初中數(shù)學(xué)華東師大八年級上冊全等三角形第十三章第三節(jié)等腰三角形的判定PPT

1、等腰三角形是怎樣定義的？有兩條邊相等的三角形,叫做等腰三角形。復(fù)習(xí)（1）等腰三角形是軸對稱圖形。（2）等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)

2、等腰三角形有哪些性質(zhì)？DABC幾何語言：∵AB=AC(已知)∴∠B=∠C(等邊對等角)（3）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(也稱為“三線合一”)，它們所在的直線就是等腰三角形的對稱軸。幾何語言：DABC

如圖，在△ABC中，AB=AC(1)∵AD⊥BC，∴∠____=∠____，___=___.BADCADBDCD(2)∵AD是中線，∴___⊥___，∠____=∠____.CADADBCBAD(3)∵AD是角平分線，∴___⊥___，____=____.BDBCADCD（4）等邊三角形的各個角都相等，并且每一個角都等于60°逆向思維一個三角形滿足什么條件它才是等腰三角形呢？等腰三角形的判定定理一：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.如圖，在海上A、B兩處的兩艘救生船接到O處遇險船只的報警，當(dāng)時測得∠A=∠B.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發(fā)，能不能大約同時趕到出事地點（不考慮風(fēng)浪因素）？探究在一個三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊相等嗎？已知：ABCD相等，那么怎樣來證明？方法：首先把命題寫成“已知…..,求證…….”的形式方法一：作BC邊上的高AD方法二：作∠A的角平分線AD方法三：“作BC邊上的中線AD”可行嗎？在△ABC中，∠B=∠C，求證：AB=AC分析；要證AB=AC，可設(shè)法構(gòu)造兩個全等的三角形，使AB，AC分別是這兩個三角形的對應(yīng)邊。∟不行！證法一：作BC邊上的高AD

．在△BAD和△CAD中，∠B＝∠C（已知）∠ADB＝∠ADC=90°（已知）AD＝AD（公共邊）∴△BAD≌△CAD（A．A．S．）∴AB＝AC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）

ABC∟D

證法二：作∠BAC的平分線AD．在△BAD和△CAD中∠B＝∠C（已知)∠1＝∠2(已知）AD＝AD（公共邊）∴△BAD≌△CAD（A．A．S．）∴AB＝AC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）于是得到等腰三角形的判定定理二：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．（簡寫成“等角對等邊”）例：如果三角形一個角的外角的角平分線平行于三角形的第三邊，那么這個三角形是等腰三角形嗎？為什么？ABCD12EABCD12證明：∵AD平分∠CAE∴∠1=∠2（角平分線的定義）∵∠CAE是ΔABC的外角，AD∥BC∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等）∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠B=∠C（等量代換)∴AB=AC(等角對等邊）即ΔABC是等腰三角形E已知：AD平分∠CAE，AD//BC求證：AB=AC

已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB=AD．證明：∵AD//BC(已知）∴∠ADB=∠CBD(兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABD=∠CBD(角平分線的定義）∴∠ADB=∠ABD(等量代換）∴AB=AD(等角對等邊）例：在△ABC中,已知,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.過點O作直線EF//BC交AB于E,交AC于F.AB=AC（1）請問圖中有多少個等腰三角形?（2）線段EF和線段EB,FC之間有沒有關(guān)系?若有是什么關(guān)系?B0CAEF解：（1）圖中共有5個等腰三角形B0CAEF解：（2）EF=BE+CF,理由如下：∵OB平分∠EBC,OC平分∠FCB(已知）∴∠OBE=∠OBC,∠OCF=∠OCB(角平分線的定義）∴BE=OE,CF=OF(等角對等邊）∴OE+OF=BE+CF(等式的性質(zhì)）∴EF=BE+CF已知：如圖，AC和BD相交于點O，且AB∥DC，OA=OB，求證：OC=OD．

ODCBA證明：∵

AB∥DC

∴∠D=∠B，∠A=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠D=∠C（等角對等邊）又∵

OA=OB∴∠A=∠B（等邊對等角）中考鏈接：（1）（2010，寧波）如圖所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分別是∠ABC，∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形（）A.5個D.2個C.3個B.4個ABECDA分析：

∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，

∵∠A=36°，∴

∠ABC=∠BCD=72°，又∵BD與CE分別是∠ABC與∠BCD的平分線，∴

∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ECD=∠A=36°，∴△ABD與△BCE都是等腰三角形，而∠BCD=∠BDC=∠CED=2∠A=72°，∴△BCD與△CDE也都是等腰三角形。因此，共有5個等腰三角形。ADOFBEC

如圖，點E、F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF與DE交于點O。（2）試判斷△OEF的形狀，并說明理由。（1）求證：AB=DC;（1）證明：

∵BE=CF

∴BE+EF=EF+CF

即BF=CE中考鏈接：在△ABF和△DCE中:∠A=∠D∠B=∠CBF=CE∴△ABF≌

△DCE(AAS)∴AB=DC（2）△OEF是等腰三角形由（1）知∠AFB=∠DEC∴OE=OF∴△OEF是等腰三角形

如圖，把一張矩形的紙沿對角線折疊．重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？ABCDEF123答：重合部分是一個等腰三角形。理由如下：翻折后，

∠1=∠3∵AD//BC∴

∠2=∠3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴

∠1=∠2∴

FB=FD（等角對等邊）即△BFD是等腰三角形駛向勝利的彼岸一個三角形滿足什么條件時便可成為等邊三角形？開啟智慧等邊三角形的判定定理一：三條邊都相等的三角形是等邊三角形三個角都相等的三角形是等邊三角形嗎？.等邊三角形的判定定理二：三個角都相等的三角形是等邊三角形ACB600ACB600你認為有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你的結(jié)論嗎？一個等腰三角形滿足什么條件時便可成為等邊三角形？等邊三角形的判定定理三：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形B’C’例：如圖，已知P、Q是△ABC的邊BC上兩點，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大?。猓骸逷Q=AP=AQ∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=∠C+∠QAC=60°∵QC=AQ∴∠C=∠QAC=30°同理∠B=∠BAP=30°∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30+60+30=120°例：.已知:如圖,△ABC是等邊三角形,DE∥BC,分別交AB,AC于點D,E.求證:△ADE是等邊三角形.證明1:∵△ABC等邊三角形(已知),∴∠A＝∠B=∠A＝600(已知),又∵DE∥BC(已知),∴∠1=∠B=600,∠2=∠C=600(兩直線平行,同位角相等).∴∠A=∠1=∠2(等量代換).∴△ADE是等邊三角形(三個角相等的三角形是等邊三角形).BECDA12例：.已知:如圖,△ABC是等邊三角形,過它的三個頂點分別作對邊的平行線,得到一個新的△DEF,（1）△DEF是等邊三角形嗎?（2）你還能找到其它的等邊三角形嗎?請證明你的結(jié)論.解:(1)△DEF是等邊三角形;證明(1):∵△ABC是等邊三角形(已知),

又∵EF∥BC,DE∥AC(已知),

∴∠E＝600(三角形內(nèi)角和定理).同理,∠D=600,∠F＝600.BECDAF∴∠1＝∠2=∠3＝600(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都等于600).4213∴∠