圍C＝________m。(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)(3)若空氣阻力的影響可不計(jì)，同時(shí)小石塊擺動(dòng)的周期T測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確，考慮到該山的海拔較高，則該古樹樹圍的測(cè)量值________(填“>”“<”或“＝”)真實(shí)值。[答案](1)4.71(2)5.5(3)>[解析](1)從小石塊經(jīng)過(guò)平衡位置(已經(jīng)選定參考位置)開始，用手機(jī)中的“秒表”軟件計(jì)時(shí)(記為第1次經(jīng)過(guò)平衡位置)，至小石塊第41次經(jīng)過(guò)平衡位置，共經(jīng)歷n＝eq\f(41－1,2)＝20個(gè)周期，總時(shí)間為n·T＝t，解得T＝eq\f(t,n)＝4.71s。(2)根據(jù)單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，解得擺長(zhǎng)為l＝eq\f(T2g,4π2)＝eq\f(4.712×9.79,4×3.142)m＝5.5m，擺長(zhǎng)即為古樹的樹圍，即C＝l＝5.5m。(3)山頂?shù)暮０屋^高，所以實(shí)際重力加速度較小，而計(jì)算所使用的重力加速度偏大，所以該古樹樹圍的測(cè)量值>真實(shí)值。[對(duì)點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練]一同學(xué)為了測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?，選用電動(dòng)機(jī)、長(zhǎng)條白紙、毫米刻度尺、長(zhǎng)木板以及由裝滿顏料的帶孔小球和細(xì)線構(gòu)成的單擺等組成如圖甲所示裝置。把白紙固定在長(zhǎng)木板上，實(shí)驗(yàn)中，電動(dòng)機(jī)以0.1m/s的速度勻速拖動(dòng)長(zhǎng)木板帶動(dòng)紙帶運(yùn)動(dòng)，同時(shí)讓小球在垂直于紙帶運(yùn)動(dòng)方向做小擺幅擺動(dòng)，小球可以漏出很細(xì)的有色液體，在紙帶上留下的痕跡記錄了小球在不同時(shí)刻的位置，如圖乙所示。實(shí)驗(yàn)中該同學(xué)測(cè)出了細(xì)線懸掛點(diǎn)到小球下邊緣的距離L，如圖丙所示，同時(shí)測(cè)出白紙上得到的圖像A、B間的距離為x。通過(guò)改變L，測(cè)出對(duì)應(yīng)的A、B間的距離x，獲得多組x與L數(shù)據(jù)，再以x2為縱軸、L為橫軸畫出函數(shù)關(guān)系圖像，如圖丁所示。由圖像可知，擺球的半徑r＝________m，當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭＝________m/s2(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)；該同學(xué)測(cè)得的重力加速度值與實(shí)際的重力加速度值相比________(選填“偏大”“偏小”或“一樣”)。(假設(shè)整個(gè)過(guò)程中小球的重心位置不變，取π＝3.14)答案0.019.86一樣解析由圖乙可知，小球從A到B運(yùn)動(dòng)了5個(gè)周期，則有x＝5vT；根據(jù)單擺的周期公式可得T＝2πeq\r(\f(L－r,g))，則T2＝eq\f(4π2,g)(L－r)，聯(lián)立兩式可得x2＝eq\f(100v2π2,g)(L－r)；結(jié)合圖丁可知，圖像的縱截距為：－eq\f(100v2π2,g)r＝－0.01m2，圖像的斜率k＝eq\f(100v2π2,g)＝eq\f(0.01,1×0.01)m＝1m，可解得重力加速度g＝π2m/s2＝9.86m/s2，擺球的半徑r＝0.01m。根據(jù)上述分析可知，由x2-L圖線的斜率求得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葲]有系統(tǒng)誤差，則測(cè)得的重力加速度值與實(shí)際的重力加速度值相比一樣。1．(2021·福建省龍巖市高三下三模)在“用單擺測(cè)重力加速度”實(shí)驗(yàn)中：(1)用毫米刻度尺測(cè)出擺線長(zhǎng)L，用游標(biāo)卡尺測(cè)出擺球的直徑D。在下面進(jìn)行的操作中，正確的是________(選填選項(xiàng)前的字母)；A．把單擺從平衡位置拉開一個(gè)較大的角度釋放B．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)C．用停表測(cè)量單擺完成1次全振動(dòng)所用時(shí)間作為單擺的周期(2)當(dāng)單擺擺動(dòng)穩(wěn)定后，用停表測(cè)量單擺n次全振動(dòng)的時(shí)間t，停表的示數(shù)如圖所示，則t＝______s；(3)用上述實(shí)驗(yàn)過(guò)程中測(cè)出的物理量(擺線長(zhǎng)為L(zhǎng)，擺球直徑為D，全振動(dòng)n次所用時(shí)間為t)寫出重力加速度計(jì)算式g＝________。答案(1)B(2)75.2(3)eq\f(4π2n2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L＋\f(D,2))),t2)解析(1)單擺在擺角小于5°的情況下才做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，故A錯(cuò)誤；為減小計(jì)時(shí)誤差，應(yīng)在單擺經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，且測(cè)出多個(gè)周期的總時(shí)間然后求出平均值作為單擺的周期，故B正確，C錯(cuò)誤。(2)停表的示數(shù)t＝60s＋15.2s＝75.2s。(3)周期T＝eq\f(t,n)，根據(jù)T＝2πeq\r(\f(L＋\f(D,2),g))，解得：g＝eq\f(4π2n2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L＋\f(D,2))),t2)。2．物理實(shí)驗(yàn)小組的同學(xué)做“用單擺測(cè)重力加速度”的實(shí)驗(yàn)。(1)下列振動(dòng)圖像真實(shí)地描述了對(duì)擺長(zhǎng)約為1m的單擺進(jìn)行周期測(cè)量的四種操作過(guò)程，圖中橫坐標(biāo)原點(diǎn)O為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，A、B、C均為30次全振動(dòng)的圖像，已知sin5°＝0.087，sin15°＝0.26，這四種操作過(guò)程合乎實(shí)驗(yàn)要求且誤差最小的是________(填字母代號(hào))。(2)某同學(xué)利用單擺測(cè)重力加速度，測(cè)得的g值與真實(shí)值相比偏大，可能的原因是________。A．測(cè)擺長(zhǎng)時(shí)記錄的是擺線的長(zhǎng)度B．開始計(jì)時(shí)時(shí)，停表過(guò)早按下C．?dāng)[線上端未牢固地系于懸點(diǎn)，擺動(dòng)中出現(xiàn)松動(dòng)，使擺線長(zhǎng)度增加了D．實(shí)驗(yàn)中誤將29次全振動(dòng)數(shù)記為30次答案(1)A(2)D解析(1)單擺振動(dòng)的擺角θ≤5°，當(dāng)θ＝5°時(shí)單擺振動(dòng)的振幅A＝lsin5°＝0.087m＝8.7cm，為計(jì)時(shí)準(zhǔn)確，在擺球擺至平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，故四種操作過(guò)程合乎實(shí)驗(yàn)要求且誤差最小的是選項(xiàng)A。(2)根據(jù)單擺的周期公式推導(dǎo)出重力加速度的表達(dá)式g＝eq\f(4π2L,T2)。將擺線的長(zhǎng)誤認(rèn)為擺長(zhǎng)，即測(cè)量值偏小，所以重力加速度的測(cè)量值偏小，故A錯(cuò)誤；開始計(jì)時(shí)時(shí)，停表過(guò)早按下，周期的測(cè)量值大于真實(shí)值，所以重力加速度的測(cè)量值偏小，故B錯(cuò)誤；擺線上端未牢固地系于懸點(diǎn)，振動(dòng)中出現(xiàn)松動(dòng)，使擺線長(zhǎng)度增加了，即擺長(zhǎng)L的測(cè)量值偏小，所以重力加速度的測(cè)量值就偏小，故C錯(cuò)誤；設(shè)單擺29次全振動(dòng)的時(shí)間為t，則單擺的周期T＝eq\f(t,29)，若誤計(jì)為30次，則T測(cè)＝eq\f(t,30)<eq\f(t,29)，即周期的測(cè)量值小于真實(shí)值，所以重力加速度的測(cè)量值偏大，故D正確。3.(2015·北京高考)用單擺測(cè)定重力加速度的實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。(1)組裝單擺時(shí)，應(yīng)在下列器材中選用______(選填選項(xiàng)前的字母)。A．長(zhǎng)度為1m左右的細(xì)線B．長(zhǎng)度為30cm左右的細(xì)線C．直徑為1.8cm的塑料球D．直徑為1.8cm的鐵球(2)測(cè)出懸點(diǎn)O到小球球心的距離(擺長(zhǎng))L及單擺完成n次全振動(dòng)所用的時(shí)間t，則重力加速度g＝________(用L、n、t表示)。(3)下表是某同學(xué)記錄的3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并做了部分計(jì)算處理。組次123擺長(zhǎng)L/cm80.0090.00100.0050次全振動(dòng)時(shí)間t/s90.095.5100.5振動(dòng)周期T/s1.801.91重力加速度g/(m·s－2)9.749.73請(qǐng)計(jì)算出第3組實(shí)驗(yàn)中的T＝________s，g＝________m/s2。(4)用多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出T2-L圖象，也可以求出重力加速度g。已知三位同學(xué)作出的T2-L圖線的示意圖如圖2中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都過(guò)原點(diǎn)，圖線b對(duì)應(yīng)的g值最接近當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹怠t相對(duì)于圖線b，下列分析正確的是________(選填選項(xiàng)前的字母)。A．出現(xiàn)圖線a的原因可能是誤將懸點(diǎn)到小球下端的距離記為擺長(zhǎng)LB．出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將49次全振動(dòng)記為50次C．圖線c對(duì)應(yīng)的g值小于圖線b對(duì)應(yīng)的g值(5)某同學(xué)在家里測(cè)重力加速度。他找到細(xì)線和鐵鎖，制成一個(gè)單擺，如圖3所示。由于家里只有一根量程為30cm的刻度尺。于是他在細(xì)線上的A點(diǎn)做了一個(gè)標(biāo)記，使得懸點(diǎn)O到A點(diǎn)間的細(xì)線長(zhǎng)度小于刻度尺量程。保持該標(biāo)記以下的細(xì)線長(zhǎng)度不變，通過(guò)改變O、A間細(xì)線長(zhǎng)度